Álgebra Exemplos

$x \sqrt{5 - x}$

Etapa 1

Escreva $x \sqrt{5 - x}$ como uma função.

$f (x) = x \sqrt{5 - x}$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5 - x}$ como ${(5 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(5 - x)}^{\frac{1}{2}}] + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 5 - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $5 - x$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $5 - x$ .

$x (\frac{1}{2} {(5 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(5 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(5 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x (\frac{1}{2} {(5 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(5 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(5 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.8

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x (\frac{1}{2} {(5 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.8.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(5 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(5 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.8.3

Mova ${(5 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.8.4

Combine $\frac{1}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 - x] + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.9

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x]) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.10

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.11

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x] + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.12

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x]) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.13

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- 1 \cdot 1) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.14

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.14.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1 + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.14.2

Combine $\frac{x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ e $- 1$ .

$\frac{x \cdot - 1}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.14.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.14.3.1

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{- 1 \cdot x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.14.3.2

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{- x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.14.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.15

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- \frac{x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Etapa 2.16

Multiplique ${(5 - x)}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$- \frac{x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 2.17

Para escrever ${(5 - x)}^{\frac{1}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.18

Combine ${(5 - x)}^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(5 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.19

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- x + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.20

Multiplique ${(5 - x)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(5 - x)}^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.20.1

Mova ${(5 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- x + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.20.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- x + {(5 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.20.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- x + {(5 - x)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.20.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{- x + {(5 - x)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.20.5

Divida $2$ por $2$ .

$\frac{- x + {(5 - x)}^{1} \cdot 2}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.21

Simplifique ${(5 - x)}^{1} \cdot 2$ .

$\frac{- x + (5 - x) \cdot 2}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.22

Mova $2$ para a esquerda de $5 - x$ .

$\frac{- x + 2 \cdot (5 - x)}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.23

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.23.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- x + 2 \cdot 5 + 2 (- x)}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.23.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.23.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.23.2.1.1

Multiplique $2$ por $5$ .

$\frac{- x + 10 + 2 (- x)}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.23.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{- x + 10 - 2 x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.23.2.2

Subtraia $2 x$ de $- x$ .

$\frac{- 3 x + 10}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.23.3

Fatore $- 1$ de $- 3 x$ .

$\frac{- (3 x) + 10}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.23.4

Reescreva $10$ como $- 1 (- 10)$ .

$\frac{- (3 x) - 1 (- 10)}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.23.5

Fatore $- 1$ de $- (3 x) - 1 (- 10)$ .

$\frac{- (3 x - 10)}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.23.6

Reescreva $- (3 x - 10)$ como $- 1 (3 x - 10)$ .

$\frac{- 1 (3 x - 10)}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.23.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{3 x - 10}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Como $- \frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{3 x - 10}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ em relação a $x$ é $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 10}{{(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} \frac{3 x - 10}{{(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 3 x - 10$ e $g (x) = {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 10) - (3 x - 10) \frac{d}{d x} {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}{{({(5 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 3.3

Multiplique os expoentes em ${({(5 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 3.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 10) - (3 x - 10) \frac{d}{d x} {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}{{(5 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 3.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.3.2.1

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 10) - (3 x - 10) \frac{d}{d x} {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}{{(5 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 3.3.2.2

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 10) - (3 x - 10) \frac{d}{d x} {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}{5 - x}$

Etapa 3.4

Simplifique.

