Álgebra Exemplos

${- \frac{4}{5}, \frac{5}{7}}$

Etapa 1

$x = - \frac{4}{5}$ e $x = \frac{5}{7}$ são as duas soluções reais distintas para a equação quadrática, o que significa que $x + \frac{4}{5}$ e $x - \frac{5}{7}$ são os fatores da equação quadrática.

$(x + \frac{4}{5}) (x - \frac{5}{7}) = 0$

Etapa 2

Expanda $(x + \frac{4}{5}) (x - \frac{5}{7})$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x (x - \frac{5}{7}) + \frac{4}{5} \cdot (x - \frac{5}{7}) = 0$

Etapa 2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x \cdot x + x (- \frac{5}{7}) + \frac{4}{5} \cdot (x - \frac{5}{7}) = 0$

Etapa 2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x \cdot x + x (- \frac{5}{7}) + \frac{4}{5} x + \frac{4}{5} \cdot (- \frac{5}{7}) = 0$

Etapa 3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{2} + x (- \frac{5}{7}) + \frac{4}{5} x + \frac{4}{5} \cdot (- \frac{5}{7}) = 0$

Etapa 3.1.2

Combine $x$ e $\frac{5}{7}$ .

$x^{2} - \frac{x \cdot 5}{7} + \frac{4}{5} x + \frac{4}{5} \cdot (- \frac{5}{7}) = 0$

Etapa 3.1.3

Mova $5$ para a esquerda de $x$ .

$x^{2} - \frac{5 \cdot x}{7} + \frac{4}{5} x + \frac{4}{5} \cdot (- \frac{5}{7}) = 0$

Etapa 3.1.4

Combine $\frac{4}{5}$ e $x$ .

$x^{2} - \frac{5 x}{7} + \frac{4 x}{5} + \frac{4}{5} \cdot (- \frac{5}{7}) = 0$

Etapa 3.1.5

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 3.1.5.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{5}{7}$ para o numerador.

$x^{2} - \frac{5 x}{7} + \frac{4 x}{5} + \frac{4}{5} \cdot \frac{- 5}{7} = 0$

Etapa 3.1.5.2

Fatore $5$ de $- 5$ .

$x^{2} - \frac{5 x}{7} + \frac{4 x}{5} + \frac{4}{5} \cdot \frac{5 (- 1)}{7} = 0$

Etapa 3.1.5.3

Cancele o fator comum.

$x^{2} - \frac{5 x}{7} + \frac{4 x}{5} + \frac{4}{5} \cdot \frac{5 \cdot - 1}{7} = 0$

Etapa 3.1.5.4

Reescreva a expressão.

$x^{2} - \frac{5 x}{7} + \frac{4 x}{5} + 4 (\frac{- 1}{7}) = 0$

Etapa 3.1.6

Combine $4$ e $\frac{- 1}{7}$ .

$x^{2} - \frac{5 x}{7} + \frac{4 x}{5} + \frac{4 \cdot - 1}{7} = 0$

Etapa 3.1.7

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$x^{2} - \frac{5 x}{7} + \frac{4 x}{5} + \frac{- 4}{7} = 0$

Etapa 3.1.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x^{2} - \frac{5 x}{7} + \frac{4 x}{5} - \frac{4}{7} = 0$

Etapa 3.2

Para escrever $- \frac{5 x}{7}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$x^{2} - \frac{5 x}{7} \cdot \frac{5}{5} + \frac{4 x}{5} - \frac{4}{7} = 0$

Etapa 3.3

Para escrever $\frac{4 x}{5}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{7}{7}$ .

$x^{2} - \frac{5 x}{7} \cdot \frac{5}{5} + \frac{4 x}{5} \cdot \frac{7}{7} - \frac{4}{7} = 0$

Etapa 3.4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $35$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 3.4.1

Multiplique $\frac{5 x}{7}$ por $\frac{5}{5}$ .

$x^{2} - \frac{5 x \cdot 5}{7 \cdot 5} + \frac{4 x}{5} \cdot \frac{7}{7} - \frac{4}{7} = 0$

Etapa 3.4.2

Multiplique $7$ por $5$ .

