Álgebra Exemplos

$\frac{x + 3}{y (z + 5)}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x + 3$ e $g (x) = y (z + 5)$ .

$\frac{y (z + 5) \frac{d}{d x} [x + 3] - (x + 3) \frac{d}{d x} [y (z + 5)]}{{(y (z + 5))}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{y (z + 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [y (z + 5)]}{{(y (z + 5))}^{2}}$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{y (z + 5) (1 + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [y (z + 5)]}{{(y (z + 5))}^{2}}$

Etapa 2.3

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{y (z + 5) (1 + 0) - (x + 3) \frac{d}{d x} [y (z + 5)]}{{(y (z + 5))}^{2}}$

Etapa 2.4

Some $1$ e $0$ .

$\frac{y (z + 5) \cdot 1 - (x + 3) \frac{d}{d x} [y (z + 5)]}{{(y (z + 5))}^{2}}$

Etapa 2.5

Como $y (z + 5)$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $y (z + 5)$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{y (z + 5) \cdot 1 - (x + 3) \cdot 0}{{(y (z + 5))}^{2}}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a regra do produto a $y (z + 5)$ .

$\frac{y (z + 5) \cdot 1 - (x + 3) \cdot 0}{y^{2} {(z + 5)}^{2}}$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(y z + y \cdot 5) \cdot 1 - (x + 3) \cdot 0}{y^{2} {(z + 5)}^{2}}$

Etapa 3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{y z \cdot 1 + y \cdot 5 \cdot 1 - (x + 3) \cdot 0}{y^{2} {(z + 5)}^{2}}$

Etapa 3.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{y z \cdot 1 + y \cdot 5 \cdot 1 + (- x - 1 \cdot 3) \cdot 0}{y^{2} {(z + 5)}^{2}}$

Etapa 3.5

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{y z \cdot 1 + y \cdot 5 \cdot 1 - x \cdot 0 - 1 \cdot 3 \cdot 0}{y^{2} {(z + 5)}^{2}}$

Etapa 3.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.6.1.1

Multiplique $y$ por $1$ .

$\frac{y z + y \cdot 5 \cdot 1 - x \cdot 0 - 1 \cdot 3 \cdot 0}{y^{2} {(z + 5)}^{2}}$

Etapa 3.6.1.2

Mova $5$ para a esquerda de $y$ .

$\frac{y z + 5 \cdot y \cdot 1 - x \cdot 0 - 1 \cdot 3 \cdot 0}{y^{2} {(z + 5)}^{2}}$

Etapa 3.6.1.3

Multiplique $5$ por $1$ .

$\frac{y z + 5 y - x \cdot 0 - 1 \cdot 3 \cdot 0}{y^{2} {(z + 5)}^{2}}$

Etapa 3.6.1.4

Multiplique $- x \cdot 0$ .

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Etapa 3.6.1.4.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$\frac{y z + 5 y + 0 x - 1 \cdot 3 \cdot 0}{y^{2} {(z + 5)}^{2}}$

Etapa 3.6.1.4.2

Multiplique $0$ por $x$ .

$\frac{y z + 5 y + 0 - 1 \cdot 3 \cdot 0}{y^{2} {(z + 5)}^{2}}$

Etapa 3.6.1.5

Multiplique $- 1 \cdot 3 \cdot 0$ .

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Etapa 3.6.1.5.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{y z + 5 y + 0 - 3 \cdot 0}{y^{2} {(z + 5)}^{2}}$

Etapa 3.6.1.5.2

Multiplique $- 3$ por $0$ .

$\frac{y z + 5 y + 0 + 0}{y^{2} {(z + 5)}^{2}}$

Etapa 3.6.2

Combine os termos opostos em $y z + 5 y + 0 + 0$ .

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Etapa 3.6.2.1

Some $y z + 5 y$ e $0$ .

$\frac{y z + 5 y + 0}{y^{2} {(z + 5)}^{2}}$

Etapa 3.6.2.2

Some $y z + 5 y$ e $0$ .

$\frac{y z + 5 y}{y^{2} {(z + 5)}^{2}}$

Etapa 3.7

Fatore $y$ de $y z + 5 y$ .

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Etapa 3.7.1

Fatore $y$ de $y z$ .

$\frac{y (z) + 5 y}{y^{2} {(z + 5)}^{2}}$

Etapa 3.7.2

Fatore $y$ de $5 y$ .

$\frac{y (z) + y \cdot 5}{y^{2} {(z + 5)}^{2}}$

Etapa 3.7.3

Fatore $y$ de $y (z) + y \cdot 5$ .

$\frac{y (z + 5)}{y^{2} {(z + 5)}^{2}}$

Etapa 3.8

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.8.1

Fatore $y$ de $y^{2} {(z + 5)}^{2}$ .

$\frac{y (z + 5)}{y (y {(z + 5)}^{2})}$

Etapa 3.8.2

Cancele o fator comum.

$\frac{y (z + 5)}{y (y {(z + 5)}^{2})}$

Etapa 3.8.3

Reescreva a expressão.

$\frac{z + 5}{y {(z + 5)}^{2}}$

Etapa 3.9

Cancele o fator comum de $z + 5$ e ${(z + 5)}^{2}$ .

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Etapa 3.9.1

Multiplique por $1$ .

$\frac{(z + 5) \cdot 1}{y {(z + 5)}^{2}}$

Etapa 3.9.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.9.2.1

Fatore $z + 5$ de $y {(z + 5)}^{2}$ .

$\frac{(z + 5) \cdot 1}{(z + 5) (y (z + 5))}$

Etapa 3.9.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{(z + 5) \cdot 1}{(z + 5) (y (z + 5))}$

Etapa 3.9.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y (z + 5)}$