Álgebra Exemplos

$f (x) = x^{4} - 36 x^{2}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} - 36 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2})$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2})$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Como $- 36$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 36 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 36 \frac{d}{d x} x^{2}$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 36 (2 x)$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $2$ por $- 36$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 72 x$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $4 x^{3} - 72 x$ .

$4 x^{3} - 72 x$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $4 x^{3} - 72 x = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$4 x^{3} - 72 x = 0$

Etapa 2.2

Fatore $4 x$ de $4 x^{3} - 72 x$ .

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Etapa 2.2.1

Fatore $4 x$ de $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 72 x = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore $4 x$ de $- 72 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 18) = 0$

Etapa 2.2.3

Fatore $4 x$ de $4 x (x^{2}) + 4 x (- 18)$ .

$4 x (x^{2} - 18) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 18 = 0$

Etapa 2.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 2.5

Defina $x^{2} - 18$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.5.1

Defina $x^{2} - 18$ como igual a $0$ .

$x^{2} - 18 = 0$

Etapa 2.5.2

Resolva $x^{2} - 18 = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.5.2.1

Some $18$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 18$

Etapa 2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{18}$

Etapa 2.5.2.3

Simplifique $\pm \sqrt{18}$ .

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Etapa 2.5.2.3.1

Reescreva $18$ como $3^{2} \cdot 2$ .

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Etapa 2.5.2.3.1.1

Fatore $9$ de $18$ .

$x = \pm \sqrt{9 (2)}$

Etapa 2.5.2.3.1.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2} \cdot 2}$

Etapa 2.5.2.3.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \pm 3 \sqrt{2}$

Etapa 2.5.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 2.5.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 3 \sqrt{2}$

Etapa 2.5.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 3 \sqrt{2}$

Etapa 2.5.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 3 \sqrt{2}, - 3 \sqrt{2}$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $4 x (x^{2} - 18) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 3 \sqrt{2}, - 3 \sqrt{2}$

Etapa 3

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $0, 3 \sqrt{2}, - 3 \sqrt{2}$ .

$0, 3 \sqrt{2}, - 3 \sqrt{2}$

Etapa 4

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - 3 \sqrt{2}) \cup (- 3 \sqrt{2}, 0) \cup (0, 3 \sqrt{2}) \cup (3 \sqrt{2}, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - 3 \sqrt{2})$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 5.2426405$ na expressão.

$f' (- 5.2426405) = 4 {(- 5.2426405)}^{3} - 72 \cdot - 5.2426405$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Eleve $- 5.2426405$ à potência de $3$ .

$f' (- 5.2426405) = 4 \cdot - 144.095439 - 72 \cdot - 5.2426405$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $4$ por $- 144.095439$ .

$f' (- 5.2426405) = - 576.381756 - 72 \cdot - 5.2426405$

Etapa 5.2.1.3

Multiplique $- 72$ por $- 5.2426405$ .

$f' (- 5.2426405) = - 576.381756 + 377.470116$

Etapa 5.2.2

Some $- 576.381756$ e $377.470116$ .

$f' (- 5.2426405) = - 198.91164$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $- 198.91164$ .

$- 198.91164$

Etapa 5.3

Em $x = - 5.2426405$ , a derivada é $- 198.91164$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- \infty, - 3 \sqrt{2})$ .

Decréscimo em $(- \infty, - 3 \sqrt{2})$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- 4.2426405, 0)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 2.12132025$ na expressão.

$f' (- 2.12132025) = 4 {(- 2.12132025)}^{3} - 72 \cdot - 2.12132025$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1.1

Eleve $- 2.12132025$ à potência de $3$ .

$f' (- 2.12132025) = 4 \cdot - 9.54594028 - 72 \cdot - 2.12132025$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $4$ por $- 9.54594028$ .

$f' (- 2.12132025) = - 38.18376113 - 72 \cdot - 2.12132025$

Etapa 6.2.1.3

Multiplique $- 72$ por $- 2.12132025$ .

$f' (- 2.12132025) = - 38.18376113 + 152.735058$

Etapa 6.2.2

Some $- 38.18376113$ e $152.735058$ .

$f' (- 2.12132025) = 114.55129686$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $114.55129686$ .

$114.55129686$

Etapa 6.3

Em $x = - 2.12132025$ , a derivada é $114.55129686$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(- 4.2426405, 0)$ .

Acréscimo em $(- 3 \sqrt{2}, 0)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(0, 3 \sqrt{2})$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $2.12132025$ na expressão.

$f' (2.12132025) = 4 {(2.12132025)}^{3} - 72 \cdot 2.12132025$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.1.1

Eleve $2.12132025$ à potência de $3$ .

$f' (2.12132025) = 4 \cdot 9.54594028 - 72 \cdot 2.12132025$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $4$ por $9.54594028$ .

$f' (2.12132025) = 38.18376113 - 72 \cdot 2.12132025$

Etapa 7.2.1.3

Multiplique $- 72$ por $2.12132025$ .

$f' (2.12132025) = 38.18376113 - 152.735058$

Etapa 7.2.2

Subtraia $152.735058$ de $38.18376113$ .

$f' (2.12132025) = - 114.55129686$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $- 114.55129686$ .

$- 114.55129686$

Etapa 7.3

Em $x = 2.12132025$ , a derivada é $- 114.55129686$ . Por ser negativa, a função diminui em $(0, 3 \sqrt{2})$ .

Decréscimo em $(0, 3 \sqrt{2})$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(3 \sqrt{2}, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $5.2426405$ na expressão.

$f' (5.2426405) = 4 {(5.2426405)}^{3} - 72 \cdot 5.2426405$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 8.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1

Eleve $5.2426405$ à potência de $3$ .

$f' (5.2426405) = 4 \cdot 144.095439 - 72 \cdot 5.2426405$

Etapa 8.2.1.2

Multiplique $4$ por $144.095439$ .

$f' (5.2426405) = 576.381756 - 72 \cdot 5.2426405$

Etapa 8.2.1.3

Multiplique $- 72$ por $5.2426405$ .

$f' (5.2426405) = 576.381756 - 377.470116$

Etapa 8.2.2

Subtraia $377.470116$ de $576.381756$ .

$f' (5.2426405) = 198.91164$

Etapa 8.2.3

A resposta final é $198.91164$ .

$198.91164$

Etapa 8.3

Em $x = 5.2426405$ , a derivada é $198.91164$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(3 \sqrt{2}, \infty)$ .

Acréscimo em $(3 \sqrt{2}, \infty)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 9

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(- 3 \sqrt{2}, 0), (3 \sqrt{2}, \infty)$

Decréscimo em: $(- \infty, - 3 \sqrt{2}), (0, 3 \sqrt{2})$

Etapa 10