Álgebra Exemplos

$\log (b x) - \log (b \cdot 5) = \log (b \cdot 2) - \log (b) (x - 3)$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{b x}{b \cdot 5}) = \log (b \cdot 2) - \log (b) (x - 3)$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $b$ .

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Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$\log (\frac{b x}{b \cdot 5}) = \log (b \cdot 2) - \log (b) (x - 3)$

Etapa 1.2.2

Reescreva a expressão.

$\log (\frac{x}{5}) = \log (b \cdot 2) - \log (b) (x - 3)$

Etapa 2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.1

Mova $2$ para a esquerda de $b$ .

$\log (\frac{x}{5}) = \log (2 \cdot b) - \log (b) (x - 3)$

Etapa 2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\log (\frac{x}{5}) = \log (2 b) - \log (b) x - \log (b) \cdot - 3$

Etapa 2.1.3

Multiplique $- 3$ por $- 1$ .

$\log (\frac{x}{5}) = \log (2 b) - \log (b) x + 3 \log (b)$

Etapa 2.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.2.1

Reordene os fatores em $\log (2 b) - \log (b) x + 3 \log (b)$ .

$\log (\frac{x}{5}) = \log (2 b) - x \log (b) + 3 \log (b)$

Etapa 2.2.2

Reordene $\log (2 b)$ e $- x \log (b)$ .

$\log (\frac{x}{5}) = - x \log (b) + \log (2 b) + 3 \log (b)$

Etapa 3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.1

Simplifique $- x \log (b) + \log (2 b) + 3 \log (b)$ .

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Etapa 3.1.1

Simplifique $3 \log (b)$ movendo $3$ para dentro do logaritmo.

$\log (\frac{x}{5}) = - x \log (b) + \log (2 b) + \log (b^{3})$

Etapa 3.1.2

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log (\frac{x}{5}) = - x \log (b) + \log (2 b \cdot b^{3})$

Etapa 3.1.3

Multiplique $b$ por $b^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.1.3.1

Mova $b^{3}$ .

$\log (\frac{x}{5}) = - x \log (b) + \log (2 (b^{3} b))$

Etapa 3.1.3.2

Multiplique $b^{3}$ por $b$ .

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Etapa 3.1.3.2.1

Eleve $b$ à potência de $1$ .

$\log (\frac{x}{5}) = - x \log (b) + \log (2 (b^{3} b^{1}))$

Etapa 3.1.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\log (\frac{x}{5}) = - x \log (b) + \log (2 b^{3 + 1})$

Etapa 3.1.3.3

Some $3$ e $1$ .

$\log (\frac{x}{5}) = - x \log (b) + \log (2 b^{4})$

Etapa 4

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\log (\frac{x}{5}) + x \log (b) - \log (2 b^{4}) = 0$

Etapa 5

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \log (b) + \log (\frac{\frac{x}{5}}{2 b^{4}}) = 0$

Etapa 6

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x \log (b) + \log (\frac{x}{5} \cdot \frac{1}{2 b^{4}}) = 0$

Etapa 6.2

Combine.

$x \log (b) + \log (\frac{x \cdot 1}{5 (2 b^{4})}) = 0$

Etapa 6.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$x \log (b) + \log (\frac{x}{5 \cdot (2 b^{4})}) = 0$

Etapa 6.4

Multiplique $5$ por $2$ .

$x \log (b) + \log (\frac{x}{10 b^{4}}) = 0$

Etapa 7

Reescreva $\log (\frac{x}{10 b^{4}}) = - x \log (b)$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$10^{- x \log (b)} = \frac{x}{10 b^{4}}$

Etapa 8

Resolva $b$ .

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Etapa 8.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (10^{- x \log (b)}) = \ln (\frac{x}{10 b^{4}})$

Etapa 8.2

Expanda $\ln (10^{- x \log (b)})$ movendo $- x \log (b)$ para fora do logaritmo.

$- x \log (b) \ln (10) = \ln (\frac{x}{10 b^{4}})$