Álgebra Exemplos

$f (x) = {(x^{2} + 6)}^{4}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = x^{2} + 6$ .

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Etapa 1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 6$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{4}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 6)$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f' (x) = 4 u^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} + 6)$

Etapa 1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 6$ .

$f' (x) = 4 {(x^{2} + 6)}^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} + 6)$

Etapa 1.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$f' (x) = 4 {(x^{2} + 6)}^{3} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (6))$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = 4 {(x^{2} + 6)}^{3} (2 x + \frac{d}{d x} (6))$

Etapa 1.2.3

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = 4 {(x^{2} + 6)}^{3} (2 x + 0)$

Etapa 1.2.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.2.4.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = 4 {(x^{2} + 6)}^{3} (2 x)$

Etapa 1.2.4.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$f' (x) = 8 {(x^{2} + 6)}^{3} x$

Etapa 1.2.4.3

Reordene os fatores de $8 {(x^{2} + 6)}^{3} x$ .

$f' (x) = 8 x {(x^{2} + 6)}^{3}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x {(x^{2} + 6)}^{3}$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 6)}^{3}]$ .

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 6)}^{3})$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = {(x^{2} + 6)}^{3}$ .

$f'' (x) = 8 (x \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 6)}^{3}) + {(x^{2} + 6)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x^{2} + 6$ .

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Etapa 2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 6$ .

$f'' (x) = 8 (x (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 6)) + {(x^{2} + 6)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = 8 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 6)) + {(x^{2} + 6)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 6$ .

$f'' (x) = 8 (x (3 {(x^{2} + 6)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 6)) + {(x^{2} + 6)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.4

Diferencie.

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Etapa 2.4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$f'' (x) = 8 (x (3 {(x^{2} + 6)}^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (6))) + {(x^{2} + 6)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 8 (x (3 {(x^{2} + 6)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (6))) + {(x^{2} + 6)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.4.3

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 8 (x (3 {(x^{2} + 6)}^{2} (2 x + 0)) + {(x^{2} + 6)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.4.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.4.4.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = 8 (x (3 {(x^{2} + 6)}^{2} (2 x)) + {(x^{2} + 6)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.4.4.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$f'' (x) = 8 (x (6 {(x^{2} + 6)}^{2} x) + {(x^{2} + 6)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = 8 (x \cdot x (6 {(x^{2} + 6)}^{2}) + {(x^{2} + 6)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.6

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = 8 (x \cdot x (6 {(x^{2} + 6)}^{2}) + {(x^{2} + 6)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = 8 (x^{1 + 1} (6 {(x^{2} + 6)}^{2}) + {(x^{2} + 6)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.8

Some $1$ e $1$ .

$f'' (x) = 8 (x^{2} (6 {(x^{2} + 6)}^{2}) + {(x^{2} + 6)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 8 (x^{2} (6 {(x^{2} + 6)}^{2}) + {(x^{2} + 6)}^{3} \cdot 1)$

Etapa 2.10

Multiplique ${(x^{2} + 6)}^{3}$ por $1$ .

$f'' (x) = 8 (x^{2} (6 {(x^{2} + 6)}^{2}) + {(x^{2} + 6)}^{3})$

Etapa 2.11

Simplifique.

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Etapa 2.11.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = 8 (x^{2} (6 {(x^{2} + 6)}^{2})) + 8 {(x^{2} + 6)}^{3}$

Etapa 2.11.2

Multiplique $6$ por $8$ .

$f'' (x) = 48 (x^{2} ({(x^{2} + 6)}^{2})) + 8 {(x^{2} + 6)}^{3}$

Etapa 2.11.3

Fatore $8 {(x^{2} + 6)}^{2}$ de $48 x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2} + 8 {(x^{2} + 6)}^{3}$ .

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Etapa 2.11.3.1

Fatore $8 {(x^{2} + 6)}^{2}$ de $48 x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2}$ .