$x^{2} - \frac{5 x \cdot 5}{35} + \frac{4 x}{5} \cdot \frac{7}{7} - \frac{4}{7} = 0$

Etapa 3.4.3

Multiplique $\frac{4 x}{5}$ por $\frac{7}{7}$ .

$x^{2} - \frac{5 x \cdot 5}{35} + \frac{4 x \cdot 7}{5 \cdot 7} - \frac{4}{7} = 0$

Etapa 3.4.4

Multiplique $5$ por $7$ .

$x^{2} - \frac{5 x \cdot 5}{35} + \frac{4 x \cdot 7}{35} - \frac{4}{7} = 0$

Etapa 3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x^{2} + \frac{- 5 x \cdot 5 + 4 x \cdot 7}{35} - \frac{4}{7} = 0$

Etapa 3.6

Para escrever $x^{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{35}{35}$ .

$x^{2} \cdot \frac{35}{35} + \frac{- 5 x \cdot 5 + 4 x \cdot 7}{35} - \frac{4}{7} = 0$

Etapa 3.7

Combine $x^{2}$ e $\frac{35}{35}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 35}{35} + \frac{- 5 x \cdot 5 + 4 x \cdot 7}{35} - \frac{4}{7} = 0$

Etapa 3.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x^{2} \cdot 35 - 5 x \cdot 5 + 4 x \cdot 7}{35} - \frac{4}{7} = 0$

Etapa 3.9

Para escrever $- \frac{4}{7}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 35 - 5 x \cdot 5 + 4 x \cdot 7}{35} - \frac{4}{7} \cdot \frac{5}{5} = 0$

Etapa 3.10

Escreva cada expressão com um denominador comum de $35$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 3.10.1

Multiplique $\frac{4}{7}$ por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 35 - 5 x \cdot 5 + 4 x \cdot 7}{35} - \frac{4 \cdot 5}{7 \cdot 5} = 0$

Etapa 3.10.2

Multiplique $7$ por $5$ .

$\frac{x^{2} \cdot 35 - 5 x \cdot 5 + 4 x \cdot 7}{35} - \frac{4 \cdot 5}{35} = 0$

Etapa 3.11

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x^{2} \cdot 35 - 5 x \cdot 5 + 4 x \cdot 7 - 4 \cdot 5}{35} = 0$

Etapa 4

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1

Mova $35$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$\frac{35 \cdot x^{2} - 5 x \cdot 5 + 4 x \cdot 7 - 4 \cdot 5}{35} = 0$

Etapa 4.2

Multiplique $5$ por $- 5$ .

$\frac{35 x^{2} - 25 x + 4 x \cdot 7 - 4 \cdot 5}{35} = 0$

Etapa 4.3

Multiplique $7$ por $4$ .

$\frac{35 x^{2} - 25 x + 28 x - 4 \cdot 5}{35} = 0$

Etapa 4.4

Multiplique $- 4$ por $5$ .

$\frac{35 x^{2} - 25 x + 28 x - 20}{35} = 0$

Etapa 4.5

Some $- 25 x$ e $28 x$ .

$\frac{35 x^{2} + 3 x - 20}{35} = 0$

Etapa 4.6

Fatore por agrupamento.

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Etapa 4.6.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 35 \cdot - 20 = - 700$ e cuja soma é $b = 3$ .

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Etapa 4.6.1.1

Fatore $3$ de $3 x$ .

$\frac{35 x^{2} + 3 (x) - 20}{35} = 0$

Etapa 4.6.1.2

Reescreva $3$ como $- 25$ mais $28$

$\frac{35 x^{2} + (- 25 + 28) x - 20}{35} = 0$

Etapa 4.6.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{35 x^{2} - 25 x + 28 x - 20}{35} = 0$

Etapa 4.6.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 4.6.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{(35 x^{2} - 25 x) + 28 x - 20}{35} = 0$

Etapa 4.6.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{5 x (7 x - 5) + 4 (7 x - 5)}{35} = 0$

Etapa 4.6.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $7 x - 5$ .

