Álgebra Exemplos

$(- 3, \frac{343}{64})$

Etapa 1

Para encontrar uma função exponencial, $f (x) = a^{x}$ , que contenha o ponto, defina $f (x)$ na função para o valor $y$ $\frac{343}{64}$ do ponto. Depois, defina $x$ para o valor $x$ $- 3$ do ponto.

$\frac{343}{64} = a^{- 3}$

Etapa 2

Resolva a equação para $a$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Reescreva a equação como $a^{- 3} = \frac{343}{64}$ .

$a^{- 3} = \frac{343}{64}$

Etapa 2.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{a^{3}} = \frac{343}{64}$

Etapa 2.3

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$a^{3}, 64$

Etapa 2.3.2

Since $a^{3}, 64$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 64$ then find LCM for the variable part $a^{3}$ .

Etapa 2.3.3

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 2.3.4

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 2.3.5

Os fatores primos de $64$ são $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.1

$64$ tem fatores de $2$ e $32$ .

$2 \cdot 32$

Etapa 2.3.5.2

$32$ tem fatores de $2$ e $16$ .

$2 \cdot 2 \cdot 16$

Etapa 2.3.5.3

$16$ tem fatores de $2$ e $8$ .

$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 8$

Etapa 2.3.5.4

$8$ tem fatores de $2$ e $4$ .

$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 4$

Etapa 2.3.5.5

$4$ tem fatores de $2$ e $2$ .

$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$

Etapa 2.3.6

Multiplique $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.6.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$

Etapa 2.3.6.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$8 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$

Etapa 2.3.6.3

Multiplique $8$ por $2$ .

$16 \cdot 2 \cdot 2$

Etapa 2.3.6.4

Multiplique $16$ por $2$ .

$32 \cdot 2$

Etapa 2.3.6.5

Multiplique $32$ por $2$ .

$64$

Etapa 2.3.7

Os fatores para $a^{3}$ são $a \cdot a \cdot a$ , que é $a$ multiplicado um pelo outro $3$ vezes.

$a^{3} = a \cdot a \cdot a$

$a$ ocorre $3$ vezes.

Etapa 2.3.8

O MMC de $a^{3}$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$a \cdot a \cdot a$

Etapa 2.3.9

Simplifique $a \cdot a \cdot a$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.9.1

Multiplique $a$ por $a$ .

$a^{2} \cdot a$

Etapa 2.3.9.2

Multiplique $a^{2}$ por $a$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.9.2.1

Multiplique $a^{2}$ por $a$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.9.2.1.1

Eleve $a$ à potência de $1$ .

$a^{2} \cdot a^{1}$

Etapa 2.3.9.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$a^{2 + 1}$

Etapa 2.3.9.2.2

Some $2$ e $1$ .

$a^{3}$

Etapa 2.3.10

O MMC de $a^{3}, 64$ é a parte numérica $64$ multiplicada pela parte variável.

$64 a^{3}$

Etapa 2.4

Multiplique cada termo em $\frac{1}{a^{3}} = \frac{343}{64}$ por $64 a^{3}$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Multiplique cada termo em $\frac{1}{a^{3}} = \frac{343}{64}$ por $64 a^{3}$ .

$\frac{1}{a^{3}} (64 a^{3}) = \frac{343}{64} (64 a^{3})$

Etapa 2.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$64 \frac{1}{a^{3}} a^{3} = \frac{343}{64} (64 a^{3})$

Etapa 2.4.2.2

Combine $64$ e $\frac{1}{a^{3}}$ .

$\frac{64}{a^{3}} a^{3} = \frac{343}{64} (64 a^{3})$

Etapa 2.4.2.3

Cancele o fator comum de $a^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{64}{a^{3}} a^{3} = \frac{343}{64} (64 a^{3})$

Etapa 2.4.2.3.2

Reescreva a expressão.

$64 = \frac{343}{64} (64 a^{3})$

Etapa 2.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.1

Cancele o fator comum de $64$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.1.1

Fatore $64$ de $64 a^{3}$ .

$64 = \frac{343}{64} (64 (a^{3}))$

Etapa 2.4.3.1.2

Cancele o fator comum.

$64 = \frac{343}{64} (64 a^{3})$

Etapa 2.4.3.1.3

Reescreva a expressão.

$64 = 343 a^{3}$

Etapa 2.5

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Reescreva a equação como $343 a^{3} = 64$ .

$343 a^{3} = 64$

Etapa 2.5.2

Subtraia $64$ dos dois lados da equação.

$343 a^{3} - 64 = 0$

Etapa 2.5.3

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1

Reescreva $343 a^{3}$ como ${(7 a)}^{3}$ .

${(7 a)}^{3} - 64 = 0$

Etapa 2.5.3.2

Reescreva $64$ como $4^{3}$ .