$f'' (x) = 8 {(x^{2} + 6)}^{2} (6 x^{2}) + 8 {(x^{2} + 6)}^{3}$

Etapa 2.11.3.2

Fatore $8 {(x^{2} + 6)}^{2}$ de $8 {(x^{2} + 6)}^{3}$ .

$f'' (x) = 8 {(x^{2} + 6)}^{2} (6 x^{2}) + 8 {(x^{2} + 6)}^{2} (x^{2} + 6)$

Etapa 2.11.3.3

Fatore $8 {(x^{2} + 6)}^{2}$ de $8 {(x^{2} + 6)}^{2} (6 x^{2}) + 8 {(x^{2} + 6)}^{2} (x^{2} + 6)$ .

$f'' (x) = 8 {(x^{2} + 6)}^{2} (6 x^{2} + x^{2} + 6)$

Etapa 2.11.4

Some $6 x^{2}$ e $x^{2}$ .

$f'' (x) = 8 {(x^{2} + 6)}^{2} (7 x^{2} + 6)$

Etapa 2.11.5

Reescreva ${(x^{2} + 6)}^{2}$ como $(x^{2} + 6) (x^{2} + 6)$ .

$f'' (x) = 8 ((x^{2} + 6) (x^{2} + 6)) (7 x^{2} + 6)$

Etapa 2.11.6

Expanda $(x^{2} + 6) (x^{2} + 6)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.11.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = 8 (x^{2} (x^{2} + 6) + 6 (x^{2} + 6)) (7 x^{2} + 6)$

Etapa 2.11.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = 8 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 6 + 6 (x^{2} + 6)) (7 x^{2} + 6)$

Etapa 2.11.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = 8 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 6 + 6 x^{2} + 6 \cdot 6) (7 x^{2} + 6)$

Etapa 2.11.7

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.11.7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.11.7.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.11.7.1.1.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = 8 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 6 + 6 x^{2} + 6 \cdot 6) (7 x^{2} + 6)$

Etapa 2.11.7.1.1.2

Some $2$ e $2$ .

$f'' (x) = 8 (x^{4} + x^{2} \cdot 6 + 6 x^{2} + 6 \cdot 6) (7 x^{2} + 6)$

Etapa 2.11.7.1.2

Mova $6$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$f'' (x) = 8 (x^{4} + 6 \cdot x^{2} + 6 x^{2} + 6 \cdot 6) (7 x^{2} + 6)$

Etapa 2.11.7.1.3

Multiplique $6$ por $6$ .

$f'' (x) = 8 (x^{4} + 6 x^{2} + 6 x^{2} + 36) (7 x^{2} + 6)$

Etapa 2.11.7.2

Some $6 x^{2}$ e $6 x^{2}$ .

$f'' (x) = 8 (x^{4} + 12 x^{2} + 36) (7 x^{2} + 6)$

Etapa 2.11.8

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = (8 x^{4} + 8 (12 x^{2}) + 8 \cdot 36) (7 x^{2} + 6)$

Etapa 2.11.9

Simplifique.

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Etapa 2.11.9.1

Multiplique $12$ por $8$ .

$f'' (x) = (8 x^{4} + 96 x^{2} + 8 \cdot 36) (7 x^{2} + 6)$

Etapa 2.11.9.2

Multiplique $8$ por $36$ .

$f'' (x) = (8 x^{4} + 96 x^{2} + 288) (7 x^{2} + 6)$

Etapa 2.11.10

Expanda $(8 x^{4} + 96 x^{2} + 288) (7 x^{2} + 6)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$f'' (x) = 8 x^{4} (7 x^{2}) + 8 x^{4} \cdot 6 + 96 x^{2} (7 x^{2}) + 96 x^{2} \cdot 6 + 288 (7 x^{2}) + 288 \cdot 6$

Etapa 2.11.11

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.11.11.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = 8 \cdot (7 x^{4} x^{2}) + 8 x^{4} \cdot 6 + 96 x^{2} (7 x^{2}) + 96 x^{2} \cdot 6 + 288 (7 x^{2}) + 288 \cdot 6$

Etapa 2.11.11.2

Multiplique $x^{4}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.11.11.2.1

Mova $x^{2}$ .

