Álgebra Exemplos

$x (24 - 2 x) (18 - 2 x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x (24 - 2 x)$ e $g (x) = 18 - 2 x$ .

$x (24 - 2 x) \frac{d}{d x} [18 - 2 x] + (18 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (24 - 2 x)]$

Etapa 1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $18 - 2 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [18] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$x (24 - 2 x) (\frac{d}{d x} [18] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (18 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (24 - 2 x)]$

Etapa 1.2.2

Como $18$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $18$ em relação a $x$ é $0$ .

$x (24 - 2 x) (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (18 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (24 - 2 x)]$

Etapa 1.2.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$x (24 - 2 x) \frac{d}{d x} [- 2 x] + (18 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (24 - 2 x)]$

Etapa 1.2.4

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (24 - 2 x) (- 2 \frac{d}{d x} [x]) + (18 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (24 - 2 x)]$

Etapa 1.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x (24 - 2 x) (- 2 \cdot 1) + (18 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (24 - 2 x)]$

Etapa 1.2.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.1

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$x (24 - 2 x) \cdot - 2 + (18 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (24 - 2 x)]$

Etapa 1.2.6.2

Mova $- 2$ para a esquerda de $x (24 - 2 x)$ .

$- 2 \cdot (x (24 - 2 x)) + (18 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (24 - 2 x)]$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = 24 - 2 x$ .

$- 2 x (24 - 2 x) + (18 - 2 x) (x \frac{d}{d x} [24 - 2 x] + (24 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.4

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $24 - 2 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [24] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$- 2 x (24 - 2 x) + (18 - 2 x) (x (\frac{d}{d x} [24] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (24 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.4.2

Como $24$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $24$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 2 x (24 - 2 x) + (18 - 2 x) (x (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (24 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.4.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$- 2 x (24 - 2 x) + (18 - 2 x) (x \frac{d}{d x} [- 2 x] + (24 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.4.4

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 x (24 - 2 x) + (18 - 2 x) (x (- 2 \frac{d}{d x} [x]) + (24 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.4.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 2 x (24 - 2 x) + (18 - 2 x) (x (- 2 \cdot 1) + (24 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.4.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.6.1

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$- 2 x (24 - 2 x) + (18 - 2 x) (x \cdot - 2 + (24 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.4.6.2

Mova $- 2$ para a esquerda de $x$ .

$- 2 x (24 - 2 x) + (18 - 2 x) (- 2 \cdot x + (24 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.4.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 2 x (24 - 2 x) + (18 - 2 x) (- 2 x + (24 - 2 x) \cdot 1)$

Etapa 1.4.8

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.8.1

Multiplique $24 - 2 x$ por $1$ .

$- 2 x (24 - 2 x) + (18 - 2 x) (- 2 x + 24 - 2 x)$

Etapa 1.4.8.2

Subtraia $2 x$ de $- 2 x$ .

$- 2 x (24 - 2 x) + (18 - 2 x) (- 4 x + 24)$

Etapa 1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 2 x \cdot 24 - 2 x (- 2 x) + (18 - 2 x) (- 4 x + 24)$

Etapa 1.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- 2 x \cdot 24 - 2 x (- 2 x) + (18 - 2 x) (- 4 x) + (18 - 2 x) \cdot 24$

Etapa 1.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- 2 x \cdot 24 - 2 x (- 2 x) + 18 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + (18 - 2 x) \cdot 24$

Etapa 1.5.4

Aplique a propriedade distributiva.

$- 2 x \cdot 24 - 2 x (- 2 x) + 18 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 18 \cdot 24 - 2 x \cdot 24$

Etapa 1.5.5

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.5.1

Multiplique $24$ por $- 2$ .

$- 48 x - 2 x (- 2 x) + 18 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 18 \cdot 24 - 2 x \cdot 24$

Etapa 1.5.5.2

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$- 48 x + 4 x \cdot x + 18 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 18 \cdot 24 - 2 x \cdot 24$

Etapa 1.5.5.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- 48 x + 4 (x^{1} x) + 18 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 18 \cdot 24 - 2 x \cdot 24$

Etapa 1.5.5.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- 48 x + 4 (x^{1} x^{1}) + 18 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 18 \cdot 24 - 2 x \cdot 24$

Etapa 1.5.5.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 48 x + 4 x^{1 + 1} + 18 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 18 \cdot 24 - 2 x \cdot 24$

Etapa 1.5.5.6

Some $1$ e $1$ .

$- 48 x + 4 x^{2} + 18 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 18 \cdot 24 - 2 x \cdot 24$

Etapa 1.5.5.7

Multiplique $- 4$ por $18$ .

$- 48 x + 4 x^{2} - 72 x - 2 x (- 4 x) + 18 \cdot 24 - 2 x \cdot 24$

Etapa 1.5.5.8

Multiplique $- 4$ por $- 2$ .

$- 48 x + 4 x^{2} - 72 x + 8 x \cdot x + 18 \cdot 24 - 2 x \cdot 24$

Etapa 1.5.5.9

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- 48 x + 4 x^{2} - 72 x + 8 (x^{1} x) + 18 \cdot 24 - 2 x \cdot 24$

Etapa 1.5.5.10

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- 48 x + 4 x^{2} - 72 x + 8 (x^{1} x^{1}) + 18 \cdot 24 - 2 x \cdot 24$

Etapa 1.5.5.11

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 48 x + 4 x^{2} - 72 x + 8 x^{1 + 1} + 18 \cdot 24 - 2 x \cdot 24$

Etapa 1.5.5.12

Some $1$ e $1$ .

