Álgebra Exemplos

$y = \frac{1}{x}$ , $[5, 12]$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

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Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$\frac{1}{x} = 0$

Etapa 1.2

Resolva $\frac{1}{x} = 0$ para $x$ .

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Etapa 1.2.1

Defina o numerador como igual a zero.

$1 = 0$

Etapa 1.2.2

Como $1 \neq 0$ , não há soluções.

Nenhuma solução

Etapa 2

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{5}^{12} \frac{1}{x} d x - \int_{5}^{12} 0 d x$

Etapa 3

Integre para encontrar a área entre $5$ e $12$ .

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Etapa 3.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{5}^{12} \frac{1}{x} - (0) d x$

Etapa 3.2

Subtraia $0$ de $\frac{1}{x}$ .

$\int_{5}^{12} \frac{1}{x} d x$

Etapa 3.3

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |)]_{5}^{12}$

Etapa 3.4

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.4.1

Avalie $\ln (| x |)$ em $12$ e em $5$ .

$\ln (| 12 |) - \ln (| 5 |)$

Etapa 3.4.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 12 |}{| 5 |})$

Etapa 3.4.3

Simplifique.

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Etapa 3.4.3.1

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $12$ é $12$ .

$\ln (\frac{12}{| 5 |})$

Etapa 3.4.3.2

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $5$ é $5$ .

$\ln (\frac{12}{5})$

Etapa 4