Álgebra Exemplos

$f (x) = e^{0.5 x} + 64 e^{- 0.5 x}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{0.5 x} + 64 e^{- 0.5 x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{0.5 x}] + \frac{d}{d x} [64 e^{- 0.5 x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (e^{0.5 x}) + \frac{d}{d x} (64 e^{- 0.5 x})$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [e^{0.5 x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 0.5 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $0.5 x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (0.5 x) + \frac{d}{d x} (64 e^{- 0.5 x})$

Etapa 1.1.2.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f' (x) = e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (0.5 x) + \frac{d}{d x} (64 e^{- 0.5 x})$

Etapa 1.1.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $0.5 x$ .

$f' (x) = e^{0.5 x} \frac{d}{d x} (0.5 x) + \frac{d}{d x} (64 e^{- 0.5 x})$

Etapa 1.1.2.2

Como $0.5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $0.5 x$ em relação a $x$ é $0.5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = e^{0.5 x} (0.5 \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (64 e^{- 0.5 x})$

Etapa 1.1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = e^{0.5 x} (0.5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} (64 e^{- 0.5 x})$

Etapa 1.1.2.4

Multiplique $0.5$ por $1$ .

$f' (x) = e^{0.5 x} \cdot 0.5 + \frac{d}{d x} (64 e^{- 0.5 x})$

Etapa 1.1.2.5

Mova $0.5$ para a esquerda de $e^{0.5 x}$ .

$f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} + \frac{d}{d x} (64 e^{- 0.5 x})$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [64 e^{- 0.5 x}]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $64$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $64 e^{- 0.5 x}$ em relação a $x$ é $64 \frac{d}{d x} [e^{- 0.5 x}]$ .

$f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} + 64 \frac{d}{d x} (e^{- 0.5 x})$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 0.5 x$ .

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Etapa 1.1.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $- 0.5 x$ .

$f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} + 64 (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- 0.5 x))$

Etapa 1.1.3.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} + 64 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- 0.5 x))$

Etapa 1.1.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $- 0.5 x$ .

$f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} + 64 (e^{- 0.5 x} \frac{d}{d x} (- 0.5 x))$

Etapa 1.1.3.3

Como $- 0.5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 0.5 x$ em relação a $x$ é $- 0.5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} + 64 (e^{- 0.5 x} (- 0.5 \frac{d}{d x} x))$

Etapa 1.1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} + 64 (e^{- 0.5 x} (- 0.5 \cdot 1))$

Etapa 1.1.3.5

Multiplique $- 0.5$ por $1$ .

$f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} + 64 (e^{- 0.5 x} \cdot - 0.5)$

Etapa 1.1.3.6

Mova $- 0.5$ para a esquerda de $e^{- 0.5 x}$ .

$f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} + 64 (- 0.5 \cdot e^{- 0.5 x})$

Etapa 1.1.3.7

Multiplique $- 0.5$ por $64$ .

$f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} - 32 e^{- 0.5 x}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $0.5 e^{0.5 x} - 32 e^{- 0.5 x}$ .

$0.5 e^{0.5 x} - 32 e^{- 0.5 x}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $0.5 e^{0.5 x} - 32 e^{- 0.5 x} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$0.5 e^{0.5 x} - 32 e^{- 0.5 x} = 0$

Etapa 2.2

Mova $- 32 e^{- 0.5 x}$ para o lado direito da equação, somando-o aos dois lados.

$0.5 e^{0.5 x} = 32 e^{- 0.5 x}$

Etapa 2.3

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (0.5 e^{0.5 x}) = \ln (32 e^{- 0.5 x})$

Etapa 2.4

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 2.4.1

Reescreva $\ln (0.5 e^{0.5 x})$ como $\ln (0.5) + \ln (e^{0.5 x})$ .

$\ln (0.5) + \ln (e^{0.5 x}) = \ln (32 e^{- 0.5 x})$

Etapa 2.4.2

Expanda $\ln (e^{0.5 x})$ movendo $0.5 x$ para fora do logaritmo.

$\ln (0.5) + 0.5 x \ln (e) = \ln (32 e^{- 0.5 x})$

Etapa 2.4.3

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$\ln (0.5) + 0.5 x \cdot 1 = \ln (32 e^{- 0.5 x})$

Etapa 2.4.4

Multiplique $0.5$ por $1$ .