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 10) - (3 x - 10) \frac{d}{d x} {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}{5 - x}$

Etapa 3.5

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x - 10$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(5 - x)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (- 10)) - (3 x - 10) \frac{d}{d x} {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}{5 - x}$

Etapa 3.5.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(5 - x)}^{\frac{1}{2}} (3 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 10)) - (3 x - 10) \frac{d}{d x} {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}{5 - x}$

Etapa 3.5.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(5 - x)}^{\frac{1}{2}} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 10)) - (3 x - 10) \frac{d}{d x} {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}{5 - x}$

Etapa 3.5.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(5 - x)}^{\frac{1}{2}} (3 + \frac{d}{d x} (- 10)) - (3 x - 10) \frac{d}{d x} {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}{5 - x}$

Etapa 3.5.5

Como $- 10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 10$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(5 - x)}^{\frac{1}{2}} (3 + 0) - (3 x - 10) \frac{d}{d x} {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}{5 - x}$

Etapa 3.5.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.6.1

Some $3$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3 - (3 x - 10) \frac{d}{d x} {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}{5 - x}$

Etapa 3.5.6.2

Mova $3$ para a esquerda de ${(5 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 10) \frac{d}{d x} {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}{5 - x}$

Etapa 3.6

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 5 - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $5 - x$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 10) (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (5 - x))}{5 - x}$

Etapa 3.6.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 10) (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (5 - x))}{5 - x}$

Etapa 3.6.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $5 - x$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 10) (\frac{1}{2} \cdot {(5 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (5 - x))}{5 - x}$

Etapa 3.7

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 10) (\frac{1}{2} \cdot {(5 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (5 - x))}{5 - x}$

Etapa 3.8

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 10) (\frac{1}{2} \cdot {(5 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (5 - x))}{5 - x}$

Etapa 3.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 10) (\frac{1}{2} \cdot {(5 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (5 - x))}{5 - x}$

Etapa 3.10

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 10) (\frac{1}{2} \cdot {(5 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (5 - x))}{5 - x}$

Etapa 3.10.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 10) (\frac{1}{2} \cdot {(5 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (5 - x))}{5 - x}$

Etapa 3.11

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 10) (\frac{1}{2} \cdot {(5 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (5 - x))}{5 - x}$

Etapa 3.11.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(5 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 10) (\frac{{(5 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (5 - x))}{5 - x}$

Etapa 3.11.3

Mova ${(5 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 10) (\frac{1}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (5 - x))}{5 - x}$

Etapa 3.12

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 10) (\frac{1}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (5) + \frac{d}{d x} (- x)))}{5 - x}$

Etapa 3.13

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 10) (\frac{1}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x)))}{5 - x}$

Etapa 3.14

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 10) (\frac{1}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x))}{5 - x}$

Etapa 3.15

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 10) (\frac{1}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x))}{5 - x}$

Etapa 3.16

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.16.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} + 1 (3 x - 10) (\frac{1}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x)))}{5 - x}$

Etapa 3.16.2

Multiplique $3 x - 10$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} + (3 x - 10) (\frac{1}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x)))}{5 - x}$

Etapa 3.17

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} + (3 x - 10) (\frac{1}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}) \cdot 1}{5 - x}$

Etapa 3.18

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.18.1

Multiplique $3 x - 10$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} + (3 x - 10) (\frac{1}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{5 - x}$

Etapa 3.18.2

Multiplique $\frac{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} + (3 x - 10) \frac{1}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{5 - x}$ por $\frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} + (3 x - 10) (\frac{1}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{(5 - x) \cdot 2}$

Etapa 3.18.3

Mova $2$ para a esquerda de $5 - x$ .

$f'' (x) = - \frac{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} + (3 x - 10) (\frac{1}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot (5 - x)}$

Etapa 3.19

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.19.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} + (3 x - 10) (\frac{1}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 5 + 2 (- x)}$

Etapa 3.19.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.19.2.1

Deixe $u_{2} = {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}$ . Substitua $u_{2}$ em todas as ocorrências de ${(5 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.19.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = - \frac{\frac{3 \cdot (2 u_{2} u_{2}) + 3 x - 10}{2 u_{2}}}{2 \cdot 5 + 2 (- x)}$

Etapa 3.19.2.1.2

Multiplique $u_{2}$ por $u_{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.19.2.1.2.1

