Álgebra Exemplos

$f (x) = \frac{1}{3} \log_{4} (x)$

Etapa 1

Escreva $f (x) = \frac{1}{3} \log_{4} (x)$ como uma equação.

$y = \frac{1}{3} \log_{4} (x)$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = \frac{1}{3} \cdot \log_{4} (y)$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $\frac{1}{3} \cdot \log_{4} (y) = x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \log_{4} (y) = x$

Etapa 3.2

Multiplique os dois lados da equação por $3$ .

$3 (\frac{1}{3} \cdot \log_{4} (y)) = 3 x$

Etapa 3.3

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.1

Simplifique $3 (\frac{1}{3} \cdot \log_{4} (y))$ .

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Etapa 3.3.1.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $\log_{4} (y)$ .

$3 \frac{\log_{4} (y)}{3} = 3 x$

Etapa 3.3.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.3.1.2.1

Cancele o fator comum.

$3 \frac{\log_{4} (y)}{3} = 3 x$

Etapa 3.3.1.2.2

Reescreva a expressão.

$\log_{4} (y) = 3 x$

Etapa 3.4

Reescreva $\log_{4} (y) = 3 x$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$4^{3 x} = y$

Etapa 3.5

Reescreva a equação como $y = 4^{3 x}$ .

$y = 4^{3 x}$

Etapa 4

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = 4^{3 x}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = 4^{3 x}$ é o inverso de $f (x) = \frac{1}{3} \cdot \log_{4} (x)$ .

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Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \log_{4} (x))$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \log_{4} (x)) = 4^{3 (\frac{1}{3} \cdot \log_{4} (x))}$

Etapa 5.2.3

Simplifique $\frac{1}{3} \log_{4} (x)$ movendo $\frac{1}{3}$ para dentro do logaritmo.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \log_{4} (x)) = 4^{3 \log_{4} (x^{\frac{1}{3}})}$

Etapa 5.2.4

Simplifique $3 \log_{4} (x^{\frac{1}{3}})$ movendo $3$ para dentro do logaritmo.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \log_{4} (x)) = 4^{\log_{4} ({(x^{\frac{1}{3}})}^{3})}$

Etapa 5.2.5

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \log_{4} (x)) = {(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Etapa 5.2.6

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Etapa 5.2.6.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \log_{4} (x)) = x^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

Etapa 5.2.6.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.2.6.2.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \log_{4} (x)) = x^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

Etapa 5.2.6.2.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \log_{4} (x)) = x$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (4^{3 x})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (4^{3 x}) = \frac{1}{3} \cdot \log_{4} (4^{3 x})$

Etapa 5.3.3

Use as regras logarítmicas para mover $3 x$ para fora do expoente.

$f (4^{3 x}) = \frac{1}{3} \cdot (3 x \log_{4} (4))$

Etapa 5.3.4

A base do logaritmo $4$ de $4$ é $1$ .

$f (4^{3 x}) = \frac{1}{3} \cdot (3 x \cdot 1)$

Etapa 5.3.5

Multiplique $3$ por $1$ .

$f (4^{3 x}) = \frac{1}{3} \cdot (3 x)$

Etapa 5.3.6

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.3.6.1

Fatore $3$ de $3 x$ .

$f (4^{3 x}) = \frac{1}{3} \cdot (3 (x))$

Etapa 5.3.6.2

Cancele o fator comum.

$f (4^{3 x}) = \frac{1}{3} \cdot (3 x)$

Etapa 5.3.6.3

Reescreva a expressão.

$f (4^{3 x}) = x$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = 4^{3 x}$ é o inverso de $f (x) = \frac{1}{3} \cdot \log_{4} (x)$ .

$f^{- 1} (x) = 4^{3 x}$