Álgebra Exemplos

$x^{2} - 5 x + 6 = y$ , $(0, 3)$

Etapa 1

Reescreva a equação como $y = x^{2} - 5 x + 6$ .

$y = x^{2} - 5 x + 6$

Etapa 2

Segundo o teorema do valor intermediário, se $f$ for uma função contínua com valor real no intervalo $[a, b]$ e $u$ for um número entre $f (a)$ e $f (b)$ , então haverá $c$ contido no intervalo $[a, b]$ , de forma que $f (c) = u$ .

$u = f (c) = 0$

Etapa 3

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 4

Calcular $f (a) = f (0) = {(0)}^{2} - 5 \cdot 0 + 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 - 5 \cdot 0 + 6$

Etapa 4.1.2

Multiplique $- 5$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 6$

Etapa 4.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Some $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 + 6$

Etapa 4.2.2

Some $0$ e $6$ .

$f (0) = 6$

Etapa 5

Calcular $f (b) = f (3) = {(3)}^{2} - 5 \cdot 3 + 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f (3) = 9 - 5 \cdot 3 + 6$

Etapa 5.1.2

Multiplique $- 5$ por $3$ .

$f (3) = 9 - 15 + 6$

Etapa 5.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Subtraia $15$ de $9$ .

$f (3) = - 6 + 6$

Etapa 5.2.2

Some $- 6$ e $6$ .

$f (3) = 0$

Etapa 6

Como $0$ está no intervalo $[0, 6]$ , resolva a equação $x$ na raiz definindo $y$ como $0$ em $y = x^{2} - 5 x + 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Reescreva a equação como $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ .

$x^{2} - 5 x + 6 = 0$

Etapa 6.2

Fatore $x^{2} - 5 x + 6$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $6$ e cuja soma é $- 5$ .

$- 3, - 2$

Etapa 6.2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 3) (x - 2) = 0$

Etapa 6.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x - 2 = 0$

Etapa 6.4

Defina $x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 6.4.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 6.5

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 6.5.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 6.6

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 3) (x - 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 3, 2$

Etapa 7

Segundo o teorema do valor intermediário, existe uma raiz $f (c) = 0$ no intervalo $[0, 6]$ , porque $f$ é uma função contínua em $[0, 3]$ .

As raízes no intervalo $[0, 3]$ estão localizados em $x = 2$ .

Etapa 8