$- 48 x + 4 x^{2} - 72 x + 8 x^{2} + 18 \cdot 24 - 2 x \cdot 24$

Etapa 1.5.5.13

Multiplique $18$ por $24$ .

$- 48 x + 4 x^{2} - 72 x + 8 x^{2} + 432 - 2 x \cdot 24$

Etapa 1.5.5.14

Multiplique $24$ por $- 2$ .

$- 48 x + 4 x^{2} - 72 x + 8 x^{2} + 432 - 48 x$

Etapa 1.5.5.15

Subtraia $48 x$ de $- 72 x$ .

$- 48 x + 4 x^{2} - 120 x + 8 x^{2} + 432$

Etapa 1.5.5.16

Subtraia $120 x$ de $- 48 x$ .

$4 x^{2} - 168 x + 8 x^{2} + 432$

Etapa 1.5.5.17

Some $4 x^{2}$ e $8 x^{2}$ .

$12 x^{2} - 168 x + 432$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $12 x^{2} - 168 x + 432$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 168 x] + \frac{d}{d x} [432]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 168 x) + \frac{d}{d x} (432)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12 x^{2}$ em relação a $x$ é $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 168 x) + \frac{d}{d x} (432)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 168 x) + \frac{d}{d x} (432)$

Etapa 2.2.3

Multiplique $2$ por $12$ .

$f'' (x) = 24 x + \frac{d}{d x} (- 168 x) + \frac{d}{d x} (432)$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 168 x]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 168$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 168 x$ em relação a $x$ é $- 168 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 24 x - 168 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (432)$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 24 x - 168 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (432)$

Etapa 2.3.3

Multiplique $- 168$ por $1$ .

$f'' (x) = 24 x - 168 + \frac{d}{d x} (432)$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.4.1

Como $432$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $432$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 24 x - 168 + 0$

Etapa 2.4.2

Some $24 x - 168$ e $0$ .

$f'' (x) = 24 x - 168$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$12 x^{2} - 168 x + 432 = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

$f' (x) = x (24 - 2 x) \frac{d}{d x} (18 - 2 x) + (18 - 2 x) \frac{d}{d x} (x (24 - 2 x))$

Etapa 4.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $18 - 2 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [18] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$f' (x) = x (24 - 2 x) (\frac{d}{d x} (18) + \frac{d}{d x} (- 2 x)) + (18 - 2 x) \frac{d}{d x} (x (24 - 2 x))$

Etapa 4.1.2.2

Como $18$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $18$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = x (24 - 2 x) (0 + \frac{d}{d x} (- 2 x)) + (18 - 2 x) \frac{d}{d x} (x (24 - 2 x))$

Etapa 4.1.2.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$f' (x) = x (24 - 2 x) \frac{d}{d x} (- 2 x) + (18 - 2 x) \frac{d}{d x} (x (24 - 2 x))$

Etapa 4.1.2.4

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x (24 - 2 x) (- 2 \frac{d}{d x} x) + (18 - 2 x) \frac{d}{d x} (x (24 - 2 x))$

Etapa 4.1.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = x (24 - 2 x) (- 2 \cdot 1) + (18 - 2 x) \frac{d}{d x} (x (24 - 2 x))$

Etapa 4.1.2.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.6.1

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$f' (x) = x (24 - 2 x) \cdot - 2 + (18 - 2 x) \frac{d}{d x} (x (24 - 2 x))$

Etapa 4.1.2.6.2

Mova $- 2$ para a esquerda de $x (24 - 2 x)$ .

$f' (x) = - 2 \cdot (x (24 - 2 x)) + (18 - 2 x) \frac{d}{d x} (x (24 - 2 x))$

Etapa 4.1.3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = 24 - 2 x$ .

$f' (x) = - 2 x (24 - 2 x) + (18 - 2 x) (x \frac{d}{d x} (24 - 2 x) + (24 - 2 x) \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 4.1.4

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $24 - 2 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [24] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$f' (x) = - 2 x (24 - 2 x) + (18 - 2 x) (x (\frac{d}{d x} (24) + \frac{d}{d x} (- 2 x)) + (24 - 2 x) \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 4.1.4.2

Como $24$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $24$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = - 2 x (24 - 2 x) + (18 - 2 x) (x (0 + \frac{d}{d x} (- 2 x)) + (24 - 2 x) \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 4.1.4.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$f' (x) = - 2 x (24 - 2 x) + (18 - 2 x) (x \frac{d}{d x} (- 2 x) + (24 - 2 x) \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 4.1.4.4

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = - 2 x (24 - 2 x) + (18 - 2 x) (x (- 2 \frac{d}{d x} x) + (24 - 2 x) \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 4.1.4.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = - 2 x (24 - 2 x) + (18 - 2 x) (x (- 2 \cdot 1) + (24 - 2 x) \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 4.1.4.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.6.1

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$f' (x) = - 2 x (24 - 2 x) + (18 - 2 x) (x \cdot - 2 + (24 - 2 x) \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 4.1.4.6.2

Mova $- 2$ para a esquerda de $x$ .

$f' (x) = - 2 x (24 - 2 x) + (18 - 2 x) (- 2 \cdot x + (24 - 2 x) \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 4.1.4.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = - 2 x (24 - 2 x) + (18 - 2 x) (- 2 x + (24 - 2 x) \cdot 1)$

Etapa 4.1.4.8

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.8.1

Multiplique $24 - 2 x$ por $1$ .

$f' (x) = - 2 x (24 - 2 x) + (18 - 2 x) (- 2 x + 24 - 2 x)$

Etapa 4.1.4.8.2

Subtraia $2 x$ de $- 2 x$ .

