Álgebra Exemplos

$y = \frac{4 x^{5} + 2 x^{2}}{3 x^{4} + 5}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 4 x^{5} + 2 x^{2}$ e $g (x) = 3 x^{4} + 5$ .

$\frac{(3 x^{4} + 5) \frac{d}{d x} [4 x^{5} + 2 x^{2}] - (4 x^{5} + 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5]}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

Etapa 2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{5} + 2 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{5}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

$\frac{(3 x^{4} + 5) (\frac{d}{d x} [4 x^{5}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]) - (4 x^{5} + 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5]}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{5}]$ .

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Etapa 3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{5}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{(3 x^{4} + 5) (4 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]) - (4 x^{5} + 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5]}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$\frac{(3 x^{4} + 5) (4 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]) - (4 x^{5} + 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5]}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

Etapa 3.3

Multiplique $5$ por $4$ .

$\frac{(3 x^{4} + 5) (20 x^{4} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]) - (4 x^{5} + 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5]}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

Etapa 4

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Etapa 4.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{2}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(3 x^{4} + 5) (20 x^{4} + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (4 x^{5} + 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5]}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(3 x^{4} + 5) (20 x^{4} + 2 (2 x)) - (4 x^{5} + 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5]}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

Etapa 4.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{(3 x^{4} + 5) (20 x^{4} + 4 x) - (4 x^{5} + 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5]}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

Etapa 5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{4} + 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{(3 x^{4} + 5) (20 x^{4} + 4 x) - (4 x^{5} + 2 x^{2}) (\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [5])}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

Etapa 6

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

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Etapa 6.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{4}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{(3 x^{4} + 5) (20 x^{4} + 4 x) - (4 x^{5} + 2 x^{2}) (3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [5])}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

Etapa 6.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$\frac{(3 x^{4} + 5) (20 x^{4} + 4 x) - (4 x^{5} + 2 x^{2}) (3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [5])}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

Etapa 6.3

Multiplique $4$ por $3$ .

$\frac{(3 x^{4} + 5) (20 x^{4} + 4 x) - (4 x^{5} + 2 x^{2}) (12 x^{3} + \frac{d}{d x} [5])}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

Etapa 7

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 7.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(3 x^{4} + 5) (20 x^{4} + 4 x) - (4 x^{5} + 2 x^{2}) (12 x^{3} + 0)}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

Etapa 7.2

Some $12 x^{3}$ e $0$ .

$\frac{(3 x^{4} + 5) (20 x^{4} + 4 x) - (4 x^{5} + 2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(3 x^{4} + 5) (20 x^{4} + 4 x) + (- (4 x^{5}) - (2 x^{2})) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

Etapa 8.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(3 x^{4} + 5) (20 x^{4} + 4 x) - (4 x^{5}) (12 x^{3}) - (2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

Etapa 8.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.3.1.1

Expanda $(3 x^{4} + 5) (20 x^{4} + 4 x)$ usando o método FOIL.

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Etapa 8.3.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 x^{4} (20 x^{4} + 4 x) + 5 (20 x^{4} + 4 x) - (4 x^{5}) (12 x^{3}) - (2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

Etapa 8.3.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 x^{4} (20 x^{4}) + 3 x^{4} (4 x) + 5 (20 x^{4} + 4 x) - (4 x^{5}) (12 x^{3}) - (2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

Etapa 8.3.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 x^{4} (20 x^{4}) + 3 x^{4} (4 x) + 5 (20 x^{4}) + 5 (4 x) - (4 x^{5}) (12 x^{3}) - (2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

Etapa 8.3.1.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.3.1.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{3 \cdot 20 x^{4} x^{4} + 3 x^{4} (4 x) + 5 (20 x^{4}) + 5 (4 x) - (4 x^{5}) (12 x^{3}) - (2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

Etapa 8.3.1.2.2

Multiplique $x^{4}$ por $x^{4}$ somando os expoentes.

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Etapa 8.3.1.2.2.1

Mova $x^{4}$ .

$\frac{3 \cdot 20 (x^{4} x^{4}) + 3 x^{4} (4 x) + 5 (20 x^{4}) + 5 (4 x) - (4 x^{5}) (12 x^{3}) - (2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

Etapa 8.3.1.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{3 \cdot 20 x^{4 + 4} + 3 x^{4} (4 x) + 5 (20 x^{4}) + 5 (4 x) - (4 x^{5}) (12 x^{3}) - (2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

Etapa 8.3.1.2.2.3

Some $4$ e $4$ .

$\frac{3 \cdot 20 x^{8} + 3 x^{4} (4 x) + 5 (20 x^{4}) + 5 (4 x) - (4 x^{5}) (12 x^{3}) - (2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

Etapa 8.3.1.2.3

Multiplique $3$ por $20$ .

$\frac{60 x^{8} + 3 x^{4} (4 x) + 5 (20 x^{4}) + 5 (4 x) - (4 x^{5}) (12 x^{3}) - (2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

Etapa 8.3.1.2.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{60 x^{8} + 3 \cdot 4 x^{4} x + 5 (20 x^{4}) + 5 (4 x) - (4 x^{5}) (12 x^{3}) - (2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

Etapa 8.3.1.2.5

Multiplique $x^{4}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 8.3.1.2.5.1

Mova $x$ .

$\frac{60 x^{8} + 3 \cdot 4 (x \cdot x^{4}) + 5 (20 x^{4}) + 5 (4 x) - (4 x^{5}) (12 x^{3}) - (2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

Etapa 8.3.1.2.5.2

Multiplique $x$ por $x^{4}$ .

