Álgebra Exemplos

$- \frac{1}{5}$ , $- \frac{1}{3}$

Etapa 1

$x = - \frac{1}{5}$ e $x = - \frac{1}{3}$ são as duas soluções reais distintas para a equação quadrática, o que significa que $x + \frac{1}{5}$ e $x + \frac{1}{3}$ são os fatores da equação quadrática.

$(x + \frac{1}{5}) (x + \frac{1}{3}) = 0$

Etapa 2

Expanda $(x + \frac{1}{5}) (x + \frac{1}{3})$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x (x + \frac{1}{3}) + \frac{1}{5} \cdot (x + \frac{1}{3}) = 0$

Etapa 2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x \cdot x + x (\frac{1}{3}) + \frac{1}{5} \cdot (x + \frac{1}{3}) = 0$

Etapa 2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x \cdot x + x (\frac{1}{3}) + \frac{1}{5} x + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3} = 0$

Etapa 3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{2} + x (\frac{1}{3}) + \frac{1}{5} x + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3} = 0$

Etapa 3.1.2

Combine $x$ e $\frac{1}{3}$ .

$x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{1}{5} x + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3} = 0$

Etapa 3.1.3

Combine $\frac{1}{5}$ e $x$ .

$x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{x}{5} + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3} = 0$

Etapa 3.1.4

Multiplique $\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Etapa 3.1.4.1

Multiplique $\frac{1}{5}$ por $\frac{1}{3}$ .

$x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{x}{5} + \frac{1}{5 \cdot 3} = 0$

Etapa 3.1.4.2

Multiplique $5$ por $3$ .

$x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{x}{5} + \frac{1}{15} = 0$

Etapa 3.2

Para escrever $\frac{x}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$x^{2} + \frac{x}{3} \cdot \frac{5}{5} + \frac{x}{5} + \frac{1}{15} = 0$

Etapa 3.3

Para escrever $\frac{x}{5}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$x^{2} + \frac{x}{3} \cdot \frac{5}{5} + \frac{x}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{15} = 0$

Etapa 3.4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $15$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 3.4.1

Multiplique $\frac{x}{3}$ por $\frac{5}{5}$ .

$x^{2} + \frac{x \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{x}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{15} = 0$

Etapa 3.4.2

Multiplique $3$ por $5$ .

$x^{2} + \frac{x \cdot 5}{15} + \frac{x}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{15} = 0$

Etapa 3.4.3

Multiplique $\frac{x}{5}$ por $\frac{3}{3}$ .

$x^{2} + \frac{x \cdot 5}{15} + \frac{x \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{1}{15} = 0$

Etapa 3.4.4

Multiplique $5$ por $3$ .

$x^{2} + \frac{x \cdot 5}{15} + \frac{x \cdot 3}{15} + \frac{1}{15} = 0$

Etapa 3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x^{2} + \frac{x \cdot 5 + x \cdot 3}{15} + \frac{1}{15} = 0$

Etapa 4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x^{2} + \frac{x \cdot 5 + x \cdot 3 + 1}{15} = 0$

Etapa 5

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.1

Mova $5$ para a esquerda de $x$ .

$x^{2} + \frac{5 \cdot x + x \cdot 3 + 1}{15} = 0$

Etapa 5.2

Mova $3$ para a esquerda de $x$ .

$x^{2} + \frac{5 x + 3 x + 1}{15} = 0$

Etapa 6

Some $5 x$ e $3 x$ .

$x^{2} + \frac{8 x + 1}{15} = 0$

Etapa 7

Para escrever $x^{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{15}{15}$ .

$x^{2} \cdot \frac{15}{15} + \frac{8 x + 1}{15} = 0$

Etapa 8

Combine $x^{2}$ e $\frac{15}{15}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 15}{15} + \frac{8 x + 1}{15} = 0$

Etapa 9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x^{2} \cdot 15 + 8 x + 1}{15} = 0$

Etapa 10

Fatore por agrupamento.