$\ln (0.5) + 0.5 x = \ln (32 e^{- 0.5 x})$

Etapa 2.5

Expanda o lado direito.

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Etapa 2.5.1

Reescreva $\ln (32 e^{- 0.5 x})$ como $\ln (32) + \ln (e^{- 0.5 x})$ .

$\ln (0.5) + 0.5 x = \ln (32) + \ln (e^{- 0.5 x})$

Etapa 2.5.2

Expanda $\ln (e^{- 0.5 x})$ movendo $- 0.5 x$ para fora do logaritmo.

$\ln (0.5) + 0.5 x = \ln (32) - 0.5 x \ln (e)$

Etapa 2.5.3

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$\ln (0.5) + 0.5 x = \ln (32) - 0.5 x \cdot 1$

Etapa 2.5.4

Multiplique $- 0.5$ por $1$ .

$\ln (0.5) + 0.5 x = \ln (32) - 0.5 x$

Etapa 2.6

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (0.5) - \ln (32) = - 0.5 x - 0.5 x$

Etapa 2.7

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{0.5}{32}) = - 0.5 x - 0.5 x$

Etapa 2.8

Divida $0.5$ por $32$ .

$\ln (0.015625) = - 0.5 x - 0.5 x$

Etapa 2.9

Subtraia $0.5 x$ de $- 0.5 x$ .

$\ln (0.015625) = - 1 x$

Etapa 2.10

Como $x$ está do lado direito da equação, troque os lados para que ela fique do lado esquerdo da equação.

$- 1 x = \ln (0.015625)$

Etapa 2.11

Divida cada termo em $- 1 x = \ln (0.015625)$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 2.11.1

Divida cada termo em $- 1 x = \ln (0.015625)$ por $- 1$ .

$\frac{- 1 x}{- 1} = \frac{\ln (0.015625)}{- 1}$

Etapa 2.11.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.11.2.1

Cancele o fator comum de $- 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.11.2.1.1

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (1) x}{- 1} = \frac{\ln (0.015625)}{- 1}$

Etapa 2.11.2.1.2

Fatore $1$ de $- 1 (1) x$ .

$\frac{1 (- 1 \cdot 1 x)}{- 1} = \frac{\ln (0.015625)}{- 1}$

Etapa 2.11.2.1.3

Mova o número negativo do denominador de $\frac{- 1 \cdot 1 x}{- 1}$ .

$- 1 \cdot (- 1 \cdot 1 x) = \frac{\ln (0.015625)}{- 1}$

Etapa 2.11.2.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.11.2.2.1

Reescreva $- 1 \cdot (- 1 \cdot 1 x)$ como $- (- 1 \cdot 1 x)$ .

$- (- 1 \cdot 1 x) = \frac{\ln (0.015625)}{- 1}$

Etapa 2.11.2.2.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- (- 1 x) = \frac{\ln (0.015625)}{- 1}$

Etapa 2.11.2.2.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$- - x = \frac{\ln (0.015625)}{- 1}$

Etapa 2.11.2.3

Multiplique $- - x$ .

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Etapa 2.11.2.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 x = \frac{\ln (0.015625)}{- 1}$

Etapa 2.11.2.3.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$x = \frac{\ln (0.015625)}{- 1}$

Etapa 2.11.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.11.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{\ln (0.015625)}{1}$

Etapa 2.11.3.2

Divida $\ln (0.015625)$ por $1$ .

$x = - \ln (0.015625)$

Etapa 3

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $- \ln (0.015625)$ .

$- \ln (0.015625)$

Etapa 4

Depois de encontrar o ponto que torna a derivada $f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} - 32 e^{- 0.5 x}$ igual a $0$ ou indefinida, o intervalo para verificar onde $f (x) = e^{0.5 x} + 64 e^{- 0.5 x}$ está aumentando e onde está diminuindo é $(- \infty, - \ln (0.015625)) \cup (- \ln (0.015625), \infty)$ .

$(- \infty, - \ln (0.015625)) \cup (- \ln (0.015625), \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - \ln (0.015625))$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $3.15888308$ na expressão.

$f' (3.15888308) = 0.5 e^{0.5 (3.15888308)} - 32 e^{- 0.5 \cdot 3.15888308}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1

Multiplique $0.5$ por $3.15888308$ .

