Álgebra Exemplos

$f (y) = \frac{2 y^{3} - y^{2} + 2 y - 1}{y^{3} - y^{2} + y - 1}$ , $g (y) = \frac{2 y^{2} - 3 y + 1}{4 y^{2} - 4 y + 1}$

Etapa 1

Substitua os designadores de função pelas funções reais em $f (y) \cdot (g (y))$ .

$(\frac{2 y^{3} - y^{2} + 2 y - 1}{y^{3} - y^{2} + y - 1}) \cdot (\frac{2 y^{2} - 3 y + 1}{4 y^{2} - 4 y + 1})$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.1.1

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 2.1.1.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{(2 y^{3} - y^{2}) + 2 y - 1}{y^{3} - y^{2} + y - 1} \cdot \frac{2 y^{2} - 3 y + 1}{4 y^{2} - 4 y + 1}$

Etapa 2.1.1.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{y^{2} (2 y - 1) + 1 (2 y - 1)}{y^{3} - y^{2} + y - 1} \cdot \frac{2 y^{2} - 3 y + 1}{4 y^{2} - 4 y + 1}$

Etapa 2.1.2

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 y - 1$ .

$\frac{(2 y - 1) (y^{2} + 1)}{y^{3} - y^{2} + y - 1} \cdot \frac{2 y^{2} - 3 y + 1}{4 y^{2} - 4 y + 1}$

Etapa 2.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 2.2.1

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 2.2.1.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{(2 y - 1) (y^{2} + 1)}{(y^{3} - y^{2}) + y - 1} \cdot \frac{2 y^{2} - 3 y + 1}{4 y^{2} - 4 y + 1}$

Etapa 2.2.1.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{(2 y - 1) (y^{2} + 1)}{y^{2} (y - 1) + 1 (y - 1)} \cdot \frac{2 y^{2} - 3 y + 1}{4 y^{2} - 4 y + 1}$

Etapa 2.2.2

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $y - 1$ .

$\frac{(2 y - 1) (y^{2} + 1)}{(y - 1) (y^{2} + 1)} \cdot \frac{2 y^{2} - 3 y + 1}{4 y^{2} - 4 y + 1}$

Etapa 2.3

Fatore por agrupamento.

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Etapa 2.3.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot 1 = 2$ e cuja soma é $b = - 3$ .

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Etapa 2.3.1.1

Fatore $- 3$ de $- 3 y$ .

$\frac{(2 y - 1) (y^{2} + 1)}{(y - 1) (y^{2} + 1)} \cdot \frac{2 y^{2} - 3 (y) + 1}{4 y^{2} - 4 y + 1}$

Etapa 2.3.1.2

Reescreva $- 3$ como $- 1$ mais $- 2$

$\frac{(2 y - 1) (y^{2} + 1)}{(y - 1) (y^{2} + 1)} \cdot \frac{2 y^{2} + (- 1 - 2) y + 1}{4 y^{2} - 4 y + 1}$

Etapa 2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(2 y - 1) (y^{2} + 1)}{(y - 1) (y^{2} + 1)} \cdot \frac{2 y^{2} - 1 y - 2 y + 1}{4 y^{2} - 4 y + 1}$

Etapa 2.3.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 2.3.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{(2 y - 1) (y^{2} + 1)}{(y - 1) (y^{2} + 1)} \cdot \frac{(2 y^{2} - 1 y) - 2 y + 1}{4 y^{2} - 4 y + 1}$

Etapa 2.3.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{(2 y - 1) (y^{2} + 1)}{(y - 1) (y^{2} + 1)} \cdot \frac{y (2 y - 1) - (2 y - 1)}{4 y^{2} - 4 y + 1}$

Etapa 2.3.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 y - 1$ .

$\frac{(2 y - 1) (y^{2} + 1)}{(y - 1) (y^{2} + 1)} \cdot \frac{(2 y - 1) (y - 1)}{4 y^{2} - 4 y + 1}$

Etapa 2.4

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 2.4.1

Reescreva $4 y^{2}$ como ${(2 y)}^{2}$ .

$\frac{(2 y - 1) (y^{2} + 1)}{(y - 1) (y^{2} + 1)} \cdot \frac{(2 y - 1) (y - 1)}{{(2 y)}^{2} - 4 y + 1}$

Etapa 2.4.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{(2 y - 1) (y^{2} + 1)}{(y - 1) (y^{2} + 1)} \cdot \frac{(2 y - 1) (y - 1)}{{(2 y)}^{2} - 4 y + 1^{2}}$

Etapa 2.4.3

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$4 y = 2 \cdot (2 y) \cdot 1$

Etapa 2.4.4

Reescreva o polinômio.

$\frac{(2 y - 1) (y^{2} + 1)}{(y - 1) (y^{2} + 1)} \cdot \frac{(2 y - 1) (y - 1)}{{(2 y)}^{2} - 2 \cdot (2 y) \cdot 1 + 1^{2}}$

Etapa 2.4.5

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = 2 y$ e $b = 1$ .

$\frac{(2 y - 1) (y^{2} + 1)}{(y - 1) (y^{2} + 1)} \cdot \frac{(2 y - 1) (y - 1)}{{(2 y - 1)}^{2}}$

Etapa 2.5

Simplifique os termos.

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Etapa 2.5.1

Combine.

$\frac{(2 y - 1) (y^{2} + 1) ((2 y - 1) (y - 1))}{(y - 1) (y^{2} + 1) {(2 y - 1)}^{2}}$

Etapa 2.5.2

Cancele o fator comum de $2 y - 1$ e ${(2 y - 1)}^{2}$ .

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Etapa 2.5.2.1

Fatore $2 y - 1$ de $(2 y - 1) (y^{2} + 1) ((2 y - 1) (y - 1))$ .

$\frac{(2 y - 1) ((y^{2} + 1) ((2 y - 1) (y - 1)))}{(y - 1) (y^{2} + 1) {(2 y - 1)}^{2}}$

Etapa 2.5.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.5.2.2.1

Fatore $2 y - 1$ de $(y - 1) (y^{2} + 1) {(2 y - 1)}^{2}$ .

$\frac{(2 y - 1) ((y^{2} + 1) ((2 y - 1) (y - 1)))}{(2 y - 1) ((y - 1) (y^{2} + 1) (2 y - 1))}$

Etapa 2.5.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{(2 y - 1) ((y^{2} + 1) ((2 y - 1) (y - 1)))}{(2 y - 1) ((y - 1) (y^{2} + 1) (2 y - 1))}$

Etapa 2.5.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{(y^{2} + 1) ((2 y - 1) (y - 1))}{(y - 1) (y^{2} + 1) (2 y - 1)}$

Etapa 2.5.3

Cancele o fator comum de $y^{2} + 1$ .

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Etapa 2.5.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(y^{2} + 1) ((2 y - 1) (y - 1))}{(y - 1) (y^{2} + 1) (2 y - 1)}$

Etapa 2.5.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(2 y - 1) (y - 1)}{(y - 1) (2 y - 1)}$

Etapa 2.5.4

Cancele o fator comum de $2 y - 1$ .

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Etapa 2.5.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(2 y - 1) (y - 1)}{(y - 1) (2 y - 1)}$

Etapa 2.5.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y - 1}{y - 1}$

Etapa 2.5.5

Cancele o fator comum de $y - 1$ .

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Etapa 2.5.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y - 1}{y - 1}$

Etapa 2.5.5.2

Reescreva a expressão.

$1$