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Etapa 10.1

Reordene os termos.

$\frac{15 x^{2} + 8 x + 1}{15} = 0$

Etapa 10.2

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 15 \cdot 1 = 15$ e cuja soma é $b = 8$ .

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Etapa 10.2.1

Fatore $8$ de $8 x$ .

$\frac{15 x^{2} + 8 (x) + 1}{15} = 0$

Etapa 10.2.2

Reescreva $8$ como $3$ mais $5$

$\frac{15 x^{2} + (3 + 5) x + 1}{15} = 0$

Etapa 10.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{15 x^{2} + 3 x + 5 x + 1}{15} = 0$

Etapa 10.3

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 10.3.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{(15 x^{2} + 3 x) + 5 x + 1}{15} = 0$

Etapa 10.3.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{3 x (5 x + 1) + 1 (5 x + 1)}{15} = 0$

Etapa 10.4

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $5 x + 1$ .

$\frac{(5 x + 1) (3 x + 1)}{15} = 0$

Etapa 11

Expanda $(5 x + 1) (3 x + 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 11.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5 x (3 x + 1) + 1 (3 x + 1)}{15} = 0$

Etapa 11.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5 x (3 x) + 5 x \cdot 1 + 1 (3 x + 1)}{15} = 0$

Etapa 11.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5 x (3 x) + 5 x \cdot 1 + 1 (3 x) + 1 \cdot 1}{15} = 0$

Etapa 12

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 12.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{5 \cdot (3 x \cdot x) + 5 x \cdot 1 + 1 (3 x) + 1 \cdot 1}{15} = 0$

Etapa 12.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 12.1.2.1

Mova $x$ .

$\frac{5 \cdot (3 (x \cdot x)) + 5 x \cdot 1 + 1 (3 x) + 1 \cdot 1}{15} = 0$

Etapa 12.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{5 \cdot (3 x^{2}) + 5 x \cdot 1 + 1 (3 x) + 1 \cdot 1}{15} = 0$

Etapa 12.1.3

Multiplique $5$ por $3$ .

$\frac{15 x^{2} + 5 x \cdot 1 + 1 (3 x) + 1 \cdot 1}{15} = 0$

Etapa 12.1.4

Multiplique $5$ por $1$ .

$\frac{15 x^{2} + 5 x + 1 (3 x) + 1 \cdot 1}{15} = 0$

Etapa 12.1.5

Multiplique $3 x$ por $1$ .

$\frac{15 x^{2} + 5 x + 3 x + 1 \cdot 1}{15} = 0$

Etapa 12.1.6

Multiplique $1$ por $1$ .

$\frac{15 x^{2} + 5 x + 3 x + 1}{15} = 0$

Etapa 12.2

Some $5 x$ e $3 x$ .

$\frac{15 x^{2} + 8 x + 1}{15} = 0$

Etapa 13

Divida a fração $\frac{15 x^{2} + 8 x + 1}{15}$ em duas frações.

$\frac{15 x^{2} + 8 x}{15} + \frac{1}{15} = 0$

Etapa 14

Divida a fração $\frac{15 x^{2} + 8 x}{15}$ em duas frações.

$\frac{15 x^{2}}{15} + \frac{8 x}{15} + \frac{1}{15} = 0$

Etapa 15

Cancele o fator comum de $15$ .

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Etapa 15.1

Cancele o fator comum.

$\frac{15 x^{2}}{15} + \frac{8 x}{15} + \frac{1}{15} = 0$

Etapa 15.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} + \frac{8 x}{15} + \frac{1}{15} = 0$

Etapa 16

A equação quadrática padrão que usa o conjunto de soluções em questão ${- \frac{1}{5}, - \frac{1}{3}}$ é $y = x^{2} + \frac{8 x}{15} + \frac{1}{15}$ .

$y = x^{2} + \frac{8 x}{15} + \frac{1}{15}$

Etapa 17