$f' (x) = - 2 x (24 - 2 x) + (18 - 2 x) (- 4 x + 24)$

Etapa 4.1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = - 2 x \cdot 24 - 2 x (- 2 x) + (18 - 2 x) (- 4 x + 24)$

Etapa 4.1.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = - 2 x \cdot 24 - 2 x (- 2 x) + (18 - 2 x) (- 4 x) + (18 - 2 x) \cdot 24$

Etapa 4.1.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = - 2 x \cdot 24 - 2 x (- 2 x) + 18 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + (18 - 2 x) \cdot 24$

Etapa 4.1.5.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = - 2 x \cdot 24 - 2 x (- 2 x) + 18 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 18 \cdot 24 - 2 x \cdot 24$

Etapa 4.1.5.5

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.5.5.1

Multiplique $24$ por $- 2$ .

$f' (x) = - 48 x - 2 x (- 2 x) + 18 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 18 \cdot 24 - 2 x \cdot 24$

Etapa 4.1.5.5.2

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$f' (x) = - 48 x + 4 x \cdot x + 18 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 18 \cdot 24 - 2 x \cdot 24$

Etapa 4.1.5.5.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = - 48 x + 4 (x \cdot x) + 18 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 18 \cdot 24 - 2 x \cdot 24$

Etapa 4.1.5.5.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = - 48 x + 4 (x \cdot x) + 18 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 18 \cdot 24 - 2 x \cdot 24$

Etapa 4.1.5.5.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = - 48 x + 4 x^{1 + 1} + 18 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 18 \cdot 24 - 2 x \cdot 24$

Etapa 4.1.5.5.6

Some $1$ e $1$ .

$f' (x) = - 48 x + 4 x^{2} + 18 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 18 \cdot 24 - 2 x \cdot 24$

Etapa 4.1.5.5.7

Multiplique $- 4$ por $18$ .

$f' (x) = - 48 x + 4 x^{2} - 72 x - 2 x (- 4 x) + 18 \cdot 24 - 2 x \cdot 24$

Etapa 4.1.5.5.8

Multiplique $- 4$ por $- 2$ .

$f' (x) = - 48 x + 4 x^{2} - 72 x + 8 x \cdot x + 18 \cdot 24 - 2 x \cdot 24$

Etapa 4.1.5.5.9

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = - 48 x + 4 x^{2} - 72 x + 8 (x \cdot x) + 18 \cdot 24 - 2 x \cdot 24$

Etapa 4.1.5.5.10

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = - 48 x + 4 x^{2} - 72 x + 8 (x \cdot x) + 18 \cdot 24 - 2 x \cdot 24$

Etapa 4.1.5.5.11

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = - 48 x + 4 x^{2} - 72 x + 8 x^{1 + 1} + 18 \cdot 24 - 2 x \cdot 24$

Etapa 4.1.5.5.12

Some $1$ e $1$ .

$f' (x) = - 48 x + 4 x^{2} - 72 x + 8 x^{2} + 18 \cdot 24 - 2 x \cdot 24$

Etapa 4.1.5.5.13

Multiplique $18$ por $24$ .

$f' (x) = - 48 x + 4 x^{2} - 72 x + 8 x^{2} + 432 - 2 x \cdot 24$

Etapa 4.1.5.5.14

Multiplique $24$ por $- 2$ .

$f' (x) = - 48 x + 4 x^{2} - 72 x + 8 x^{2} + 432 - 48 x$

Etapa 4.1.5.5.15

Subtraia $48 x$ de $- 72 x$ .

$f' (x) = - 48 x + 4 x^{2} - 120 x + 8 x^{2} + 432$

Etapa 4.1.5.5.16

Subtraia $120 x$ de $- 48 x$ .

$f' (x) = 4 x^{2} - 168 x + 8 x^{2} + 432$

Etapa 4.1.5.5.17

Some $4 x^{2}$ e $8 x^{2}$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 168 x + 432$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $12 x^{2} - 168 x + 432$ .

$12 x^{2} - 168 x + 432$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $12 x^{2} - 168 x + 432 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$12 x^{2} - 168 x + 432 = 0$

Etapa 5.2

Fatore $12$ de $12 x^{2} - 168 x + 432$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Fatore $12$ de $12 x^{2}$ .

$12 (x^{2}) - 168 x + 432 = 0$

Etapa 5.2.2

Fatore $12$ de $- 168 x$ .

$12 (x^{2}) + 12 (- 14 x) + 432 = 0$

Etapa 5.2.3

Fatore $12$ de $432$ .

$12 x^{2} + 12 (- 14 x) + 12 \cdot 36 = 0$

Etapa 5.2.4

Fatore $12$ de $12 x^{2} + 12 (- 14 x)$ .

$12 (x^{2} - 14 x) + 12 \cdot 36 = 0$

Etapa 5.2.5

Fatore $12$ de $12 (x^{2} - 14 x) + 12 \cdot 36$ .

$12 (x^{2} - 14 x + 36) = 0$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $12 (x^{2} - 14 x + 36) = 0$ por $12$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $12 (x^{2} - 14 x + 36) = 0$ por $12$ .

$\frac{12 (x^{2} - 14 x + 36)}{12} = \frac{0}{12}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{12 (x^{2} - 14 x + 36)}{12} = \frac{0}{12}$

Etapa 5.3.2.1.2

Divida $x^{2} - 14 x + 36$ por $1$ .

$x^{2} - 14 x + 36 = \frac{0}{12}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Divida $0$ por $12$ .

