Álgebra Exemplos

$\frac{1}{9} x^{4} - \frac{4}{9} x^{3}$

Etapa 1

Escreva $\frac{1}{9} x^{4} - \frac{4}{9} x^{3}$ como uma função.

$f (x) = \frac{1}{9} x^{4} - \frac{4}{9} x^{3}$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1}{9} x^{4} - \frac{4}{9} x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{1}{9} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{9} x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{9} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{9} x^{3}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{9} x^{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $\frac{1}{9}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{9} x^{4}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{9} x^{3}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$\frac{1}{9} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{9} x^{3}]$

Etapa 2.2.3

Combine $4$ e $\frac{1}{9}$ .

$\frac{4}{9} x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{9} x^{3}]$

Etapa 2.2.4

Combine $\frac{4}{9}$ e $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{9} + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{9} x^{3}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{4}{9} x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $- \frac{4}{9}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{4}{9} x^{3}$ em relação a $x$ é $- \frac{4}{9} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{4 x^{3}}{9} - \frac{4}{9} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{4 x^{3}}{9} - \frac{4}{9} (3 x^{2})$

Etapa 2.3.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{4 x^{3}}{9} - 3 (\frac{4}{9}) x^{2}$

Etapa 2.3.4

Combine $- 3$ e $\frac{4}{9}$ .

$\frac{4 x^{3}}{9} + \frac{- 3 \cdot 4}{9} x^{2}$

Etapa 2.3.5

Multiplique $- 3$ por $4$ .

$\frac{4 x^{3}}{9} + \frac{- 12}{9} x^{2}$

Etapa 2.3.6

Combine $\frac{- 12}{9}$ e $x^{2}$ .

$\frac{4 x^{3}}{9} + \frac{- 12 x^{2}}{9}$

Etapa 2.3.7

Cancele o fator comum de $- 12$ e $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.7.1

Fatore $3$ de $- 12 x^{2}$ .

$\frac{4 x^{3}}{9} + \frac{3 (- 4 x^{2})}{9}$

Etapa 2.3.7.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.7.2.1

Fatore $3$ de $9$ .

$\frac{4 x^{3}}{9} + \frac{3 (- 4 x^{2})}{3 (3)}$

Etapa 2.3.7.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x^{3}}{9} + \frac{3 (- 4 x^{2})}{3 \cdot 3}$

Etapa 2.3.7.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{4 x^{3}}{9} + \frac{- 4 x^{2}}{3}$

Etapa 2.3.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{4 x^{3}}{9} - \frac{4 x^{2}}{3}$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{4 x^{3}}{9} - \frac{4 x^{2}}{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{3}}{9}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{2}}{3}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{4 x^{3}}{9}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4 x^{2}}{3})$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{3}}{9}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Como $\frac{4}{9}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{4 x^{3}}{9}$ em relação a $x$ é $\frac{4}{9} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9} \cdot \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4 x^{2}}{3})$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9} \cdot (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4 x^{2}}{3})$

Etapa 3.2.3

Combine $3$ e $\frac{4}{9}$ .

$f'' (x) = \frac{3 \cdot 4}{9} x^{2} + \frac{d}{d x} (- \frac{4 x^{2}}{3})$

Etapa 3.2.4

Multiplique $3$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{12}{9} x^{2} + \frac{d}{d x} (- \frac{4 x^{2}}{3})$

Etapa 3.2.5

Combine $\frac{12}{9}$ e $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{2}}{9} + \frac{d}{d x} (- \frac{4 x^{2}}{3})$

Etapa 3.2.6

Cancele o fator comum de $12$ e $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.6.1

Fatore $3$ de $12 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (4 x^{2})}{9} + \frac{d}{d x} (- \frac{4 x^{2}}{3})$

Etapa 3.2.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.6.2.1

Fatore $3$ de $9$ .