$\frac{(7 x - 5) (5 x + 4)}{35} = 0$

Etapa 5

Expanda $(7 x - 5) (5 x + 4)$ usando o método FOIL.

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Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{7 x (5 x + 4) - 5 (5 x + 4)}{35} = 0$

Etapa 5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{7 x (5 x) + 7 x \cdot 4 - 5 (5 x + 4)}{35} = 0$

Etapa 5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{7 x (5 x) + 7 x \cdot 4 - 5 (5 x) - 5 \cdot 4}{35} = 0$

Etapa 6

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{7 \cdot (5 x \cdot x) + 7 x \cdot 4 - 5 (5 x) - 5 \cdot 4}{35} = 0$

Etapa 6.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 6.1.2.1

Mova $x$ .

$\frac{7 \cdot (5 (x \cdot x)) + 7 x \cdot 4 - 5 (5 x) - 5 \cdot 4}{35} = 0$

Etapa 6.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{7 \cdot (5 x^{2}) + 7 x \cdot 4 - 5 (5 x) - 5 \cdot 4}{35} = 0$

Etapa 6.1.3

Multiplique $7$ por $5$ .

$\frac{35 x^{2} + 7 x \cdot 4 - 5 (5 x) - 5 \cdot 4}{35} = 0$

Etapa 6.1.4

Multiplique $4$ por $7$ .

$\frac{35 x^{2} + 28 x - 5 (5 x) - 5 \cdot 4}{35} = 0$

Etapa 6.1.5

Multiplique $5$ por $- 5$ .

$\frac{35 x^{2} + 28 x - 25 x - 5 \cdot 4}{35} = 0$

Etapa 6.1.6

Multiplique $- 5$ por $4$ .

$\frac{35 x^{2} + 28 x - 25 x - 20}{35} = 0$

Etapa 6.2

Subtraia $25 x$ de $28 x$ .

$\frac{35 x^{2} + 3 x - 20}{35} = 0$

Etapa 7

Divida a fração $\frac{35 x^{2} + 3 x - 20}{35}$ em duas frações.

$\frac{35 x^{2} + 3 x}{35} + \frac{- 20}{35} = 0$

Etapa 8

Divida a fração $\frac{35 x^{2} + 3 x}{35}$ em duas frações.

$\frac{35 x^{2}}{35} + \frac{3 x}{35} + \frac{- 20}{35} = 0$

Etapa 9

Cancele o fator comum de $35$ .

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Etapa 9.1

Cancele o fator comum.

$\frac{35 x^{2}}{35} + \frac{3 x}{35} + \frac{- 20}{35} = 0$

Etapa 9.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} + \frac{3 x}{35} + \frac{- 20}{35} = 0$

Etapa 10

Cancele o fator comum de $- 20$ e $35$ .

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Etapa 10.1

Fatore $5$ de $- 20$ .

$x^{2} + \frac{3 x}{35} + \frac{5 (- 4)}{35} = 0$

Etapa 10.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 10.2.1

Fatore $5$ de $35$ .

$x^{2} + \frac{3 x}{35} + \frac{5 \cdot - 4}{5 \cdot 7} = 0$

Etapa 10.2.2

Cancele o fator comum.

$x^{2} + \frac{3 x}{35} + \frac{5 \cdot - 4}{5 \cdot 7} = 0$

Etapa 10.2.3

Reescreva a expressão.

$x^{2} + \frac{3 x}{35} + \frac{- 4}{7} = 0$

Etapa 11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x^{2} + \frac{3 x}{35} - \frac{4}{7} = 0$

Etapa 12

A equação quadrática padrão que usa o conjunto de soluções em questão ${- \frac{4}{5}, \frac{5}{7}}$ é $y = x^{2} + \frac{3 x}{35} - \frac{4}{7}$ .

$y = x^{2} + \frac{3 x}{35} - \frac{4}{7}$

Etapa 13