Mova $u_{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{3 \cdot (2 (u_{2} u_{2})) + 3 x - 10}{2 u_{2}}}{2 \cdot 5 + 2 (- x)}$

Etapa 3.19.2.1.2.2

Multiplique $u_{2}$ por $u_{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{3 \cdot (2 {u_{2}}^{2}) + 3 x - 10}{2 u_{2}}}{2 \cdot 5 + 2 (- x)}$

Etapa 3.19.2.1.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{6 {u_{2}}^{2} + 3 x - 10}{2 u_{2}}}{2 \cdot 5 + 2 (- x)}$

Etapa 3.19.2.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por ${(5 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{6 {({(5 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 3 x - 10}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 5 + 2 (- x)}$

Etapa 3.19.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.19.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.19.2.3.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(5 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.19.2.3.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{6 {(5 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 3 x - 10}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 5 + 2 (- x)}$

Etapa 3.19.2.3.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.19.2.3.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = - \frac{\frac{6 {(5 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 3 x - 10}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 5 + 2 (- x)}$

Etapa 3.19.2.3.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = - \frac{\frac{6 (5 - x) + 3 x - 10}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 5 + 2 (- x)}$

Etapa 3.19.2.3.1.2

Simplifique.

$f'' (x) = - \frac{\frac{6 (5 - x) + 3 x - 10}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 5 + 2 (- x)}$

Etapa 3.19.2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{\frac{6 \cdot 5 + 6 (- x) + 3 x - 10}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 5 + 2 (- x)}$

Etapa 3.19.2.3.1.4

Multiplique $6$ por $5$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{30 + 6 (- x) + 3 x - 10}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 5 + 2 (- x)}$

Etapa 3.19.2.3.1.5

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{30 - 6 x + 3 x - 10}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 5 + 2 (- x)}$

Etapa 3.19.2.3.2

Subtraia $10$ de $30$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 6 x + 3 x + 20}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 5 + 2 (- x)}$

Etapa 3.19.2.3.3

Some $- 6 x$ e $3 x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 3 x + 20}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 5 + 2 (- x)}$

Etapa 3.19.3

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.19.3.1

Multiplique $2$ por $5$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 3 x + 20}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{10 + 2 (- x)}$

Etapa 3.19.3.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 3 x + 20}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{10 - 2 x}$

Etapa 3.19.3.3

Reescreva $\frac{\frac{- 3 x + 20}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{10 - 2 x}$ como um produto.

$f'' (x) = - (\frac{- 3 x + 20}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{10 - 2 x})$

Etapa 3.19.3.4

Multiplique $\frac{- 3 x + 20}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{10 - 2 x}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 20}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} (10 - 2 x)}$

Etapa 3.19.4

Simplifique o denominador.

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Etapa 3.19.4.1

Fatore $2$ de $10 - 2 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.19.4.1.1

Fatore $2$ de $10$ .

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 20}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 (5) - 2 x)}$

Etapa 3.19.4.1.2

Fatore $2$ de $- 2 x$ .

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 20}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 (5) + 2 (- x))}$

Etapa 3.19.4.1.3

Fatore $2$ de $2 (5) + 2 (- x)$ .

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 20}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 (5 - x))}$

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 20}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot (2 (5 - x))}$

Etapa 3.19.4.2

Combine expoentes.

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Etapa 3.19.4.2.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 20}{4 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} (5 - x)}$

Etapa 3.19.4.2.2

Eleve $5 - x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 20}{4 ((5 - x) {(5 - x)}^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 3.19.4.2.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 20}{4 {(5 - x)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

Etapa 3.19.4.2.4

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 20}{4 {(5 - x)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Etapa 3.19.4.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 20}{4 {(5 - x)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Etapa 3.19.4.2.6

Some $2$ e $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 20}{4 {(5 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 3.19.5

Fatore $- 1$ de $- 3 x$ .

