Álgebra Exemplos

$\frac{2}{x^{2} - 3 x + 2} \leq \frac{6}{x^{2} - 4}$

Etapa 1

Resolva $x < - 2 or 1 < x < 2 or x \geq \frac{5}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $x^{2} - 3 x + 2$ .

$\frac{2}{x^{2} - 3 x + 2} (x^{2} - 3 x + 2) = \frac{6}{x^{2} - 4} (x^{2} - 3 x + 2)$

Etapa 1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1

Cancele o fator comum de $x^{2} - 3 x + 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{x^{2} - 3 x + 2} (x^{2} - 3 x + 2) = \frac{6}{x^{2} - 4} (x^{2} - 3 x + 2)$

Etapa 1.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$2 = \frac{6}{x^{2} - 4} (x^{2} - 3 x + 2)$

Etapa 1.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Simplifique $\frac{6}{x^{2} - 4} (x^{2} - 3 x + 2)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1.1.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$2 = \frac{6}{x^{2} - 2^{2}} (x^{2} - 3 x + 2)$

Etapa 1.2.2.1.1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$2 = \frac{6}{(x + 2) (x - 2)} (x^{2} - 3 x + 2)$

Etapa 1.2.2.1.2

Multiplique $\frac{6}{(x + 2) (x - 2)}$ por $x^{2} - 3 x + 2$ .

$2 = \frac{6 (x^{2} - 3 x + 2)}{(x + 2) (x - 2)}$

Etapa 1.2.2.1.3

Fatore $x^{2} - 3 x + 2$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1.3.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $2$ e cuja soma é $- 3$ .

$- 2, - 1$

Etapa 1.2.2.1.3.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$2 = \frac{6 ((x - 2) (x - 1))}{(x + 2) (x - 2)}$

$2 = \frac{6 (x - 2) (x - 1)}{(x + 2) (x - 2)}$

Etapa 1.2.2.1.4

Cancele o fator comum de $x - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1.4.1

Cancele o fator comum.

$2 = \frac{6 (x - 2) (x - 1)}{(x + 2) (x - 2)}$

Etapa 1.2.2.1.4.2

Reescreva a expressão.

$2 = \frac{6 (x - 1)}{x + 2}$

Etapa 1.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Reescreva a equação como $\frac{6 (x - 1)}{x + 2} = 2$ .

$\frac{6 (x - 1)}{x + 2} = 2$

Etapa 1.3.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$x + 2, 1$

Etapa 1.3.2.2

Remova os parênteses.

$x + 2, 1$

Etapa 1.3.2.3

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$x + 2$

Etapa 1.3.3

Multiplique cada termo em $\frac{6 (x - 1)}{x + 2} = 2$ por $x + 2$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1

Multiplique cada termo em $\frac{6 (x - 1)}{x + 2} = 2$ por $x + 2$ .

$\frac{6 (x - 1)}{x + 2} (x + 2) = 2 (x + 2)$

Etapa 1.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $x + 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6 (x - 1)}{x + 2} (x + 2) = 2 (x + 2)$

Etapa 1.3.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$6 (x - 1) = 2 (x + 2)$

Etapa 1.3.3.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$6 x + 6 \cdot - 1 = 2 (x + 2)$

Etapa 1.3.3.2.3

Multiplique $6$ por $- 1$ .

$6 x - 6 = 2 (x + 2)$

Etapa 1.3.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$6 x - 6 = 2 x + 2 \cdot 2$

Etapa 1.3.3.3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$6 x - 6 = 2 x + 4$

Etapa 1.3.4

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.1

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.1.1

Subtraia $2 x$ dos dois lados da equação.

$6 x - 6 - 2 x = 4$

Etapa 1.3.4.1.2

Subtraia $2 x$ de $6 x$ .

$4 x - 6 = 4$

Etapa 1.3.4.2

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.2.1

Some $6$ aos dois lados da equação.

$4 x = 4 + 6$

Etapa 1.3.4.2.2

Some $4$ e $6$ .

$4 x = 10$

Etapa 1.3.4.3

Divida cada termo em $4 x = 10$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.3.1

Divida cada termo em $4 x = 10$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{10}{4}$

Etapa 1.3.4.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.3.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x}{4} = \frac{10}{4}$

Etapa 1.3.4.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{10}{4}$

Etapa 1.3.4.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.3.3.1

Cancele o fator comum de $10$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.3.3.1.1

Fatore $2$ de $10$ .