$f'' (x) = \frac{3 (4 x^{2})}{3 (3)} + \frac{d}{d x} (- \frac{4 x^{2}}{3})$

Etapa 3.2.6.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = \frac{3 (4 x^{2})}{3 \cdot 3} + \frac{d}{d x} (- \frac{4 x^{2}}{3})$

Etapa 3.2.6.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = \frac{4 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} (- \frac{4 x^{2}}{3})$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{2}}{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Como $- \frac{4}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{4 x^{2}}{3}$ em relação a $x$ é $- \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2}}{3} - \frac{4}{3} \cdot \frac{d}{d x} x^{2}$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2}}{3} - \frac{4}{3} \cdot (2 x)$

Etapa 3.3.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2}}{3} - 2 (\frac{4}{3}) \cdot x$

Etapa 3.3.4

Combine $- 2$ e $\frac{4}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2}}{3} + \frac{- 2 \cdot 4}{3} x$

Etapa 3.3.5

Multiplique $- 2$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2}}{3} + \frac{- 8}{3} x$

Etapa 3.3.6

Combine $\frac{- 8}{3}$ e $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2}}{3} + \frac{- 8 x}{3}$

Etapa 3.3.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = \frac{4 x^{2}}{3} - \frac{8 x}{3}$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$\frac{4 x^{3}}{9} - \frac{4 x^{2}}{3} = 0$

Etapa 5

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1}{9} x^{4} - \frac{4}{9} x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{1}{9} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{9} x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{9} x^{4}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{9} x^{3})$

Etapa 5.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{9} x^{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1

Como $\frac{1}{9}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{9} x^{4}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{9} \cdot \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{9} x^{3})$

Etapa 5.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f' (x) = \frac{1}{9} \cdot (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{9} x^{3})$

Etapa 5.1.2.3

Combine $4$ e $\frac{1}{9}$ .

$f' (x) = \frac{4}{9} x^{3} + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{9} x^{3})$

Etapa 5.1.2.4

Combine $\frac{4}{9}$ e $x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{9} + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{9} x^{3})$

Etapa 5.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{4}{9} x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.1

Como $- \frac{4}{9}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{4}{9} x^{3}$ em relação a $x$ é $- \frac{4}{9} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{9} - \frac{4}{9} \cdot \frac{d}{d x} x^{3}$

Etapa 5.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{9} - \frac{4}{9} \cdot (3 x^{2})$

Etapa 5.1.3.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{9} - 3 (\frac{4}{9}) \cdot x^{2}$

Etapa 5.1.3.4

Combine $- 3$ e $\frac{4}{9}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{9} + \frac{- 3 \cdot 4}{9} x^{2}$

Etapa 5.1.3.5

Multiplique $- 3$ por $4$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{9} + \frac{- 12}{9} x^{2}$

Etapa 5.1.3.6

Combine $\frac{- 12}{9}$ e $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{9} + \frac{- 12 x^{2}}{9}$

Etapa 5.1.3.7

Cancele o fator comum de $- 12$ e $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.7.1

Fatore $3$ de $- 12 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{9} + \frac{3 (- 4 x^{2})}{9}$

Etapa 5.1.3.7.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.7.2.1

Fatore $3$ de $9$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{9} + \frac{3 (- 4 x^{2})}{3 (3)}$

Etapa 5.1.3.7.2.2

Cancele o fator comum.

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{9} + \frac{3 (- 4 x^{2})}{3 \cdot 3}$

Etapa 5.1.3.7.2.3

Reescreva a expressão.

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{9} + \frac{- 4 x^{2}}{3}$

Etapa 5.1.3.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{9} - \frac{4 x^{2}}{3}$

Etapa 5.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{4 x^{3}}{9} - \frac{4 x^{2}}{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{9} - \frac{4 x^{2}}{3}$

Etapa 6

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{4 x^{3}}{9} - \frac{4 x^{2}}{3} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{4 x^{3}}{9} - \frac{4 x^{2}}{3} = 0$

Etapa 6.2

Multiplique cada termo em $\frac{4 x^{3}}{9} - \frac{4 x^{2}}{3} = 0$ por $9$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Multiplique cada termo em $\frac{4 x^{3}}{9} - \frac{4 x^{2}}{3} = 0$ por $9$ .

$\frac{4 x^{3}}{9} \cdot 9 - \frac{4 x^{2}}{3} \cdot 9 = 0 \cdot 9$

Etapa 6.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1

Cancele o fator comum de $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x^{3}}{9} \cdot 9 - \frac{4 x^{2}}{3} \cdot 9 = 0 \cdot 9$

Etapa 6.2.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$4 x^{3} - \frac{4 x^{2}}{3} \cdot 9 = 0 \cdot 9$

Etapa 6.2.2.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{4 x^{2}}{3}$ para o numerador.

$4 x^{3} + \frac{- 4 x^{2}}{3} \cdot 9 = 0 \cdot 9$

Etapa 6.2.2.1.2.2

Fatore $3$ de $9$ .

$4 x^{3} + \frac{- 4 x^{2}}{3} \cdot (3 (3)) = 0 \cdot 9$

Etapa 6.2.2.1.2.3

Cancele o fator comum.