$f'' (x) = - \frac{- (3 x) + 20}{4 {(5 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 3.19.6

Reescreva $20$ como $- 1 (- 20)$ .

$f'' (x) = - \frac{- (3 x) - 1 \cdot - 20}{4 {(5 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 3.19.7

Fatore $- 1$ de $- (3 x) - 1 (- 20)$ .

$f'' (x) = - \frac{- (3 x - 20)}{4 {(5 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 3.19.8

Reescreva $- (3 x - 20)$ como $- 1 (3 x - 20)$ .

$f'' (x) = - \frac{- 1 (3 x - 20)}{4 {(5 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 3.19.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = \frac{3 x - 20}{4 {(5 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 3.19.10

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{3 x - 20}{4 {(5 - x)}^{\frac{3}{2}}})$

Etapa 3.19.11

Multiplique $\frac{3 x - 20}{4 {(5 - x)}^{\frac{3}{2}}}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{3 x - 20}{4 {(5 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- \frac{3 x - 10}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Etapa 5

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5 - x}$ como ${(5 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x {(5 - x)}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 5.1.2

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(5 - x)}^{\frac{1}{2}}) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 5.1.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 5 - x$ .

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Etapa 5.1.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $5 - x$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (5 - x)) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 5.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (5 - x)) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 5.1.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $5 - x$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(5 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (5 - x)) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 5.1.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(5 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (5 - x)) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 5.1.5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(5 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (5 - x)) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 5.1.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(5 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (5 - x)) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 5.1.7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(5 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (5 - x)) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 5.1.7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(5 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (5 - x)) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 5.1.8

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.8.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(5 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (5 - x)) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 5.1.8.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(5 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x (\frac{{(5 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (5 - x)) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 5.1.8.3

Mova ${(5 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (5 - x)) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 5.1.8.4

Combine $\frac{1}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (5 - x) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 5.1.9

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (5) + \frac{d}{d x} (- x)) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 5.1.10

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x)) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 5.1.11

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 5.1.12

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 5.1.13

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 1 \cdot 1) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 5.1.14

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.14.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1 + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 5.1.14.2

Combine $\frac{x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ e $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot - 1}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 5.1.14.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.14.3.1

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$f' (x) = \frac{- 1 \cdot x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 5.1.14.3.2

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$f' (x) = \frac{- x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 5.1.14.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = - \frac{x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 5.1.15

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = - \frac{x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Etapa 5.1.16

Multiplique ${(5 - x)}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$f' (x) = - \frac{x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 5.1.17

Para escrever ${(5 - x)}^{\frac{1}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = - \frac{x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5.1.18

Combine ${(5 - x)}^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = - \frac{x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(5 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5.1.19

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = \frac{- x + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5.1.20

Multiplique ${(5 - x)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(5 - x)}^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.20.1

Mova ${(5 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{- x + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5.1.20.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = \frac{- x + {(5 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5.1.20.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = \frac{- x + {(5 - x)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5.1.20.4

Some $1$ e $1$ .

$f' (x) = \frac{- x + {(5 - x)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5.1.20.5

Divida $2$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{- x + (5 - x) \cdot 2}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5.1.21

Simplifique ${(5 - x)}^{1} \cdot 2$ .

$f' (x) = \frac{- x + (5 - x) \cdot 2}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5.1.22

Mova $2$ para a esquerda de $5 - x$ .

$f' (x) = \frac{- x + 2 \cdot (5 - x)}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5.1.23

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.23.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{- x + 2 \cdot 5 + 2 (- x)}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5.1.23.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.23.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.23.2.1.1

Multiplique $2$ por $5$ .

$f' (x) = \frac{- x + 10 + 2 (- x)}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5.1.23.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{- x + 10 - 2 x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5.1.23.2.2

Subtraia $2 x$ de $- x$ .

$f' (x) = \frac{- 3 x + 10}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5.1.23.3

Fatore $- 1$ de $- 3 x$ .