$x^{2} - 14 x + 36 = 0$

Etapa 5.4

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 5.5

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 14$ e $c = 36$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 36)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1.1

Eleve $- 14$ à potência de $2$ .

$x = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.6.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 36$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.6.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $36$ .

$x = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 144}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.6.1.3

Subtraia $144$ de $196$ .

$x = \frac{14 \pm \sqrt{52}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.6.1.4

Reescreva $52$ como $2^{2} \cdot 13$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1.4.1

Fatore $4$ de $52$ .

$x = \frac{14 \pm \sqrt{4 (13)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.6.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{14 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.6.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{14 \pm 2 \sqrt{13}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.6.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{14 \pm 2 \sqrt{13}}{2}$

Etapa 5.6.3

Simplifique $\frac{14 \pm 2 \sqrt{13}}{2}$ .

$x = 7 \pm \sqrt{13}$

Etapa 5.7

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = 7 + \sqrt{13}, 7 - \sqrt{13}$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 7 + \sqrt{13}, 7 - \sqrt{13}$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 7 + \sqrt{13}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$24 (7 + \sqrt{13}) - 168$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$24 \cdot 7 + 24 \sqrt{13} - 168$

Etapa 9.1.2

Multiplique $24$ por $7$ .

$168 + 24 \sqrt{13} - 168$

Etapa 9.2

Simplifique subtraindo os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Subtraia $168$ de $168$ .

$0 + 24 \sqrt{13}$

Etapa 9.2.2

Some $0$ e $24 \sqrt{13}$ .

$24 \sqrt{13}$

Etapa 10

$x = 7 + \sqrt{13}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 7 + \sqrt{13}$ é um mínimo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = 7 + \sqrt{13}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $7 + \sqrt{13}$ na expressão.

$f (7 + \sqrt{13}) = (7 + \sqrt{13}) (24 - 2 (7 + \sqrt{13})) (18 - 2 (7 + \sqrt{13}))$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (7 + \sqrt{13}) = (7 + \sqrt{13}) (24 - 2 \cdot 7 - 2 \sqrt{13}) (18 - 2 (7 + \sqrt{13}))$

Etapa 11.2.1.1.2

Multiplique $- 2$ por $7$ .

$f (7 + \sqrt{13}) = (7 + \sqrt{13}) (24 - 14 - 2 \sqrt{13}) (18 - 2 (7 + \sqrt{13}))$

Etapa 11.2.1.2

Subtraia $14$ de $24$ .

$f (7 + \sqrt{13}) = (7 + \sqrt{13}) (10 - 2 \sqrt{13}) (18 - 2 (7 + \sqrt{13}))$

Etapa 11.2.2

Expanda $(7 + \sqrt{13}) (10 - 2 \sqrt{13})$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (7 + \sqrt{13}) = (7 (10 - 2 \sqrt{13}) + \sqrt{13} (10 - 2 \sqrt{13})) (18 - 2 (7 + \sqrt{13}))$

Etapa 11.2.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (7 + \sqrt{13}) = (7 \cdot 10 + 7 (- 2 \sqrt{13}) + \sqrt{13} (10 - 2 \sqrt{13})) (18 - 2 (7 + \sqrt{13}))$

Etapa 11.2.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f (7 + \sqrt{13}) = (7 \cdot 10 + 7 (- 2 \sqrt{13}) + \sqrt{13} \cdot 10 + \sqrt{13} (- 2 \sqrt{13})) (18 - 2 (7 + \sqrt{13}))$

Etapa 11.2.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.3.1.1

Multiplique $7$ por $10$ .

$f (7 + \sqrt{13}) = (70 + 7 (- 2 \sqrt{13}) + \sqrt{13} \cdot 10 + \sqrt{13} (- 2 \sqrt{13})) (18 - 2 (7 + \sqrt{13}))$

Etapa 11.2.3.1.2

Multiplique $- 2$ por $7$ .

$f (7 + \sqrt{13}) = (70 - 14 \sqrt{13} + \sqrt{13} \cdot 10 + \sqrt{13} (- 2 \sqrt{13})) (18 - 2 (7 + \sqrt{13}))$

Etapa 11.2.3.1.3

Mova $10$ para a esquerda de $\sqrt{13}$ .

$f (7 + \sqrt{13}) = (70 - 14 \sqrt{13} + 10 \cdot \sqrt{13} + \sqrt{13} (- 2 \sqrt{13})) (18 - 2 (7 + \sqrt{13}))$

Etapa 11.2.3.1.4

Multiplique $\sqrt{13} (- 2 \sqrt{13})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.3.1.4.1

Eleve $\sqrt{13}$ à potência de $1$ .

$f (7 + \sqrt{13}) = (70 - 14 \sqrt{13} + 10 \sqrt{13} - 2 (\sqrt{13} \sqrt{13})) (18 - 2 (7 + \sqrt{13}))$

Etapa 11.2.3.1.4.2

Eleve $\sqrt{13}$ à potência de $1$ .

$f (7 + \sqrt{13}) = (70 - 14 \sqrt{13} + 10 \sqrt{13} - 2 (\sqrt{13} \sqrt{13})) (18 - 2 (7 + \sqrt{13}))$

Etapa 11.2.3.1.4.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (7 + \sqrt{13}) = (70 - 14 \sqrt{13} + 10 \sqrt{13} - 2 {\sqrt{13}}^{1 + 1}) (18 - 2 (7 + \sqrt{13}))$

Etapa 11.2.3.1.4.4

Some $1$ e $1$ .