$4 x^{3} + \frac{- 4 x^{2}}{3} \cdot (3 \cdot 3) = 0 \cdot 9$

Etapa 6.2.2.1.2.4

Reescreva a expressão.

$4 x^{3} - 4 x^{2} \cdot 3 = 0 \cdot 9$

Etapa 6.2.2.1.3

Multiplique $3$ por $- 4$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} = 0 \cdot 9$

Etapa 6.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1

Multiplique $0$ por $9$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} = 0$

Etapa 6.3

Fatore $4 x^{2}$ de $4 x^{3} - 12 x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Fatore $4 x^{2}$ de $4 x^{3}$ .

$4 x^{2} (x) - 12 x^{2} = 0$

Etapa 6.3.2

Fatore $4 x^{2}$ de $- 12 x^{2}$ .

$4 x^{2} (x) + 4 x^{2} (- 3) = 0$

Etapa 6.3.3

Fatore $4 x^{2}$ de $4 x^{2} (x) + 4 x^{2} (- 3)$ .

$4 x^{2} (x - 3) = 0$

Etapa 6.4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x - 3 = 0$

Etapa 6.5

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Etapa 6.5.2

Resolva $x^{2} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 6.5.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 6.5.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 6.5.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 6.6

Defina $x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 6.6.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 6.7

A solução final são todos os valores que tornam $4 x^{2} (x - 3) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 3$

Etapa 7

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 8

Pontos críticos para avaliar.

$x = 0, 3$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{4 {(0)}^{2}}{3} - \frac{8 (0)}{3}$

Etapa 10

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{4 {(0)}^{2} - 8 \cdot 0}{3}$

Etapa 10.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{4 \cdot 0 - 8 \cdot 0}{3}$

Etapa 10.2.2

Multiplique $4$ por $0$ .

$\frac{0 - 8 \cdot 0}{3}$

Etapa 10.2.3

Multiplique $- 8$ por $0$ .

$\frac{0 + 0}{3}$

Etapa 10.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.1

Some $0$ e $0$ .

$\frac{0}{3}$

Etapa 10.3.2

Divida $0$ por $3$ .

$0$

Etapa 11

Como há pelo menos um ponto com $0$ ou segunda derivada indefinida, aplique o teste da primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

Etapa 11.2

Substitua qualquer número, como $- 2$ , do intervalo $(- \infty, 0)$ na primeira derivada $\frac{4 x^{3}}{9} - \frac{4 x^{2}}{3}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f' (- 2) = \frac{4 {(- 2)}^{3}}{9} - \frac{4 {(- 2)}^{2}}{3}$

Etapa 11.2.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$f' (- 2) = \frac{4 \cdot - 8}{9} - \frac{4 {(- 2)}^{2}}{3}$

Etapa 11.2.2.1.2

Multiplique $4$ por $- 8$ .

$f' (- 2) = \frac{- 32}{9} - \frac{4 {(- 2)}^{2}}{3}$

Etapa 11.2.2.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (- 2) = - \frac{32}{9} - \frac{4 {(- 2)}^{2}}{3}$

Etapa 11.2.2.1.4

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$f' (- 2) = - \frac{32}{9} - \frac{4 \cdot 4}{3}$

Etapa 11.2.2.1.5

Multiplique $4$ por $4$ .

$f' (- 2) = - \frac{32}{9} - \frac{16}{3}$

Etapa 11.2.2.2

Para escrever $- \frac{16}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f' (- 2) = - \frac{32}{9} - \frac{16}{3} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 11.2.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $9$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.3.1

Multiplique $\frac{16}{3}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f' (- 2) = - \frac{32}{9} - \frac{16 \cdot 3}{3 \cdot 3}$

Etapa 11.2.2.3.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$f' (- 2) = - \frac{32}{9} - \frac{16 \cdot 3}{9}$

Etapa 11.2.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (- 2) = \frac{- 32 - 16 \cdot 3}{9}$

Etapa 11.2.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.5.1

Multiplique $- 16$ por $3$ .

$f' (- 2) = \frac{- 32 - 48}{9}$

Etapa 11.2.2.5.2

Subtraia $48$ de $- 32$ .

$f' (- 2) = \frac{- 80}{9}$

Etapa 11.2.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (- 2) = - \frac{80}{9}$

Etapa 11.2.2.7

A resposta final é $- \frac{80}{9}$ .