$x = \frac{2 (5)}{4}$

Etapa 1.3.4.3.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.3.3.1.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$x = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.3.4.3.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$x = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.3.4.3.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{5}{2}$

Etapa 1.4

Encontre o domínio de $\frac{2}{(x - 2) (x - 1)} - \frac{6}{(x + 2) (x - 2)}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Defina o denominador em $\frac{2}{(x - 2) (x - 1)}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$(x - 2) (x - 1) = 0$

Etapa 1.4.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x - 1 = 0$

Etapa 1.4.2.2

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 1.4.2.2.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 1.4.2.3

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.3.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 1.4.2.3.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 1.4.2.4

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 2) (x - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 2, 1$

Etapa 1.4.3

Defina o denominador em $\frac{6}{(x + 2) (x - 2)}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$(x + 2) (x - 2) = 0$

Etapa 1.4.4

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.4.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Etapa 1.4.4.2

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.4.2.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 1.4.4.2.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 1.4.4.3

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.4.3.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 1.4.4.3.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 1.4.4.4

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 2) (x - 2) = 0$ verdadeiro.

$x = - 2, 2$

Etapa 1.4.5

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 1) \cup (1, 2) \cup (2, \infty)$

Etapa 1.5

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 2$

$- 2 < x < 1$

$1 < x < 2$

$2 < x < \frac{5}{2}$

$x > \frac{5}{2}$

Etapa 1.6

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 1.6.1

Teste um valor no intervalo $x < - 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 4$

Etapa 1.6.1.2

Substitua $x$ por $- 4$ na desigualdade original.

$\frac{2}{{(- 4)}^{2} - 3 \cdot - 4 + 2} \leq \frac{6}{{(- 4)}^{2} - 4}$

Etapa 1.6.1.3

O lado esquerdo $0.0\overline{6}$ é menor do que o lado direito $0.5$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 1.6.2

Teste um valor no intervalo $- 2 < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 1.6.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 2 < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 1.6.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$\frac{2}{{(0)}^{2} - 3 \cdot 0 + 2} \leq \frac{6}{{(0)}^{2} - 4}$

Etapa 1.6.2.3

O lado esquerdo $1$ é maior do que o lado direito $- 1.5$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 1.6.3

Teste um valor no intervalo $1 < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.3.1

Escolha um valor no intervalo $1 < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 1.5$

Etapa 1.6.3.2

Substitua $x$ por $1.5$ na desigualdade original.

$\frac{2}{{(1.5)}^{2} - 3 \cdot 1.5 + 2} \leq \frac{6}{{(1.5)}^{2} - 4}$

Etapa 1.6.3.3

O lado esquerdo $- 8$ é menor do que o lado direito $- 3.\overline{428571}$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 1.6.4

Teste um valor no intervalo $2 < x < \frac{5}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 1.6.4.1

Escolha um valor no intervalo $2 < x < \frac{5}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 2.25$

Etapa 1.6.4.2

Substitua $x$ por $2.25$ na desigualdade original.

$\frac{2}{{(2.25)}^{2} - 3 \cdot 2.25 + 2} \leq \frac{6}{{(2.25)}^{2} - 4}$

Etapa 1.6.4.3

O lado esquerdo $6.4$ é maior do que o lado direito $5.64705882$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 1.6.5

Teste um valor no intervalo $x > \frac{5}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.5.1

Escolha um valor no intervalo $x > \frac{5}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 5$

Etapa 1.6.5.2

Substitua $x$ por $5$ na desigualdade original.

$\frac{2}{{(5)}^{2} - 3 \cdot 5 + 2} \leq \frac{6}{{(5)}^{2} - 4}$

Etapa 1.6.5.3

O lado esquerdo $0.1\overline{6}$ é menor do que o lado direito $0.\overline{285714}$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 1.6.6

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 2$ Verdadeiro

$- 2 < x < 1$ Falso

$1 < x < 2$ Verdadeiro

$2 < x < \frac{5}{2}$ Falso

$x > \frac{5}{2}$ Verdadeiro

$x < - 2$ Verdadeiro

$- 2 < x < 1$ Falso

$1 < x < 2$ Verdadeiro

$2 < x < \frac{5}{2}$ Falso

$x > \frac{5}{2}$ Verdadeiro

Etapa 1.7

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x < - 2$ ou $1 < x < 2$ ou $x \geq \frac{5}{2}$

Etapa 2

Use a desigualdade $x < - 2 or 1 < x < 2 or x \geq \frac{5}{2}$ para criar a notação do conjunto.

${x | x < - 2 or 1 < x < 2 or x \geq \frac{5}{2}}$

Etapa 3