$f'' (x) = 8 \cdot (7 (x^{2} x^{4})) + 8 x^{4} \cdot 6 + 96 x^{2} (7 x^{2}) + 96 x^{2} \cdot 6 + 288 (7 x^{2}) + 288 \cdot 6$

Etapa 2.11.11.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = 8 \cdot (7 x^{2 + 4}) + 8 x^{4} \cdot 6 + 96 x^{2} (7 x^{2}) + 96 x^{2} \cdot 6 + 288 (7 x^{2}) + 288 \cdot 6$

Etapa 2.11.11.2.3

Some $2$ e $4$ .

$f'' (x) = 8 \cdot (7 x^{6}) + 8 x^{4} \cdot 6 + 96 x^{2} (7 x^{2}) + 96 x^{2} \cdot 6 + 288 (7 x^{2}) + 288 \cdot 6$

Etapa 2.11.11.3

Multiplique $8$ por $7$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} + 8 x^{4} \cdot 6 + 96 x^{2} (7 x^{2}) + 96 x^{2} \cdot 6 + 288 (7 x^{2}) + 288 \cdot 6$

Etapa 2.11.11.4

Multiplique $6$ por $8$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} + 48 x^{4} + 96 x^{2} (7 x^{2}) + 96 x^{2} \cdot 6 + 288 (7 x^{2}) + 288 \cdot 6$

Etapa 2.11.11.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = 56 x^{6} + 48 x^{4} + 96 \cdot (7 x^{2} x^{2}) + 96 x^{2} \cdot 6 + 288 (7 x^{2}) + 288 \cdot 6$

Etapa 2.11.11.6

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.11.11.6.1

Mova $x^{2}$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} + 48 x^{4} + 96 \cdot (7 (x^{2} x^{2})) + 96 x^{2} \cdot 6 + 288 (7 x^{2}) + 288 \cdot 6$

Etapa 2.11.11.6.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = 56 x^{6} + 48 x^{4} + 96 \cdot (7 x^{2 + 2}) + 96 x^{2} \cdot 6 + 288 (7 x^{2}) + 288 \cdot 6$

Etapa 2.11.11.6.3

Some $2$ e $2$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} + 48 x^{4} + 96 \cdot (7 x^{4}) + 96 x^{2} \cdot 6 + 288 (7 x^{2}) + 288 \cdot 6$

Etapa 2.11.11.7

Multiplique $96$ por $7$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} + 48 x^{4} + 672 x^{4} + 96 x^{2} \cdot 6 + 288 (7 x^{2}) + 288 \cdot 6$

Etapa 2.11.11.8

Multiplique $6$ por $96$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} + 48 x^{4} + 672 x^{4} + 576 x^{2} + 288 (7 x^{2}) + 288 \cdot 6$

Etapa 2.11.11.9

Multiplique $7$ por $288$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} + 48 x^{4} + 672 x^{4} + 576 x^{2} + 2016 x^{2} + 288 \cdot 6$

Etapa 2.11.11.10

Multiplique $288$ por $6$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} + 48 x^{4} + 672 x^{4} + 576 x^{2} + 2016 x^{2} + 1728$

Etapa 2.11.12

Some $48 x^{4}$ e $672 x^{4}$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} + 720 x^{4} + 576 x^{2} + 2016 x^{2} + 1728$

Etapa 2.11.13

Some $576 x^{2}$ e $2016 x^{2}$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} + 720 x^{4} + 2592 x^{2} + 1728$

Etapa 3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $56 x^{6} + 720 x^{4} + 2592 x^{2} + 1728$ .

$56 x^{6} + 720 x^{4} + 2592 x^{2} + 1728$