Álgebra Exemplos

$12 t e^{- \frac{t}{6}}$

Etapa 1

Como $12$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $12 t e^{- \frac{t}{6}}$ em relação a $t$ é $12 \frac{d}{d t} [t e^{- \frac{t}{6}}]$ .

$12 \frac{d}{d t} [t e^{- \frac{t}{6}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ é $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , em que $f (t) = t$ e $g (t) = e^{- \frac{t}{6}}$ .

$12 (t \frac{d}{d t} [e^{- \frac{t}{6}}] + e^{- \frac{t}{6}} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = e^{t}$ e $g (t) = - \frac{t}{6}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- \frac{t}{6}$ .

$12 (t (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [- \frac{t}{6}]) + e^{- \frac{t}{6}} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$12 (t (e^{u} \frac{d}{d t} [- \frac{t}{6}]) + e^{- \frac{t}{6}} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- \frac{t}{6}$ .

$12 (t (e^{- \frac{t}{6}} \frac{d}{d t} [- \frac{t}{6}]) + e^{- \frac{t}{6}} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 4

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Como $- \frac{1}{6}$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- \frac{t}{6}$ em relação a $t$ é $- \frac{1}{6} \frac{d}{d t} [t]$ .

$12 (t (e^{- \frac{t}{6}} (- \frac{1}{6} \frac{d}{d t} [t])) + e^{- \frac{t}{6}} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 4.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Combine $e^{- \frac{t}{6}}$ e $\frac{1}{6}$ .

$12 (t (- \frac{e^{- \frac{t}{6}}}{6} \frac{d}{d t} [t]) + e^{- \frac{t}{6}} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 4.2.2

Combine $t$ e $\frac{e^{- \frac{t}{6}}}{6}$ .

$12 (- \frac{t e^{- \frac{t}{6}}}{6} \frac{d}{d t} [t] + e^{- \frac{t}{6}} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$12 (- \frac{t e^{- \frac{t}{6}}}{6} \cdot 1 + e^{- \frac{t}{6}} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 4.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$12 (- \frac{t e^{- \frac{t}{6}}}{6} + e^{- \frac{t}{6}} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 4.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$12 (- \frac{t e^{- \frac{t}{6}}}{6} + e^{- \frac{t}{6}} \cdot 1)$

Etapa 4.6

Multiplique $e^{- \frac{t}{6}}$ por $1$ .

$12 (- \frac{t e^{- \frac{t}{6}}}{6} + e^{- \frac{t}{6}})$

Etapa 5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$12 (- \frac{t e^{- \frac{t}{6}}}{6}) + 12 e^{- \frac{t}{6}}$

Etapa 5.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Multiplique $- 1$ por $12$ .

$- 12 \frac{t e^{- \frac{t}{6}}}{6} + 12 e^{- \frac{t}{6}}$

Etapa 5.2.2

Combine $- 12$ e $\frac{t e^{- \frac{t}{6}}}{6}$ .

$\frac{- 12 (t e^{- \frac{t}{6}})}{6} + 12 e^{- \frac{t}{6}}$

Etapa 5.2.3

Cancele o fator comum de $- 12$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Fatore $6$ de $- 12 t e^{- \frac{t}{6}}$ .

$\frac{6 (- 2 t e^{- \frac{t}{6}})}{6} + 12 e^{- \frac{t}{6}}$

Etapa 5.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.2.1

Fatore $6$ de $6$ .

$\frac{6 (- 2 t e^{- \frac{t}{6}})}{6 (1)} + 12 e^{- \frac{t}{6}}$

Etapa 5.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{6 (- 2 t e^{- \frac{t}{6}})}{6 \cdot 1} + 12 e^{- \frac{t}{6}}$

Etapa 5.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 2 t e^{- \frac{t}{6}}}{1} + 12 e^{- \frac{t}{6}}$

Etapa 5.2.3.2.4

Divida $- 2 t e^{- \frac{t}{6}}$ por $1$ .

$- 2 t e^{- \frac{t}{6}} + 12 e^{- \frac{t}{6}}$

Etapa 5.3

Reordene os termos.

$- 2 e^{- \frac{t}{6}} t + 12 e^{- \frac{t}{6}}$

Etapa 5.4

Reordene os fatores em $- 2 e^{- \frac{t}{6}} t + 12 e^{- \frac{t}{6}}$ .

$- 2 t e^{- \frac{t}{6}} + 12 e^{- \frac{t}{6}}$