$- \frac{80}{9}$

Etapa 11.3

Substitua qualquer número, como $2$ , do intervalo $(0, 3)$ na primeira derivada $\frac{4 x^{3}}{9} - \frac{4 x^{2}}{3}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f' (2) = \frac{4 {(2)}^{3}}{9} - \frac{4 {(2)}^{2}}{3}$

Etapa 11.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.2.1.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.2.1.1.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$f' (2) = \frac{2^{2} \cdot 2^{3}}{9} - \frac{4 {(2)}^{2}}{3}$

Etapa 11.3.2.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (2) = \frac{2^{2 + 3}}{9} - \frac{4 {(2)}^{2}}{3}$

Etapa 11.3.2.1.1.3

Some $2$ e $3$ .

$f' (2) = \frac{2^{5}}{9} - \frac{4 {(2)}^{2}}{3}$

Etapa 11.3.2.1.2

Eleve $2$ à potência de $5$ .

$f' (2) = \frac{32}{9} - \frac{4 {(2)}^{2}}{3}$

Etapa 11.3.2.1.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.2.1.3.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$f' (2) = \frac{32}{9} - \frac{2^{2} \cdot 2^{2}}{3}$

Etapa 11.3.2.1.3.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (2) = \frac{32}{9} - \frac{2^{2 + 2}}{3}$

Etapa 11.3.2.1.3.3

Some $2$ e $2$ .

$f' (2) = \frac{32}{9} - \frac{2^{4}}{3}$

Etapa 11.3.2.1.4

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$f' (2) = \frac{32}{9} - \frac{16}{3}$

Etapa 11.3.2.2

Para escrever $- \frac{16}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f' (2) = \frac{32}{9} - \frac{16}{3} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 11.3.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $9$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 11.3.2.3.1

Multiplique $\frac{16}{3}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f' (2) = \frac{32}{9} - \frac{16 \cdot 3}{3 \cdot 3}$

Etapa 11.3.2.3.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$f' (2) = \frac{32}{9} - \frac{16 \cdot 3}{9}$

Etapa 11.3.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (2) = \frac{32 - 16 \cdot 3}{9}$

Etapa 11.3.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 11.3.2.5.1

Multiplique $- 16$ por $3$ .

$f' (2) = \frac{32 - 48}{9}$

Etapa 11.3.2.5.2

Subtraia $48$ de $32$ .

$f' (2) = \frac{- 16}{9}$

Etapa 11.3.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (2) = - \frac{16}{9}$

Etapa 11.3.2.7

A resposta final é $- \frac{16}{9}$ .

$- \frac{16}{9}$

Etapa 11.4

Substitua qualquer número, como $6$ , do intervalo $(3, \infty)$ na primeira derivada $\frac{4 x^{3}}{9} - \frac{4 x^{2}}{3}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 11.4.1

Substitua a variável $x$ por $6$ na expressão.

$f' (6) = \frac{4 {(6)}^{3}}{9} - \frac{4 {(6)}^{2}}{3}$

Etapa 11.4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 11.4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.4.2.1.1

Eleve $6$ à potência de $3$ .

$f' (6) = \frac{4 \cdot 216}{9} - \frac{4 {(6)}^{2}}{3}$

Etapa 11.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $216$ .

$f' (6) = \frac{864}{9} - \frac{4 {(6)}^{2}}{3}$

Etapa 11.4.2.1.3

Divida $864$ por $9$ .

$f' (6) = 96 - \frac{4 {(6)}^{2}}{3}$

Etapa 11.4.2.1.4

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$f' (6) = 96 - \frac{4 \cdot 36}{3}$

Etapa 11.4.2.1.5

Multiplique $4$ por $36$ .

$f' (6) = 96 - \frac{144}{3}$

Etapa 11.4.2.1.6

Divida $144$ por $3$ .

$f' (6) = 96 - 1 \cdot 48$

Etapa 11.4.2.1.7

Multiplique $- 1$ por $48$ .

$f' (6) = 96 - 48$

Etapa 11.4.2.2

Subtraia $48$ de $96$ .

$f' (6) = 48$

Etapa 11.4.2.3

A resposta final é $48$ .

$48$

Etapa 11.5

Como a primeira derivada não mudou os sinais em torno de $x = 0$ , este não é um máximo local nem um mínimo local.

Não é um máximo nem um mínimo local

Etapa 11.6

Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de $x = 3$ , então $x = 3$ é um mínimo local.

$x = 3$ é um mínimo local

Etapa 12