$f' (x) = \frac{- (3 x) + 10}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5.1.23.4

Reescreva $10$ como $- 1 (- 10)$ .

$f' (x) = \frac{- (3 x) - 1 \cdot - 10}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5.1.23.5

Fatore $- 1$ de $- (3 x) - 1 (- 10)$ .

$f' (x) = \frac{- (3 x - 10)}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5.1.23.6

Reescreva $- (3 x - 10)$ como $- 1 (3 x - 10)$ .

$f' (x) = \frac{- 1 (3 x - 10)}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5.1.23.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = - \frac{3 x - 10}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{3 x - 10}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{3 x - 10}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{3 x - 10}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- \frac{3 x - 10}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Etapa 6.2

Defina o numerador como igual a zero.

$3 x - 10 = 0$

Etapa 6.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Some $10$ aos dois lados da equação.

$3 x = 10$

Etapa 6.3.2

Divida cada termo em $3 x = 10$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Divida cada termo em $3 x = 10$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{10}{3}$

Etapa 6.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{10}{3}$

Etapa 6.3.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{10}{3}$

Etapa 7

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Converta expressões com expoentes fracionários em radicais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$- \frac{3 x - 10}{2 \sqrt{{(5 - x)}^{1}}}$

Etapa 7.1.2

Qualquer número elevado a $1$ é a própria base.

$- \frac{3 x - 10}{2 \sqrt{5 - x}}$

Etapa 7.2

Defina o denominador em $\frac{3 x - 10}{2 \sqrt{5 - x}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$2 \sqrt{5 - x} = 0$

Etapa 7.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${(2 \sqrt{5 - x})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 7.3.2

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5 - x}$ como ${(5 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 7.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.2.1

Simplifique ${(2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.2.1.1

Aplique a regra do produto a $2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(5 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 7.3.2.2.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$4 {({(5 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 7.3.2.2.1.3

Multiplique os expoentes em ${({(5 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.2.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(5 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 7.3.2.2.1.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.2.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$4 {(5 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 7.3.2.2.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$4 {(5 - x)}^{1} = 0^{2}$

Etapa 7.3.2.2.1.4

Simplifique.

$4 (5 - x) = 0^{2}$

Etapa 7.3.2.2.1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$4 \cdot 5 + 4 (- x) = 0^{2}$

Etapa 7.3.2.2.1.6

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.2.1.6.1

Multiplique $4$ por $5$ .

$20 + 4 (- x) = 0^{2}$

Etapa 7.3.2.2.1.6.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$20 - 4 x = 0^{2}$

Etapa 7.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$20 - 4 x = 0$

Etapa 7.3.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.3.1

Subtraia $20$ dos dois lados da equação.

$- 4 x = - 20$

Etapa 7.3.3.2

Divida cada termo em $- 4 x = - 20$ por $- 4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.3.2.1

Divida cada termo em $- 4 x = - 20$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 20}{- 4}$

Etapa 7.3.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.3.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 20}{- 4}$

Etapa 7.3.3.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 20}{- 4}$

Etapa 7.3.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.3.2.3.1

Divida $- 20$ por $- 4$ .

$x = 5$

Etapa 7.4

Defina o radicando em $\sqrt{5 - x}$ como menor do que $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$5 - x < 0$

Etapa 7.5

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.1

Subtraia $5$ dos dois lados da desigualdade.

$- x < - 5$

Etapa 7.5.2

Divida cada termo em $- x < - 5$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.2.1

Divida cada termo em $- x < - 5$ por $- 1$ . Ao multiplicar ou dividir os dois lados de uma desigualdade por um valor negativo, inverta a direção do sinal de desigualdade.

$\frac{- x}{- 1} > \frac{- 5}{- 1}$

Etapa 7.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} > \frac{- 5}{- 1}$

Etapa 7.5.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x > \frac{- 5}{- 1}$

Etapa 7.5.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.2.3.1

Divida $- 5$ por $- 1$ .