$f' (3.15888308) = 0.5 e^{1.57944154} - 32 e^{- 0.5 \cdot 3.15888308}$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $0.5$ por $e^{1.57944154}$ .

$f' (3.15888308) = 2.42612263 - 32 e^{- 0.5 \cdot 3.15888308}$

Etapa 5.2.1.3

Multiplique $- 0.5$ por $3.15888308$ .

$f' (3.15888308) = 2.42612263 - 32 e^{- 1.57944154}$

Etapa 5.2.1.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (3.15888308) = 2.42612263 - 32 \frac{1}{e^{1.57944154}}$

Etapa 5.2.1.5

Combine $- 32$ e $\frac{1}{e^{1.57944154}}$ .

$f' (3.15888308) = 2.42612263 + \frac{- 32}{e^{1.57944154}}$

Etapa 5.2.1.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (3.15888308) = 2.42612263 - \frac{32}{e^{1.57944154}}$

Etapa 5.2.1.7

Substitua $e$ por uma aproximação.

$f' (3.15888308) = 2.42612263 - \frac{32}{{2.71828182}^{1.57944154}}$

Etapa 5.2.1.8

Eleve $2.71828182$ à potência de $1.57944154$ .

$f' (3.15888308) = 2.42612263 - \frac{32}{4.85224527}$

Etapa 5.2.1.9

Divida $32$ por $4.85224527$ .

$f' (3.15888308) = 2.42612263 - 1 \cdot 6.59488508$

Etapa 5.2.1.10

Multiplique $- 1$ por $6.59488508$ .

$f' (3.15888308) = 2.42612263 - 6.59488508$

Etapa 5.2.2

Subtraia $6.59488508$ de $2.42612263$ .

$f' (3.15888308) = - 4.16876244$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $- 4.16876244$ .

$- 4.16876244$

Etapa 5.3

Em $x = 3.15888308$ , a derivada é $- 4.16876244$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- \infty, - \ln (0.015625))$ .

Decréscimo em $(- \infty, - \ln (0.015625))$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \ln (0.015625), \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $5.15888308$ na expressão.

$f' (5.15888308) = 0.5 e^{0.5 (5.15888308)} - 32 e^{- 0.5 \cdot 5.15888308}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Multiplique $0.5$ por $5.15888308$ .

$f' (5.15888308) = 0.5 e^{2.57944154} - 32 e^{- 0.5 \cdot 5.15888308}$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $0.5$ por $e^{2.57944154}$ .

$f' (5.15888308) = 6.59488508 - 32 e^{- 0.5 \cdot 5.15888308}$

Etapa 6.2.1.3

Multiplique $- 0.5$ por $5.15888308$ .

$f' (5.15888308) = 6.59488508 - 32 e^{- 2.57944154}$

Etapa 6.2.1.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (5.15888308) = 6.59488508 - 32 \frac{1}{e^{2.57944154}}$

Etapa 6.2.1.5

Combine $- 32$ e $\frac{1}{e^{2.57944154}}$ .

$f' (5.15888308) = 6.59488508 + \frac{- 32}{e^{2.57944154}}$

Etapa 6.2.1.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (5.15888308) = 6.59488508 - \frac{32}{e^{2.57944154}}$

Etapa 6.2.1.7

Substitua $e$ por uma aproximação.

$f' (5.15888308) = 6.59488508 - \frac{32}{{2.71828182}^{2.57944154}}$

Etapa 6.2.1.8

Eleve $2.71828182$ à potência de $2.57944154$ .

$f' (5.15888308) = 6.59488508 - \frac{32}{13.18977016}$

Etapa 6.2.1.9

Divida $32$ por $13.18977016$ .

$f' (5.15888308) = 6.59488508 - 1 \cdot 2.42612263$

Etapa 6.2.1.10

Multiplique $- 1$ por $2.42612263$ .

$f' (5.15888308) = 6.59488508 - 2.42612263$

Etapa 6.2.2

Subtraia $2.42612263$ de $6.59488508$ .

$f' (5.15888308) = 4.16876244$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $4.16876244$ .

$4.16876244$

Etapa 6.3

Em $x = 5.15888308$ , a derivada é $4.16876244$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(- \ln (0.015625), \infty)$ .

Acréscimo em $(- \ln (0.015625), \infty)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 7

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(- \ln (0.015625), \infty)$

Decréscimo em: $(- \infty, - \ln (0.015625))$

Etapa 8