${(7 a)}^{3} - 4^{3} = 0$

Etapa 2.5.3.3

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ em que $a = 7 a$ e $b = 4$ .

$(7 a - 4) ({(7 a)}^{2} + 7 a \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Etapa 2.5.3.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.4.1

Aplique a regra do produto a $7 a$ .

$(7 a - 4) (7^{2} a^{2} + 7 a \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Etapa 2.5.3.4.2

Eleve $7$ à potência de $2$ .

$(7 a - 4) (49 a^{2} + 7 a \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Etapa 2.5.3.4.3

Multiplique $4$ por $7$ .

$(7 a - 4) (49 a^{2} + 28 a + 4^{2}) = 0$

Etapa 2.5.3.4.4

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$(7 a - 4) (49 a^{2} + 28 a + 16) = 0$

Etapa 2.5.4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$7 a - 4 = 0$

$49 a^{2} + 28 a + 16 = 0$

Etapa 2.5.5

Defina $7 a - 4$ como igual a $0$ e resolva para $a$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.5.1

Defina $7 a - 4$ como igual a $0$ .

$7 a - 4 = 0$

Etapa 2.5.5.2

Resolva $7 a - 4 = 0$ para $a$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.5.2.1

Some $4$ aos dois lados da equação.

$7 a = 4$

Etapa 2.5.5.2.2

Divida cada termo em $7 a = 4$ por $7$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.5.2.2.1

Divida cada termo em $7 a = 4$ por $7$ .

$\frac{7 a}{7} = \frac{4}{7}$

Etapa 2.5.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{7 a}{7} = \frac{4}{7}$

Etapa 2.5.5.2.2.2.1.2

Divida $a$ por $1$ .

$a = \frac{4}{7}$

Etapa 2.5.6

Defina $49 a^{2} + 28 a + 16$ como igual a $0$ e resolva para $a$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.6.1

Defina $49 a^{2} + 28 a + 16$ como igual a $0$ .

$49 a^{2} + 28 a + 16 = 0$

Etapa 2.5.6.2

Resolva $49 a^{2} + 28 a + 16 = 0$ para $a$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.6.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 2.5.6.2.2

Substitua os valores $a = 49$ , $b = 28$ e $c = 16$ na fórmula quadrática e resolva $a$ .

$\frac{- 28 \pm \sqrt{28^{2} - 4 \cdot (49 \cdot 16)}}{2 \cdot 49}$

Etapa 2.5.6.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.6.2.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.6.2.3.1.1

Eleve $28$ à potência de $2$ .

$a = \frac{- 28 \pm \sqrt{784 - 4 \cdot 49 \cdot 16}}{2 \cdot 49}$

Etapa 2.5.6.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 49 \cdot 16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.6.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $49$ .

$a = \frac{- 28 \pm \sqrt{784 - 196 \cdot 16}}{2 \cdot 49}$

Etapa 2.5.6.2.3.1.2.2

Multiplique $- 196$ por $16$ .

$a = \frac{- 28 \pm \sqrt{784 - 3136}}{2 \cdot 49}$

Etapa 2.5.6.2.3.1.3

Subtraia $3136$ de $784$ .

$a = \frac{- 28 \pm \sqrt{- 2352}}{2 \cdot 49}$

Etapa 2.5.6.2.3.1.4

Reescreva $- 2352$ como $- 1 (2352)$ .

$a = \frac{- 28 \pm \sqrt{- 1 \cdot 2352}}{2 \cdot 49}$

Etapa 2.5.6.2.3.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (2352)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2352}$ .

$a = \frac{- 28 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2352}}{2 \cdot 49}$

Etapa 2.5.6.2.3.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$a = \frac{- 28 \pm i \cdot \sqrt{2352}}{2 \cdot 49}$

Etapa 2.5.6.2.3.1.7

Reescreva $2352$ como $28^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.6.2.3.1.7.1

Fatore $784$ de $2352$ .

$a = \frac{- 28 \pm i \cdot \sqrt{784 (3)}}{2 \cdot 49}$

Etapa 2.5.6.2.3.1.7.2

Reescreva $784$ como $28^{2}$ .

$a = \frac{- 28 \pm i \cdot \sqrt{28^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 49}$

Etapa 2.5.6.2.3.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$a = \frac{- 28 \pm i \cdot (28 \sqrt{3})}{2 \cdot 49}$

Etapa 2.5.6.2.3.1.9

Mova $28$ para a esquerda de $i$ .

$a = \frac{- 28 \pm 28 i \sqrt{3}}{2 \cdot 49}$

Etapa 2.5.6.2.3.2

Multiplique $2$ por $49$ .

$a = \frac{- 28 \pm 28 i \sqrt{3}}{98}$

Etapa 2.5.6.2.3.3

Simplifique $\frac{- 28 \pm 28 i \sqrt{3}}{98}$ .