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Etapa 8.3.1.2.5.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{60 x^{8} + 3 \cdot 4 (x^{1} x^{4}) + 5 (20 x^{4}) + 5 (4 x) - (4 x^{5}) (12 x^{3}) - (2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

Etapa 8.3.1.2.5.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{60 x^{8} + 3 \cdot 4 x^{1 + 4} + 5 (20 x^{4}) + 5 (4 x) - (4 x^{5}) (12 x^{3}) - (2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

Etapa 8.3.1.2.5.3

Some $1$ e $4$ .

$\frac{60 x^{8} + 3 \cdot 4 x^{5} + 5 (20 x^{4}) + 5 (4 x) - (4 x^{5}) (12 x^{3}) - (2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

Etapa 8.3.1.2.6

Multiplique $3$ por $4$ .

$\frac{60 x^{8} + 12 x^{5} + 5 (20 x^{4}) + 5 (4 x) - (4 x^{5}) (12 x^{3}) - (2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

Etapa 8.3.1.2.7

Multiplique $20$ por $5$ .

$\frac{60 x^{8} + 12 x^{5} + 100 x^{4} + 5 (4 x) - (4 x^{5}) (12 x^{3}) - (2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

Etapa 8.3.1.2.8

Multiplique $4$ por $5$ .

$\frac{60 x^{8} + 12 x^{5} + 100 x^{4} + 20 x - (4 x^{5}) (12 x^{3}) - (2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

Etapa 8.3.1.3

Multiplique $x^{5}$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 8.3.1.3.1

Mova $x^{3}$ .

$\frac{60 x^{8} + 12 x^{5} + 100 x^{4} + 20 x - (4 (x^{3} x^{5})) \cdot 12 - (2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

Etapa 8.3.1.3.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{60 x^{8} + 12 x^{5} + 100 x^{4} + 20 x - (4 x^{3 + 5}) \cdot 12 - (2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

Etapa 8.3.1.3.3

Some $3$ e $5$ .

$\frac{60 x^{8} + 12 x^{5} + 100 x^{4} + 20 x - (4 x^{8}) \cdot 12 - (2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

Etapa 8.3.1.4

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\frac{60 x^{8} + 12 x^{5} + 100 x^{4} + 20 x - 4 x^{8} \cdot 12 - (2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

Etapa 8.3.1.5

Multiplique $12$ por $- 4$ .

$\frac{60 x^{8} + 12 x^{5} + 100 x^{4} + 20 x - 48 x^{8} - (2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

Etapa 8.3.1.6

Multiplique $x^{2}$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 8.3.1.6.1

Mova $x^{3}$ .

$\frac{60 x^{8} + 12 x^{5} + 100 x^{4} + 20 x - 48 x^{8} - (2 (x^{3} x^{2})) \cdot 12}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

Etapa 8.3.1.6.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{60 x^{8} + 12 x^{5} + 100 x^{4} + 20 x - 48 x^{8} - (2 x^{3 + 2}) \cdot 12}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

Etapa 8.3.1.6.3

Some $3$ e $2$ .

$\frac{60 x^{8} + 12 x^{5} + 100 x^{4} + 20 x - 48 x^{8} - (2 x^{5}) \cdot 12}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

Etapa 8.3.1.7

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{60 x^{8} + 12 x^{5} + 100 x^{4} + 20 x - 48 x^{8} - 2 x^{5} \cdot 12}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

Etapa 8.3.1.8

Multiplique $12$ por $- 2$ .

$\frac{60 x^{8} + 12 x^{5} + 100 x^{4} + 20 x - 48 x^{8} - 24 x^{5}}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

Etapa 8.3.2

Subtraia $48 x^{8}$ de $60 x^{8}$ .

$\frac{12 x^{8} + 12 x^{5} + 100 x^{4} + 20 x - 24 x^{5}}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

Etapa 8.3.3

Subtraia $24 x^{5}$ de $12 x^{5}$ .

$\frac{12 x^{8} - 12 x^{5} + 100 x^{4} + 20 x}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

Etapa 8.4

Fatore $4 x$ de $12 x^{8} - 12 x^{5} + 100 x^{4} + 20 x$ .

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Etapa 8.4.1

Fatore $4 x$ de $12 x^{8}$ .

$\frac{4 x (3 x^{7}) - 12 x^{5} + 100 x^{4} + 20 x}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

Etapa 8.4.2

Fatore $4 x$ de $- 12 x^{5}$ .

$\frac{4 x (3 x^{7}) + 4 x (- 3 x^{4}) + 100 x^{4} + 20 x}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

Etapa 8.4.3

Fatore $4 x$ de $100 x^{4}$ .

$\frac{4 x (3 x^{7}) + 4 x (- 3 x^{4}) + 4 x (25 x^{3}) + 20 x}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

Etapa 8.4.4

Fatore $4 x$ de $20 x$ .

$\frac{4 x (3 x^{7}) + 4 x (- 3 x^{4}) + 4 x (25 x^{3}) + 4 x (5)}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

Etapa 8.4.5

Fatore $4 x$ de $4 x (3 x^{7}) + 4 x (- 3 x^{4})$ .

$\frac{4 x (3 x^{7} - 3 x^{4}) + 4 x (25 x^{3}) + 4 x (5)}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

Etapa 8.4.6

Fatore $4 x$ de $4 x (3 x^{7} - 3 x^{4}) + 4 x (25 x^{3})$ .

$\frac{4 x (3 x^{7} - 3 x^{4} + 25 x^{3}) + 4 x (5)}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

Etapa 8.4.7

Fatore $4 x$ de $4 x (3 x^{7} - 3 x^{4} + 25 x^{3}) + 4 x (5)$ .

$\frac{4 x (3 x^{7} - 3 x^{4} + 25 x^{3} + 5)}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$