$f (7 + \sqrt{13}) = (70 - 14 \sqrt{13} + 10 \sqrt{13} - 2 {\sqrt{13}}^{2}) (18 - 2 (7 + \sqrt{13}))$

Etapa 11.2.3.1.5

Reescreva ${\sqrt{13}}^{2}$ como $13$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.3.1.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{13}$ como $13^{\frac{1}{2}}$ .

$f (7 + \sqrt{13}) = (70 - 14 \sqrt{13} + 10 \sqrt{13} - 2 {(13^{\frac{1}{2}})}^{2}) (18 - 2 (7 + \sqrt{13}))$

Etapa 11.2.3.1.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (7 + \sqrt{13}) = (70 - 14 \sqrt{13} + 10 \sqrt{13} - 2 \cdot 13^{\frac{1}{2} \cdot 2}) (18 - 2 (7 + \sqrt{13}))$

Etapa 11.2.3.1.5.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (7 + \sqrt{13}) = (70 - 14 \sqrt{13} + 10 \sqrt{13} - 2 \cdot 13^{\frac{2}{2}}) (18 - 2 (7 + \sqrt{13}))$

Etapa 11.2.3.1.5.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.3.1.5.4.1

Cancele o fator comum.

$f (7 + \sqrt{13}) = (70 - 14 \sqrt{13} + 10 \sqrt{13} - 2 \cdot 13^{\frac{2}{2}}) (18 - 2 (7 + \sqrt{13}))$

Etapa 11.2.3.1.5.4.2

Reescreva a expressão.

$f (7 + \sqrt{13}) = (70 - 14 \sqrt{13} + 10 \sqrt{13} - 2 \cdot 13) (18 - 2 (7 + \sqrt{13}))$

Etapa 11.2.3.1.5.5

Avalie o expoente.

$f (7 + \sqrt{13}) = (70 - 14 \sqrt{13} + 10 \sqrt{13} - 2 \cdot 13) (18 - 2 (7 + \sqrt{13}))$

Etapa 11.2.3.1.6

Multiplique $- 2$ por $13$ .

$f (7 + \sqrt{13}) = (70 - 14 \sqrt{13} + 10 \sqrt{13} - 26) (18 - 2 (7 + \sqrt{13}))$

Etapa 11.2.3.2

Subtraia $26$ de $70$ .

$f (7 + \sqrt{13}) = (44 - 14 \sqrt{13} + 10 \sqrt{13}) (18 - 2 (7 + \sqrt{13}))$

Etapa 11.2.3.3

Some $- 14 \sqrt{13}$ e $10 \sqrt{13}$ .

$f (7 + \sqrt{13}) = (44 - 4 \sqrt{13}) (18 - 2 (7 + \sqrt{13}))$

Etapa 11.2.4

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.4.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (7 + \sqrt{13}) = (44 - 4 \sqrt{13}) (18 - 2 \cdot 7 - 2 \sqrt{13})$

Etapa 11.2.4.1.2

Multiplique $- 2$ por $7$ .

$f (7 + \sqrt{13}) = (44 - 4 \sqrt{13}) (18 - 14 - 2 \sqrt{13})$

Etapa 11.2.4.2

Subtraia $14$ de $18$ .

$f (7 + \sqrt{13}) = (44 - 4 \sqrt{13}) (4 - 2 \sqrt{13})$

Etapa 11.2.5

Expanda $(44 - 4 \sqrt{13}) (4 - 2 \sqrt{13})$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (7 + \sqrt{13}) = 44 (4 - 2 \sqrt{13}) - 4 \sqrt{13} (4 - 2 \sqrt{13})$

Etapa 11.2.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (7 + \sqrt{13}) = 44 \cdot 4 + 44 (- 2 \sqrt{13}) - 4 \sqrt{13} (4 - 2 \sqrt{13})$

Etapa 11.2.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f (7 + \sqrt{13}) = 44 \cdot 4 + 44 (- 2 \sqrt{13}) - 4 \sqrt{13} \cdot 4 - 4 \sqrt{13} (- 2 \sqrt{13})$

Etapa 11.2.6

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.6.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.6.1.1

Multiplique $44$ por $4$ .

$f (7 + \sqrt{13}) = 176 + 44 (- 2 \sqrt{13}) - 4 \sqrt{13} \cdot 4 - 4 \sqrt{13} (- 2 \sqrt{13})$

Etapa 11.2.6.1.2

Multiplique $- 2$ por $44$ .

$f (7 + \sqrt{13}) = 176 - 88 \sqrt{13} - 4 \sqrt{13} \cdot 4 - 4 \sqrt{13} (- 2 \sqrt{13})$

Etapa 11.2.6.1.3

Multiplique $4$ por $- 4$ .

$f (7 + \sqrt{13}) = 176 - 88 \sqrt{13} - 16 \sqrt{13} - 4 \sqrt{13} (- 2 \sqrt{13})$

Etapa 11.2.6.1.4

Multiplique $- 4 \sqrt{13} (- 2 \sqrt{13})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.6.1.4.1

Multiplique $- 2$ por $- 4$ .

$f (7 + \sqrt{13}) = 176 - 88 \sqrt{13} - 16 \sqrt{13} + 8 \sqrt{13} \sqrt{13}$

Etapa 11.2.6.1.4.2

Eleve $\sqrt{13}$ à potência de $1$ .

$f (7 + \sqrt{13}) = 176 - 88 \sqrt{13} - 16 \sqrt{13} + 8 (\sqrt{13} \sqrt{13})$

Etapa 11.2.6.1.4.3

Eleve $\sqrt{13}$ à potência de $1$ .

