Álgebra Exemplos

$7 x + 3 = y - 1$ , $y = 3 x$

Etapa 1

Coloque cada equação do plano na forma padrão.

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Etapa 1.1

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$7 x = y - 1 - 3, y = 3 x$

Etapa 1.2

Subtraia $y$ dos dois lados da equação.

$7 x - y = - 1 - 3, y = 3 x$

Etapa 1.3

Subtraia $3 x$ dos dois lados da equação.

$7 x - y = - 1 - 3, y - 3 x = 0$

Etapa 1.4

Subtraia $3$ de $- 1$ .

$7 x - y = - 4, y - 3 x = 0$

Etapa 2

Para encontrar a intersecção da reta através de um ponto $(p, q, r)$ perpendicular ao plano $P_{1}$ $a x + b y + c z = d$ e ao plano $P_{2}$ $e x + f y + g z = h$ :

1. Encontre os vetores normais do plano $P_{1}$ e do plano $P_{2}$ , em que os vetores normais são $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ e $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ . Verifique se o produto escalar é 0.

2. Crie um conjunto de equações paramétricas como $x = p + a t$ , $y = q + b t$ e $z = r + c t$ .

3. Substitua essas equações na equação do plano $P_{2}$ , como $e (p + a t) + f (q + b t) + g (r + c t) = h$ , e resolva $t$ .

4. Usando o valor de $t$ , resolva as equações paramétricas $x = p + a t$ , $y = q + b t$ e $z = r + c t$ para $t$ para encontrar a intersecção $(x, y, z)$ .

Etapa 3

Encontre os vetores normais de cada plano e determine se eles são perpendiculares ao calcular o produto escalar.

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Etapa 3.1

$P_{1}$ é $7 x - y = - 4$ . Encontre o vetor normal $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ da equação do plano da forma $a x + b y + c z = d$ .

$n_{1} = ⟨ 7, - 1, 0 ⟩$

Etapa 3.2

$P_{2}$ é $y - 3 x = 0$ . Encontre o vetor normal $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ da equação do plano da forma $e x + f y + g z = h$ .

$n_{2} = ⟨ - 3, 1, 0 ⟩$

Etapa 3.3

Calcule o produto escalar de $n_{1}$ e $n_{2}$ com a soma dos produtos dos valores de $x$ , $y$ e $z$ correspondentes nos vetores normais.

$7 \cdot - 3 - 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0$

Etapa 3.4

Simplifique o produto escalar.

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Etapa 3.4.1

Remova os parênteses.

$7 \cdot - 3 - 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0$

Etapa 3.4.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.4.2.1

Multiplique $7$ por $- 3$ .

$- 21 - 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0$

Etapa 3.4.2.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 21 - 1 + 0 \cdot 0$

Etapa 3.4.2.3

Multiplique $0$ por $0$ .

$- 21 - 1 + 0$

Etapa 3.4.3

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 3.4.3.1

Subtraia $1$ de $- 21$ .

$- 22 + 0$

Etapa 3.4.3.2

Some $- 22$ e $0$ .

$- 22$

Etapa 4

Em seguida, crie um conjunto de equações paramétricas $x = p + a t$ , $y = q + b t$ e $z = r + c t$ usando a origem $(0, 0, 0)$ para o ponto $(p, q, r)$ e os valores do vetor normal $- 22$ para os valores de $a$ , $b$ e $c$ . Esse conjunto de equações paramétricas representa a reta através da origem que é perpendicular a $P_{1}$ $7 x - y = - 4$ .

$x = 0 + 7 \cdot t$

$y = 0 + - 1 \cdot t$

$z = 0 + 0 \cdot t$

Etapa 5

Substitua a expressão de $x$ , $y$ e $z$ na equação por $P_{2}$ $y - 3 x = 0$ .

$(0 - 1 \cdot t) - 3 (0 + 7 \cdot t) = 0$

Etapa 6

Resolva a equação para $t$ .

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Etapa 6.1

Simplifique $(0 - 1 \cdot t) - 3 (0 + 7 \cdot t)$ .

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Etapa 6.1.1

Combine os termos opostos em $(0 - 1 \cdot t) - 3 (0 + 7 \cdot t)$ .

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Etapa 6.1.1.1

Subtraia $1 \cdot t$ de $0$ .

$- 1 \cdot t - 3 (0 + 7 \cdot t) = 0$

Etapa 6.1.1.2

Some $0$ e $7 \cdot t$ .

$- 1 \cdot t - 3 (7 \cdot t) = 0$

Etapa 6.1.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.1.2.1

Reescreva $- 1 t$ como $- t$ .

$- t - 3 (7 \cdot t) = 0$

Etapa 6.1.2.2

Multiplique $7$ por $- 3$ .

$- t - 21 t = 0$

Etapa 6.1.3

Subtraia $21 t$ de $- t$ .

$- 22 t = 0$

Etapa 6.2

Divida cada termo em $- 22 t = 0$ por $- 22$ e simplifique.

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Etapa 6.2.1

Divida cada termo em $- 22 t = 0$ por $- 22$ .

$\frac{- 22 t}{- 22} = \frac{0}{- 22}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 22$ .

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Etapa 6.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 22 t}{- 22} = \frac{0}{- 22}$

Etapa 6.2.2.1.2

Divida $t$ por $1$ .

$t = \frac{0}{- 22}$

Etapa 6.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.2.3.1

Divida $0$ por $- 22$ .

$t = 0$

Etapa 7

Resolva as equações paramétricas para $x$ , $y$ e $z$ usando o valor de $t$ .

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Etapa 7.1

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 7.1.1

Remova os parênteses.

$x = 0 + 7 \cdot (0)$

Etapa 7.1.2

Simplifique $0 + 7 \cdot (0)$ .

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Etapa 7.1.2.1

Multiplique $7$ por $0$ .

$x = 0 + 0$

Etapa 7.1.2.2

Some $0$ e $0$ .

$x = 0$

Etapa 7.2

Resolva a equação para $y$ .

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Etapa 7.2.1

Remova os parênteses.

$y = 0 - 1 \cdot 0$

Etapa 7.2.2

Subtraia $0$ de $0$ .

$y = 0$

Etapa 7.3

Resolva a equação para $z$ .

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Etapa 7.3.1

Remova os parênteses.

$z = 0 + 0 \cdot (0)$

Etapa 7.3.2

Simplifique $0 + 0 \cdot (0)$ .

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Etapa 7.3.2.1

Multiplique $0$ por $0$ .

$z = 0 + 0$

Etapa 7.3.2.2

Some $0$ e $0$ .

$z = 0$

Etapa 7.4

As equações paramétricas resolvidas para $x$ , $y$ e $z$ .

$x = 0$

$y = 0$

$z = 0$

$x = 0$

$y = 0$

$z = 0$

Etapa 8

Usando os valores calculados para $x$ , $y$ e $z$ , o ponto de intersecção encontrado é $(0, 0, 0)$ .

$(0, 0, 0)$