Álgebra Exemplos

${(1 + \cot (x))}^{2} = \csc^{2} (x) + 2 \cot (x)$

Etapa 1

Comece do lado direito.

$\csc^{2} (x) + 2 \cot (x)$

Etapa 2

Aplique a identidade trigonométrica fundamental inversa.

$1 + \cot^{2} (x) + 2 \cot (x)$

Etapa 3

Converta em senos e cossenos.

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Etapa 3.1

Escreva $\cot (x)$ nos senos e cossenos usando a fórmula do quociente.

$1 + {(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2} + 2 \cot (x)$

Etapa 3.2

Escreva $\cot (x)$ nos senos e cossenos usando a fórmula do quociente.

$1 + {(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2} + 2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Etapa 3.3

Aplique a regra do produto a $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + 2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Combine $2$ e $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$1 + \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)}$

Etapa 4.2

Para escrever $\frac{2 \cos (x)}{\sin (x)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$1 + \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Etapa 4.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de ${\sin (x)}^{2}$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 4.3.1

Multiplique $\frac{2 \cos (x)}{\sin (x)}$ por $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$1 + \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{2 \cos (x) \sin (x)}{\sin (x) \sin (x)}$

Etapa 4.3.2

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$1 + \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{2 \cos (x) \sin (x)}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)}$

Etapa 4.3.3

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$1 + \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{2 \cos (x) \sin (x)}{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}}$

Etapa 4.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$1 + \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{2 \cos (x) \sin (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}}$

Etapa 4.3.5

Some $1$ e $1$ .

$1 + \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{2 \cos (x) \sin (x)}{{\sin (x)}^{2}}$

Etapa 4.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$1 + \frac{{\cos (x)}^{2} + 2 \cos (x) \sin (x)}{{\sin (x)}^{2}}$

Etapa 4.5

Fatore $\cos (x)$ de ${\cos (x)}^{2} + 2 \cos (x) \sin (x)$ .

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Etapa 4.5.1

Fatore $\cos (x)$ de ${\cos (x)}^{2}$ .

$1 + \frac{\cos (x) \cos (x) + 2 \cos (x) \sin (x)}{{\sin (x)}^{2}}$

Etapa 4.5.2

Fatore $\cos (x)$ de $2 \cos (x) \sin (x)$ .

$1 + \frac{\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (2 \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}}$

Etapa 4.5.3

Fatore $\cos (x)$ de $\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (2 \sin (x))$ .

$1 + \frac{\cos (x) (\cos (x) + 2 \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}}$

Etapa 4.6

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{{\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x) (\cos (x) + 2 \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}}$

Etapa 4.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{{\sin (x)}^{2} + \cos (x) (\cos (x) + 2 \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}}$

Etapa 4.8

Simplifique o numerador.

$\frac{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 5

Reescreva $\frac{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}{\sin^{2} (x)}$ como ${(1 + \cot (x))}^{2}$ .

${(1 + \cot (x))}^{2}$

Etapa 6

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

${(1 + \cot (x))}^{2} = \csc^{2} (x) + 2 \cot (x)$ é uma identidade