$x > 5$

Etapa 7.6

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$x \geq 5$

$[5, \infty)$

$x \geq 5$

$[5, \infty)$

Etapa 8

Pontos críticos para avaliar.

$x = \frac{10}{3}, 5$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{10}{3}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{3 (\frac{10}{3}) - 20}{4 {(5 - (\frac{10}{3}))}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (\frac{10}{3}) - 20}{4 {(5 - \frac{10}{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{10 - 20}{4 {(5 - \frac{10}{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.1.2

Subtraia $20$ de $10$ .

$\frac{- 10}{4 {(5 - \frac{10}{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1

Para escrever $5$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 10}{4 {(5 \cdot \frac{3}{3} - \frac{10}{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.2.2

Combine $5$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 10}{4 {(\frac{5 \cdot 3}{3} - \frac{10}{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 10}{4 {(\frac{5 \cdot 3 - 10}{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.2.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.4.1

Multiplique $5$ por $3$ .

$\frac{- 10}{4 {(\frac{15 - 10}{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.2.4.2

Subtraia $10$ de $15$ .

$\frac{- 10}{4 {(\frac{5}{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.2.5

Aplique a regra do produto a $\frac{5}{3}$ .

$\frac{- 10}{4 \frac{5^{\frac{3}{2}}}{3^{\frac{3}{2}}}}$

Etapa 10.3

Combine $4$ e $\frac{5^{\frac{3}{2}}}{3^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{- 10}{\frac{4 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3^{\frac{3}{2}}}}$

Etapa 10.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- 10 \frac{3^{\frac{3}{2}}}{4 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.5

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.5.1

Fatore $2$ de $- 10$ .

$2 (- 5) \frac{3^{\frac{3}{2}}}{4 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.5.2

Fatore $2$ de $4 \cdot 5^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (- 5) \frac{3^{\frac{3}{2}}}{2 (2 \cdot 5^{\frac{3}{2}})}$

Etapa 10.5.3

Cancele o fator comum.

$2 \cdot - 5 \frac{3^{\frac{3}{2}}}{2 (2 \cdot 5^{\frac{3}{2}})}$

Etapa 10.5.4

Reescreva a expressão.

$- 5 \frac{3^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.6

Combine $- 5$ e $\frac{3^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{- 5 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.7

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{(5) \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.7.2

Mova $5^{1}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$- \frac{3^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}} \cdot 5^{- 1}}$

Etapa 10.8

Multiplique $5^{\frac{3}{2}}$ por $5^{- 1}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.8.1

Mova $5^{- 1}$ .

$- \frac{3^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot (5^{- 1} \cdot 5^{\frac{3}{2}})}$

Etapa 10.8.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{3^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot 5^{- 1 + \frac{3}{2}}}$

Etapa 10.8.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot 5^{- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}$

Etapa 10.8.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot 5^{\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}}}$

Etapa 10.8.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{3^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot 5^{\frac{- 1 \cdot 2 + 3}{2}}}$

Etapa 10.8.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.8.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- \frac{3^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot 5^{\frac{- 2 + 3}{2}}}$

Etapa 10.8.6.2

Some $- 2$ e $3$ .

$- \frac{3^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot 5^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 11

$x = \frac{10}{3}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{10}{3}$ é um máximo local

Etapa 12

Encontre o valor y quando $x = \frac{10}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{10}{3}$ na expressão.

$f (\frac{10}{3}) = (\frac{10}{3}) \sqrt{5 - (\frac{10}{3})}$

Etapa 12.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1

Para escrever $5$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{10}{3}) = \frac{10}{3} \cdot \sqrt{5 \cdot \frac{3}{3} - \frac{10}{3}}$

Etapa 12.2.2

Combine $5$ e $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{10}{3}) = \frac{10}{3} \cdot \sqrt{\frac{5 \cdot 3}{3} - \frac{10}{3}}$

Etapa 12.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{10}{3}) = \frac{10}{3} \cdot \sqrt{\frac{5 \cdot 3 - 10}{3}}$

Etapa 12.2.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.4.1

Multiplique $5$ por $3$ .