$f (7 + \sqrt{13}) = 176 - 88 \sqrt{13} - 16 \sqrt{13} + 8 (\sqrt{13} \sqrt{13})$

Etapa 11.2.6.1.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (7 + \sqrt{13}) = 176 - 88 \sqrt{13} - 16 \sqrt{13} + 8 {\sqrt{13}}^{1 + 1}$

Etapa 11.2.6.1.4.5

Some $1$ e $1$ .

$f (7 + \sqrt{13}) = 176 - 88 \sqrt{13} - 16 \sqrt{13} + 8 {\sqrt{13}}^{2}$

Etapa 11.2.6.1.5

Reescreva ${\sqrt{13}}^{2}$ como $13$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.6.1.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{13}$ como $13^{\frac{1}{2}}$ .

$f (7 + \sqrt{13}) = 176 - 88 \sqrt{13} - 16 \sqrt{13} + 8 {(13^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Etapa 11.2.6.1.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (7 + \sqrt{13}) = 176 - 88 \sqrt{13} - 16 \sqrt{13} + 8 \cdot 13^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Etapa 11.2.6.1.5.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (7 + \sqrt{13}) = 176 - 88 \sqrt{13} - 16 \sqrt{13} + 8 \cdot 13^{\frac{2}{2}}$

Etapa 11.2.6.1.5.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.6.1.5.4.1

Cancele o fator comum.

$f (7 + \sqrt{13}) = 176 - 88 \sqrt{13} - 16 \sqrt{13} + 8 \cdot 13^{\frac{2}{2}}$

Etapa 11.2.6.1.5.4.2

Reescreva a expressão.

$f (7 + \sqrt{13}) = 176 - 88 \sqrt{13} - 16 \sqrt{13} + 8 \cdot 13$

Etapa 11.2.6.1.5.5

Avalie o expoente.

$f (7 + \sqrt{13}) = 176 - 88 \sqrt{13} - 16 \sqrt{13} + 8 \cdot 13$

Etapa 11.2.6.1.6

Multiplique $8$ por $13$ .

$f (7 + \sqrt{13}) = 176 - 88 \sqrt{13} - 16 \sqrt{13} + 104$

Etapa 11.2.6.2

Some $176$ e $104$ .

$f (7 + \sqrt{13}) = 280 - 88 \sqrt{13} - 16 \sqrt{13}$

Etapa 11.2.6.3

Subtraia $16 \sqrt{13}$ de $- 88 \sqrt{13}$ .

$f (7 + \sqrt{13}) = 280 - 104 \sqrt{13}$

Etapa 11.2.7

A resposta final é $280 - 104 \sqrt{13}$ .

$y = 280 - 104 \sqrt{13}$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = 7 - \sqrt{13}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$24 (7 - \sqrt{13}) - 168$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$24 \cdot 7 + 24 (- \sqrt{13}) - 168$

Etapa 13.1.2

Multiplique $24$ por $7$ .

$168 + 24 (- \sqrt{13}) - 168$

Etapa 13.1.3

Multiplique $- 1$ por $24$ .

$168 - 24 \sqrt{13} - 168$

Etapa 13.2

Simplifique subtraindo os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1

Subtraia $168$ de $168$ .

$0 - 24 \sqrt{13}$

Etapa 13.2.2

Subtraia $24 \sqrt{13}$ de $0$ .

$- 24 \sqrt{13}$

Etapa 14

$x = 7 - \sqrt{13}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 7 - \sqrt{13}$ é um máximo local

Etapa 15

Encontre o valor y quando $x = 7 - \sqrt{13}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Substitua a variável $x$ por $7 - \sqrt{13}$ na expressão.

$f (7 - \sqrt{13}) = (7 - \sqrt{13}) (24 - 2 (7 - \sqrt{13})) (18 - 2 (7 - \sqrt{13}))$

Etapa 15.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (7 - \sqrt{13}) = (7 - \sqrt{13}) (24 - 2 \cdot 7 - 2 (- \sqrt{13})) (18 - 2 (7 - \sqrt{13}))$

Etapa 15.2.1.1.2

Multiplique $- 2$ por $7$ .

$f (7 - \sqrt{13}) = (7 - \sqrt{13}) (24 - 14 - 2 (- \sqrt{13})) (18 - 2 (7 - \sqrt{13}))$

Etapa 15.2.1.1.3

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$f (7 - \sqrt{13}) = (7 - \sqrt{13}) (24 - 14 + 2 \sqrt{13}) (18 - 2 (7 - \sqrt{13}))$

Etapa 15.2.1.2

Subtraia $14$ de $24$ .

$f (7 - \sqrt{13}) = (7 - \sqrt{13}) (10 + 2 \sqrt{13}) (18 - 2 (7 - \sqrt{13}))$

Etapa 15.2.2

Expanda $(7 - \sqrt{13}) (10 + 2 \sqrt{13})$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (7 - \sqrt{13}) = (7 (10 + 2 \sqrt{13}) - \sqrt{13} (10 + 2 \sqrt{13})) (18 - 2 (7 - \sqrt{13}))$

Etapa 15.2.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (7 - \sqrt{13}) = (7 \cdot 10 + 7 (2 \sqrt{13}) - \sqrt{13} (10 + 2 \sqrt{13})) (18 - 2 (7 - \sqrt{13}))$

Etapa 15.2.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f (7 - \sqrt{13}) = (7 \cdot 10 + 7 (2 \sqrt{13}) - \sqrt{13} \cdot 10 - \sqrt{13} (2 \sqrt{13})) (18 - 2 (7 - \sqrt{13}))$

Etapa 15.2.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.3.1.1

Multiplique $7$ por $10$ .

