Álgebra Exemplos

$\sqrt[n]{x^{2 n + 1}}$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[n]{x^{2 n + 1}}$ como $x^{\frac{2 n + 1}{n}}$ .

$\frac{d}{d n} [x^{\frac{2 n + 1}{n}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências generalizada, que determina que $\frac{d}{d n} [f^{g}]$ é $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ , em que $f = x$ e $g = \frac{2 n + 1}{n}$ .

$\frac{d}{d n} [x] (\frac{2 n + 1}{n} x^{\frac{2 n + 1}{n} - 1}) + \frac{d}{d n} [\frac{2 n + 1}{n}] (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

Etapa 3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{n}{n}$ .

$\frac{d}{d n} [x] (\frac{2 n + 1}{n} x^{\frac{2 n + 1}{n} - 1 \cdot \frac{n}{n}}) + \frac{d}{d n} [\frac{2 n + 1}{n}] (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Combine $- 1$ e $\frac{n}{n}$ .

$\frac{d}{d n} [x] (\frac{2 n + 1}{n} x^{\frac{2 n + 1}{n} + \frac{- n}{n}}) + \frac{d}{d n} [\frac{2 n + 1}{n}] (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

Etapa 4.2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d}{d n} [x] (\frac{2 n + 1}{n} x^{\frac{2 n + 1 - n}{n}}) + \frac{d}{d n} [\frac{2 n + 1}{n}] (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

Etapa 4.2.2

Subtraia $n$ de $2 n$ .

$\frac{d}{d n} [x] (\frac{2 n + 1}{n} x^{\frac{n + 1}{n}}) + \frac{d}{d n} [\frac{2 n + 1}{n}] (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

Etapa 4.2.3

Combine $\frac{2 n + 1}{n}$ e $x^{\frac{n + 1}{n}}$ .

$\frac{d}{d n} [x] \frac{(2 n + 1) x^{\frac{n + 1}{n}}}{n} + \frac{d}{d n} [\frac{2 n + 1}{n}] (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

Etapa 4.3

Como $x$ é constante em relação a $n$ , a derivada de $x$ em relação a $n$ é $0$ .

$0 \frac{(2 n + 1) x^{\frac{n + 1}{n}}}{n} + \frac{d}{d n} [\frac{2 n + 1}{n}] (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

Etapa 4.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1

Multiplique $0$ por $\frac{(2 n + 1) x^{\frac{n + 1}{n}}}{n}$ .

$0 + \frac{d}{d n} [\frac{2 n + 1}{n}] (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

Etapa 4.4.2

Some $0$ e $\frac{d}{d n} [\frac{2 n + 1}{n}] (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$ .

$\frac{d}{d n} [\frac{2 n + 1}{n}] (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

Etapa 5

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d n} [\frac{f (n)}{g (n)}]$ é $\frac{g (n) \frac{d}{d n} [f (n)] - f (n) \frac{d}{d n} [g (n)]}{{g (n)}^{2}}$ , em que $f (n) = 2 n + 1$ e $g (n) = n$ .

$\frac{n \frac{d}{d n} [2 n + 1] - (2 n + 1) \frac{d}{d n} [n]}{n^{2}} (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

Etapa 6

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 n + 1$ com relação a $n$ é $\frac{d}{d n} [2 n] + \frac{d}{d n} [1]$ .

$\frac{n (\frac{d}{d n} [2 n] + \frac{d}{d n} [1]) - (2 n + 1) \frac{d}{d n} [n]}{n^{2}} (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

Etapa 6.2

Como $2$ é constante em relação a $n$ , a derivada de $2 n$ em relação a $n$ é $2 \frac{d}{d n} [n]$ .

$\frac{n (2 \frac{d}{d n} [n] + \frac{d}{d n} [1]) - (2 n + 1) \frac{d}{d n} [n]}{n^{2}} (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

Etapa 6.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ é $n \cdot n^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{n (2 \cdot 1 + \frac{d}{d n} [1]) - (2 n + 1) \frac{d}{d n} [n]}{n^{2}} (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

Etapa 6.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{n (2 + \frac{d}{d n} [1]) - (2 n + 1) \frac{d}{d n} [n]}{n^{2}} (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

Etapa 6.5

Como $1$ é constante em relação a $n$ , a derivada de $1$ em relação a $n$ é $0$ .

$\frac{n (2 + 0) - (2 n + 1) \frac{d}{d n} [n]}{n^{2}} (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

Etapa 6.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.1

Some $2$ e $0$ .

$\frac{n \cdot 2 - (2 n + 1) \frac{d}{d n} [n]}{n^{2}} (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

Etapa 6.6.2

Mova $2$ para a esquerda de $n$ .

$\frac{2 \cdot n - (2 n + 1) \frac{d}{d n} [n]}{n^{2}} (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

Etapa 6.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ é $n \cdot n^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{2 n - (2 n + 1) \cdot 1}{n^{2}} (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

Etapa 6.8

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 n - (2 n + 1)}{n^{2}} (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

Etapa 6.8.2

Combine $x^{\frac{2 n + 1}{n}}$ e $\frac{2 n - (2 n + 1)}{n^{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{2 n + 1}{n}} (2 n - (2 n + 1))}{n^{2}} \ln (x)$

Etapa 6.8.3

Combine $\frac{x^{\frac{2 n + 1}{n}} (2 n - (2 n + 1))}{n^{2}}$ e $\ln (x)$ .

$\frac{x^{\frac{2 n + 1}{n}} (2 n - (2 n + 1)) \ln (x)}{n^{2}}$

Etapa 7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{\frac{2 n + 1}{n}} (2 n - (2 n) - 1 \cdot 1) \ln (x)}{n^{2}}$

Etapa 7.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{x^{\frac{2 n + 1}{n}} (2 n - 2 n - 1 \cdot 1) \ln (x)}{n^{2}}$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{x^{\frac{2 n + 1}{n}} (2 n - 2 n - 1) \ln (x)}{n^{2}}$

Etapa 7.2.2

Subtraia $2 n$ de $2 n$ .

$\frac{x^{\frac{2 n + 1}{n}} (0 - 1) \ln (x)}{n^{2}}$

Etapa 7.2.3

Subtraia $1$ de $0$ .

$\frac{x^{\frac{2 n + 1}{n}} \cdot - 1 \ln (x)}{n^{2}}$

Etapa 7.2.4

Mova $- 1$ para a esquerda de $x^{\frac{2 n + 1}{n}}$ .

$\frac{- 1 \cdot x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x)}{n^{2}}$

Etapa 7.2.5

Reescreva $- 1 x^{\frac{2 n + 1}{n}}$ como $- x^{\frac{2 n + 1}{n}}$ .

$\frac{- x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x)}{n^{2}}$

Etapa 7.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x)}{n^{2}}$