$f (\frac{10}{3}) = \frac{10}{3} \cdot \sqrt{\frac{15 - 10}{3}}$

Etapa 12.2.4.2

Subtraia $10$ de $15$ .

$f (\frac{10}{3}) = \frac{10}{3} \cdot \sqrt{\frac{5}{3}}$

Etapa 12.2.5

Reescreva $\sqrt{\frac{5}{3}}$ como $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}$ .

$f (\frac{10}{3}) = \frac{10}{3} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}$

Etapa 12.2.6

Multiplique $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$f (\frac{10}{3}) = \frac{10}{3} \cdot (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Etapa 12.2.7

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.7.1

Multiplique $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$f (\frac{10}{3}) = \frac{10}{3} \cdot \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Etapa 12.2.7.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$f (\frac{10}{3}) = \frac{10}{3} \cdot \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Etapa 12.2.7.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$f (\frac{10}{3}) = \frac{10}{3} \cdot \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Etapa 12.2.7.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (\frac{10}{3}) = \frac{10}{3} \cdot \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Etapa 12.2.7.5

Some $1$ e $1$ .

$f (\frac{10}{3}) = \frac{10}{3} \cdot \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 12.2.7.6

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.7.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{10}{3}) = \frac{10}{3} \cdot \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 12.2.7.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{10}{3}) = \frac{10}{3} \cdot \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 12.2.7.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\frac{10}{3}) = \frac{10}{3} \cdot \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 12.2.7.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.7.6.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{10}{3}) = \frac{10}{3} \cdot \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 12.2.7.6.4.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{10}{3}) = \frac{10}{3} \cdot \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{3}$

Etapa 12.2.7.6.5

Avalie o expoente.

$f (\frac{10}{3}) = \frac{10}{3} \cdot \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{3}$

Etapa 12.2.8

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.8.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$f (\frac{10}{3}) = \frac{10}{3} \cdot \frac{\sqrt{5 \cdot 3}}{3}$

Etapa 12.2.8.2

Multiplique $5$ por $3$ .

$f (\frac{10}{3}) = \frac{10}{3} \cdot \frac{\sqrt{15}}{3}$

Etapa 12.2.9

Multiplique $\frac{10}{3} \cdot \frac{\sqrt{15}}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.9.1

Multiplique $\frac{10}{3}$ por $\frac{\sqrt{15}}{3}$ .

$f (\frac{10}{3}) = \frac{10 \sqrt{15}}{3 \cdot 3}$

Etapa 12.2.9.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$f (\frac{10}{3}) = \frac{10 \sqrt{15}}{9}$

Etapa 12.2.10

A resposta final é $\frac{10 \sqrt{15}}{9}$ .

$y = \frac{10 \sqrt{15}}{9}$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada em $x = 5$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{3 (5) - 20}{4 {(5 - (5))}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 14

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1.1

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$\frac{3 (5) - 20}{4 {(5 - 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 14.1.2

Subtraia $5$ de $5$ .

$\frac{3 (5) - 20}{4 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 14.1.3

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$\frac{3 (5) - 20}{4 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 14.1.4

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 (5) - 20}{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Etapa 14.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (5) - 20}{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Etapa 14.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{3 (5) - 20}{4 \cdot 0^{3}}$

Etapa 14.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{3 (5) - 20}{4 \cdot 0}$

Etapa 14.3.2

Multiplique $4$ por $0$ .

$\frac{3 (5) - 20}{0}$

Etapa 14.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{3 (5) - 20}{0}$

Etapa 14.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 15

Como o teste da primeira derivada falhou, não há um extremo local.

Nenhum extremo local

Etapa 16