$f (7 - \sqrt{13}) = (70 + 7 (2 \sqrt{13}) - \sqrt{13} \cdot 10 - \sqrt{13} (2 \sqrt{13})) (18 - 2 (7 - \sqrt{13}))$

Etapa 15.2.3.1.2

Multiplique $2$ por $7$ .

$f (7 - \sqrt{13}) = (70 + 14 \sqrt{13} - \sqrt{13} \cdot 10 - \sqrt{13} (2 \sqrt{13})) (18 - 2 (7 - \sqrt{13}))$

Etapa 15.2.3.1.3

Multiplique $10$ por $- 1$ .

$f (7 - \sqrt{13}) = (70 + 14 \sqrt{13} - 10 \sqrt{13} - \sqrt{13} (2 \sqrt{13})) (18 - 2 (7 - \sqrt{13}))$

Etapa 15.2.3.1.4

Multiplique $- \sqrt{13} (2 \sqrt{13})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.3.1.4.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f (7 - \sqrt{13}) = (70 + 14 \sqrt{13} - 10 \sqrt{13} - 2 \sqrt{13} \sqrt{13}) (18 - 2 (7 - \sqrt{13}))$

Etapa 15.2.3.1.4.2

Eleve $\sqrt{13}$ à potência de $1$ .

$f (7 - \sqrt{13}) = (70 + 14 \sqrt{13} - 10 \sqrt{13} - 2 (\sqrt{13} \sqrt{13})) (18 - 2 (7 - \sqrt{13}))$

Etapa 15.2.3.1.4.3

Eleve $\sqrt{13}$ à potência de $1$ .

$f (7 - \sqrt{13}) = (70 + 14 \sqrt{13} - 10 \sqrt{13} - 2 (\sqrt{13} \sqrt{13})) (18 - 2 (7 - \sqrt{13}))$

Etapa 15.2.3.1.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (7 - \sqrt{13}) = (70 + 14 \sqrt{13} - 10 \sqrt{13} - 2 {\sqrt{13}}^{1 + 1}) (18 - 2 (7 - \sqrt{13}))$

Etapa 15.2.3.1.4.5

Some $1$ e $1$ .

$f (7 - \sqrt{13}) = (70 + 14 \sqrt{13} - 10 \sqrt{13} - 2 {\sqrt{13}}^{2}) (18 - 2 (7 - \sqrt{13}))$

Etapa 15.2.3.1.5

Reescreva ${\sqrt{13}}^{2}$ como $13$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.3.1.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{13}$ como $13^{\frac{1}{2}}$ .

$f (7 - \sqrt{13}) = (70 + 14 \sqrt{13} - 10 \sqrt{13} - 2 {(13^{\frac{1}{2}})}^{2}) (18 - 2 (7 - \sqrt{13}))$

Etapa 15.2.3.1.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (7 - \sqrt{13}) = (70 + 14 \sqrt{13} - 10 \sqrt{13} - 2 \cdot 13^{\frac{1}{2} \cdot 2}) (18 - 2 (7 - \sqrt{13}))$

Etapa 15.2.3.1.5.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (7 - \sqrt{13}) = (70 + 14 \sqrt{13} - 10 \sqrt{13} - 2 \cdot 13^{\frac{2}{2}}) (18 - 2 (7 - \sqrt{13}))$

Etapa 15.2.3.1.5.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.3.1.5.4.1

Cancele o fator comum.

$f (7 - \sqrt{13}) = (70 + 14 \sqrt{13} - 10 \sqrt{13} - 2 \cdot 13^{\frac{2}{2}}) (18 - 2 (7 - \sqrt{13}))$

Etapa 15.2.3.1.5.4.2

Reescreva a expressão.

$f (7 - \sqrt{13}) = (70 + 14 \sqrt{13} - 10 \sqrt{13} - 2 \cdot 13) (18 - 2 (7 - \sqrt{13}))$

Etapa 15.2.3.1.5.5

Avalie o expoente.

$f (7 - \sqrt{13}) = (70 + 14 \sqrt{13} - 10 \sqrt{13} - 2 \cdot 13) (18 - 2 (7 - \sqrt{13}))$

Etapa 15.2.3.1.6

Multiplique $- 2$ por $13$ .

$f (7 - \sqrt{13}) = (70 + 14 \sqrt{13} - 10 \sqrt{13} - 26) (18 - 2 (7 - \sqrt{13}))$

Etapa 15.2.3.2

Subtraia $26$ de $70$ .

$f (7 - \sqrt{13}) = (44 + 14 \sqrt{13} - 10 \sqrt{13}) (18 - 2 (7 - \sqrt{13}))$

Etapa 15.2.3.3

Subtraia $10 \sqrt{13}$ de $14 \sqrt{13}$ .

$f (7 - \sqrt{13}) = (44 + 4 \sqrt{13}) (18 - 2 (7 - \sqrt{13}))$

Etapa 15.2.4

Simplifique os termos.

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Etapa 15.2.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.4.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (7 - \sqrt{13}) = (44 + 4 \sqrt{13}) (18 - 2 \cdot 7 - 2 (- \sqrt{13}))$

Etapa 15.2.4.1.2

Multiplique $- 2$ por $7$ .

$f (7 - \sqrt{13}) = (44 + 4 \sqrt{13}) (18 - 14 - 2 (- \sqrt{13}))$

Etapa 15.2.4.1.3

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$f (7 - \sqrt{13}) = (44 + 4 \sqrt{13}) (18 - 14 + 2 \sqrt{13})$

Etapa 15.2.4.2

Subtraia $14$ de $18$ .

