Álgebra Exemplos

$2 x + y + z = 4$ , $6 y + 5 z = - 33 x$ , $5 y - z = 27$

Etapa 1

Mova as variáveis para o lado esquerdo e todas as constantes para o lado direito.

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Etapa 1.1

Some $33 x$ aos dois lados da equação.

$2 x + y + z = 4$

$6 y + 5 z + 33 x = 0$

$5 y - z = 27$

Etapa 1.2

Mova $5 z$ .

$2 x + y + z = 4$

$6 y + 33 x + 5 z = 0$

$5 y - z = 27$

Etapa 1.3

Reordene $6 y$ e $33 x$ .

$2 x + y + z = 4$

$33 x + 6 y + 5 z = 0$

$5 y - z = 27$

$2 x + y + z = 4$

$33 x + 6 y + 5 z = 0$

$5 y - z = 27$

Etapa 2

Escreva o sistema como uma matriz.

$[\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 & 4 \\ 33 & 6 & 5 & 0 \\ 0 & 5 & - 1 & 27 \end{array}]$

Etapa 3

Encontre a forma escalonada reduzida por linhas.

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Etapa 3.1

Multiplique cada elemento de $R_{1}$ por $\frac{1}{2}$ para tornar a entrada em $1, 1$ um $1$ .

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Etapa 3.1.1

Multiplique cada elemento de $R_{1}$ por $\frac{1}{2}$ para tornar a entrada em $1, 1$ um $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{4}{2} \\ 33 & 6 & 5 & 0 \\ 0 & 5 & - 1 & 27 \end{array}]$

Etapa 3.1.2

Simplifique $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ 33 & 6 & 5 & 0 \\ 0 & 5 & - 1 & 27 \end{array}]$

Etapa 3.2

Execute a operação de linha $R_{2} = R_{2} - 33 R_{1}$ para transformar a entrada em $2, 1$ em $0$ .

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Etapa 3.2.1

Execute a operação de linha $R_{2} = R_{2} - 33 R_{1}$ para transformar a entrada em $2, 1$ em $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ 33 - 33 \cdot 1 & 6 - 33 (\frac{1}{2}) & 5 - 33 (\frac{1}{2}) & 0 - 33 \cdot 2 \\ 0 & 5 & - 1 & 27 \end{array}]$

Etapa 3.2.2

Simplifique $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ 0 & - \frac{21}{2} & - \frac{23}{2} & - 66 \\ 0 & 5 & - 1 & 27 \end{array}]$

Etapa 3.3

Multiplique cada elemento de $R_{2}$ por $- \frac{2}{21}$ para tornar a entrada em $2, 2$ um $1$ .

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Etapa 3.3.1

Multiplique cada elemento de $R_{2}$ por $- \frac{2}{21}$ para tornar a entrada em $2, 2$ um $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ - \frac{2}{21} \cdot 0 & - \frac{2}{21} (- \frac{21}{2}) & - \frac{2}{21} (- \frac{23}{2}) & - \frac{2}{21} \cdot - 66 \\ 0 & 5 & - 1 & 27 \end{array}]$

Etapa 3.3.2

Simplifique $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ 0 & 1 & \frac{23}{21} & \frac{44}{7} \\ 0 & 5 & - 1 & 27 \end{array}]$

Etapa 3.4

Execute a operação de linha $R_{3} = R_{3} - 5 R_{2}$ para transformar a entrada em $3, 2$ em $0$ .

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Etapa 3.4.1

Execute a operação de linha $R_{3} = R_{3} - 5 R_{2}$ para transformar a entrada em $3, 2$ em $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ 0 & 1 & \frac{23}{21} & \frac{44}{7} \\ 0 - 5 \cdot 0 & 5 - 5 \cdot 1 & - 1 - 5 (\frac{23}{21}) & 27 - 5 (\frac{44}{7}) \end{array}]$

Etapa 3.4.2

Simplifique $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ 0 & 1 & \frac{23}{21} & \frac{44}{7} \\ 0 & 0 & - \frac{136}{21} & - \frac{31}{7} \end{array}]$

Etapa 3.5

Multiplique cada elemento de $R_{3}$ por $- \frac{21}{136}$ para tornar a entrada em $3, 3$ um $1$ .

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Etapa 3.5.1

Multiplique cada elemento de $R_{3}$ por $- \frac{21}{136}$ para tornar a entrada em $3, 3$ um $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ 0 & 1 & \frac{23}{21} & \frac{44}{7} \\ - \frac{21}{136} \cdot 0 & - \frac{21}{136} \cdot 0 & - \frac{21}{136} (- \frac{136}{21}) & - \frac{21}{136} (- \frac{31}{7}) \end{array}]$

Etapa 3.5.2

Simplifique $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ 0 & 1 & \frac{23}{21} & \frac{44}{7} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{93}{136} \end{array}]$

Etapa 3.6

Execute a operação de linha $R_{2} = R_{2} - \frac{23}{21} R_{3}$ para transformar a entrada em $2, 3$ em $0$ .

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Etapa 3.6.1

Execute a operação de linha $R_{2} = R_{2} - \frac{23}{21} R_{3}$ para transformar a entrada em $2, 3$ em $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ 0 - \frac{23}{21} \cdot 0 & 1 - \frac{23}{21} \cdot 0 & \frac{23}{21} - \frac{23}{21} \cdot 1 & \frac{44}{7} - \frac{23}{21} \cdot \frac{93}{136} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{93}{136} \end{array}]$

Etapa 3.6.2

Simplifique $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{753}{136} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{93}{136} \end{array}]$

Etapa 3.7

Execute a operação de linha $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{2} R_{3}$ para transformar a entrada em $1, 3$ em $0$ .

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Etapa 3.7.1

Execute a operação de linha $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{2} R_{3}$ para transformar a entrada em $1, 3$ em $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{1}{2} \cdot 0 & \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0 & \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1 & 2 - \frac{1}{2} \cdot \frac{93}{136} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{753}{136} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{93}{136} \end{array}]$

Etapa 3.7.2

Simplifique $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{451}{272} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{753}{136} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{93}{136} \end{array}]$

Etapa 3.8

Execute a operação de linha $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{2} R_{2}$ para transformar a entrada em $1, 2$ em $0$ .

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Etapa 3.8.1

Execute a operação de linha $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{2} R_{2}$ para transformar a entrada em $1, 2$ em $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{1}{2} \cdot 0 & \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1 & 0 - \frac{1}{2} \cdot 0 & \frac{451}{272} - \frac{1}{2} \cdot \frac{753}{136} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{753}{136} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{93}{136} \end{array}]$

Etapa 3.8.2

Simplifique $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - \frac{151}{136} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{753}{136} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{93}{136} \end{array}]$

Etapa 4

Use a matriz de resultados para declarar a solução final ao sistema de equações.

$x = - \frac{151}{136}$

$y = \frac{753}{136}$

$z = \frac{93}{136}$

Etapa 5

A solução é o conjunto de pares ordenados que tornam o sistema verdadeiro.

$(- \frac{151}{136}, \frac{753}{136}, \frac{93}{136})$