Álgebra Exemplos

$f (x) = x - 6 \sqrt{x}$

Etapa 1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 6 \sqrt{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6 \sqrt{x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 6 \sqrt{x})$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (- 6 \sqrt{x})$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 6 \sqrt{x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (- 6 x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 1.1.2.2

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6 x^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$f' (x) = 1 - 6 \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 1.1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = 1 - 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Etapa 1.1.2.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 1 - 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Etapa 1.1.2.5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 1 - 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 1.1.2.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = 1 - 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 1.1.2.7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f' (x) = 1 - 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Etapa 1.1.2.7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$f' (x) = 1 - 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Etapa 1.1.2.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = 1 - 6 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Etapa 1.1.2.9

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 1 - 6 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 1.1.2.10

Combine $- 6$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{- 6 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 1.1.2.11

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{- 6}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.2.12

Fatore $2$ de $- 6$ .

$f' (x) = 1 + \frac{2 \cdot - 3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.2.13

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.13.1

Fatore $2$ de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{2 \cdot - 3}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 1.1.2.13.2

Cancele o fator comum.

$f' (x) = 1 + \frac{2 \cdot - 3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.2.13.3

Reescreva a expressão.

$f' (x) = 1 + \frac{- 3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.2.14

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = 1 - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 1.2.1.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

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Etapa 1.2.2.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = 0 - 3 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.2.2.2

Reescreva $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ como ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 0 - 3 \frac{d}{d x} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$

Etapa 1.2.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 1.2.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 0 - 3 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}}))$

Etapa 1.2.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$f'' (x) = 0 - 3 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 1.2.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 0 - 3 (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 1.2.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = 0 - 3 (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Etapa 1.2.2.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

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Etapa 1.2.2.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 0 - 3 (- x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Etapa 1.2.2.5.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.2.2.5.2.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$f'' (x) = 0 - 3 (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Etapa 1.2.2.5.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = 0 - 3 (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Etapa 1.2.2.5.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = 0 - 3 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Etapa 1.2.2.6

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 0 - 3 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Etapa 1.2.2.7

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 0 - 3 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Etapa 1.2.2.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = 0 - 3 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Etapa 1.2.2.9

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.2.2.9.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = 0 - 3 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Etapa 1.2.2.9.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$f'' (x) = 0 - 3 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Etapa 1.2.2.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = 0 - 3 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Etapa 1.2.2.11

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 0 - 3 (- x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Etapa 1.2.2.12

Combine $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $x^{- 1}$ .

$f'' (x) = 0 - 3 (- \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2})$

Etapa 1.2.2.13

Multiplique $x^{- \frac{1}{2}}$ por $x^{- 1}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.2.2.13.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = 0 - 3 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2})$

Etapa 1.2.2.13.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 0 - 3 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2})$

Etapa 1.2.2.13.3

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 0 - 3 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

Etapa 1.2.2.13.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = 0 - 3 (- \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

Etapa 1.2.2.13.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.13.5.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = 0 - 3 (- \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2})$

Etapa 1.2.2.13.5.2

Subtraia $2$ de $- 1$ .

$f'' (x) = 0 - 3 (- \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2})$

Etapa 1.2.2.13.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = 0 - 3 (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Etapa 1.2.2.14

Mova $x^{- \frac{3}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 0 - 3 (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Etapa 1.2.2.15

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$f'' (x) = 0 + 3 (\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Etapa 1.2.2.16

Combine $3$ e $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 1.2.3

Some $0$ e $\frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$\frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$3 = 0$

Etapa 2.3

Como $3 \neq 0$ , não há soluções.

Nenhuma solução

Etapa 3

Nenhum valor encontrado que possa tornar a segunda derivada igual a $0$ .

Nenhum ponto de inflexão