$f (7 - \sqrt{13}) = (44 + 4 \sqrt{13}) (4 + 2 \sqrt{13})$

Etapa 15.2.5

Expanda $(44 + 4 \sqrt{13}) (4 + 2 \sqrt{13})$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (7 - \sqrt{13}) = 44 (4 + 2 \sqrt{13}) + 4 \sqrt{13} (4 + 2 \sqrt{13})$

Etapa 15.2.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (7 - \sqrt{13}) = 44 \cdot 4 + 44 (2 \sqrt{13}) + 4 \sqrt{13} (4 + 2 \sqrt{13})$

Etapa 15.2.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f (7 - \sqrt{13}) = 44 \cdot 4 + 44 (2 \sqrt{13}) + 4 \sqrt{13} \cdot 4 + 4 \sqrt{13} (2 \sqrt{13})$

Etapa 15.2.6

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 15.2.6.1.1

Multiplique $44$ por $4$ .

$f (7 - \sqrt{13}) = 176 + 44 (2 \sqrt{13}) + 4 \sqrt{13} \cdot 4 + 4 \sqrt{13} (2 \sqrt{13})$

Etapa 15.2.6.1.2

Multiplique $2$ por $44$ .

$f (7 - \sqrt{13}) = 176 + 88 \sqrt{13} + 4 \sqrt{13} \cdot 4 + 4 \sqrt{13} (2 \sqrt{13})$

Etapa 15.2.6.1.3

Multiplique $4$ por $4$ .

$f (7 - \sqrt{13}) = 176 + 88 \sqrt{13} + 16 \sqrt{13} + 4 \sqrt{13} (2 \sqrt{13})$

Etapa 15.2.6.1.4

Multiplique $4 \sqrt{13} (2 \sqrt{13})$ .

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Etapa 15.2.6.1.4.1

Multiplique $2$ por $4$ .

$f (7 - \sqrt{13}) = 176 + 88 \sqrt{13} + 16 \sqrt{13} + 8 \sqrt{13} \sqrt{13}$

Etapa 15.2.6.1.4.2

Eleve $\sqrt{13}$ à potência de $1$ .

$f (7 - \sqrt{13}) = 176 + 88 \sqrt{13} + 16 \sqrt{13} + 8 (\sqrt{13} \sqrt{13})$

Etapa 15.2.6.1.4.3

Eleve $\sqrt{13}$ à potência de $1$ .

$f (7 - \sqrt{13}) = 176 + 88 \sqrt{13} + 16 \sqrt{13} + 8 (\sqrt{13} \sqrt{13})$

Etapa 15.2.6.1.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (7 - \sqrt{13}) = 176 + 88 \sqrt{13} + 16 \sqrt{13} + 8 {\sqrt{13}}^{1 + 1}$

Etapa 15.2.6.1.4.5

Some $1$ e $1$ .

$f (7 - \sqrt{13}) = 176 + 88 \sqrt{13} + 16 \sqrt{13} + 8 {\sqrt{13}}^{2}$

Etapa 15.2.6.1.5

Reescreva ${\sqrt{13}}^{2}$ como $13$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.6.1.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{13}$ como $13^{\frac{1}{2}}$ .

$f (7 - \sqrt{13}) = 176 + 88 \sqrt{13} + 16 \sqrt{13} + 8 {(13^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Etapa 15.2.6.1.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (7 - \sqrt{13}) = 176 + 88 \sqrt{13} + 16 \sqrt{13} + 8 \cdot 13^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Etapa 15.2.6.1.5.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (7 - \sqrt{13}) = 176 + 88 \sqrt{13} + 16 \sqrt{13} + 8 \cdot 13^{\frac{2}{2}}$

Etapa 15.2.6.1.5.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.6.1.5.4.1

Cancele o fator comum.

$f (7 - \sqrt{13}) = 176 + 88 \sqrt{13} + 16 \sqrt{13} + 8 \cdot 13^{\frac{2}{2}}$

Etapa 15.2.6.1.5.4.2

Reescreva a expressão.

$f (7 - \sqrt{13}) = 176 + 88 \sqrt{13} + 16 \sqrt{13} + 8 \cdot 13$

Etapa 15.2.6.1.5.5

Avalie o expoente.

$f (7 - \sqrt{13}) = 176 + 88 \sqrt{13} + 16 \sqrt{13} + 8 \cdot 13$

Etapa 15.2.6.1.6

Multiplique $8$ por $13$ .

$f (7 - \sqrt{13}) = 176 + 88 \sqrt{13} + 16 \sqrt{13} + 104$

Etapa 15.2.6.2

Some $176$ e $104$ .

$f (7 - \sqrt{13}) = 280 + 88 \sqrt{13} + 16 \sqrt{13}$

Etapa 15.2.6.3

Some $88 \sqrt{13}$ e $16 \sqrt{13}$ .

$f (7 - \sqrt{13}) = 280 + 104 \sqrt{13}$

Etapa 15.2.7

A resposta final é $280 + 104 \sqrt{13}$ .

$y = 280 + 104 \sqrt{13}$

Etapa 16

Esses são os extremos locais para $f (x) = x (24 - 2 x) (18 - 2 x)$ .

$(7 + \sqrt{13}, 280 - 104 \sqrt{13})$ é um mínimo local

$(7 - \sqrt{13}, 280 + 104 \sqrt{13})$ é um máximo local

Etapa 17