$a = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{7}$

Etapa 2.5.6.2.4

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.6.2.4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.6.2.4.1.1

Eleve $28$ à potência de $2$ .

$a = \frac{- 28 \pm \sqrt{784 - 4 \cdot 49 \cdot 16}}{2 \cdot 49}$

Etapa 2.5.6.2.4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 49 \cdot 16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.6.2.4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $49$ .

$a = \frac{- 28 \pm \sqrt{784 - 196 \cdot 16}}{2 \cdot 49}$

Etapa 2.5.6.2.4.1.2.2

Multiplique $- 196$ por $16$ .

$a = \frac{- 28 \pm \sqrt{784 - 3136}}{2 \cdot 49}$

Etapa 2.5.6.2.4.1.3

Subtraia $3136$ de $784$ .

$a = \frac{- 28 \pm \sqrt{- 2352}}{2 \cdot 49}$

Etapa 2.5.6.2.4.1.4

Reescreva $- 2352$ como $- 1 (2352)$ .

$a = \frac{- 28 \pm \sqrt{- 1 \cdot 2352}}{2 \cdot 49}$

Etapa 2.5.6.2.4.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (2352)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2352}$ .

$a = \frac{- 28 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2352}}{2 \cdot 49}$

Etapa 2.5.6.2.4.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$a = \frac{- 28 \pm i \cdot \sqrt{2352}}{2 \cdot 49}$

Etapa 2.5.6.2.4.1.7

Reescreva $2352$ como $28^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.6.2.4.1.7.1

Fatore $784$ de $2352$ .

$a = \frac{- 28 \pm i \cdot \sqrt{784 (3)}}{2 \cdot 49}$

Etapa 2.5.6.2.4.1.7.2

Reescreva $784$ como $28^{2}$ .

$a = \frac{- 28 \pm i \cdot \sqrt{28^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 49}$

Etapa 2.5.6.2.4.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$a = \frac{- 28 \pm i \cdot (28 \sqrt{3})}{2 \cdot 49}$

Etapa 2.5.6.2.4.1.9

Mova $28$ para a esquerda de $i$ .

$a = \frac{- 28 \pm 28 i \sqrt{3}}{2 \cdot 49}$

Etapa 2.5.6.2.4.2

Multiplique $2$ por $49$ .

$a = \frac{- 28 \pm 28 i \sqrt{3}}{98}$

Etapa 2.5.6.2.4.3

Simplifique $\frac{- 28 \pm 28 i \sqrt{3}}{98}$ .

$a = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{7}$

Etapa 2.5.6.2.4.4

Altere $\pm$ para $+$ .

$a = \frac{- 2 + 2 i \sqrt{3}}{7}$

Etapa 2.5.6.2.4.5

Reescreva $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$a = \frac{- 1 \cdot 2 + 2 i \sqrt{3}}{7}$

Etapa 2.5.6.2.4.6

Fatore $- 1$ de $2 i \sqrt{3}$ .

$a = \frac{- 1 \cdot 2 - (- 2 i \sqrt{3})}{7}$

Etapa 2.5.6.2.4.7

Fatore $- 1$ de $- 1 (2) - (- 2 i \sqrt{3})$ .

$a = \frac{- 1 (2 - 2 i \sqrt{3})}{7}$

Etapa 2.5.6.2.4.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$a = - \frac{2 - 2 i \sqrt{3}}{7}$

Etapa 2.5.6.2.5

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.6.2.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.6.2.5.1.1

Eleve $28$ à potência de $2$ .

$a = \frac{- 28 \pm \sqrt{784 - 4 \cdot 49 \cdot 16}}{2 \cdot 49}$

Etapa 2.5.6.2.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 49 \cdot 16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.6.2.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $49$ .

$a = \frac{- 28 \pm \sqrt{784 - 196 \cdot 16}}{2 \cdot 49}$

Etapa 2.5.6.2.5.1.2.2

Multiplique $- 196$ por $16$ .

$a = \frac{- 28 \pm \sqrt{784 - 3136}}{2 \cdot 49}$

Etapa 2.5.6.2.5.1.3

Subtraia $3136$ de $784$ .

$a = \frac{- 28 \pm \sqrt{- 2352}}{2 \cdot 49}$

Etapa 2.5.6.2.5.1.4

Reescreva $- 2352$ como $- 1 (2352)$ .

$a = \frac{- 28 \pm \sqrt{- 1 \cdot 2352}}{2 \cdot 49}$

Etapa 2.5.6.2.5.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (2352)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2352}$ .

$a = \frac{- 28 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2352}}{2 \cdot 49}$

Etapa 2.5.6.2.5.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$a = \frac{- 28 \pm i \cdot \sqrt{2352}}{2 \cdot 49}$

Etapa 2.5.6.2.5.1.7

Reescreva $2352$ como $28^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.6.2.5.1.7.1

Fatore $784$ de $2352$ .

$a = \frac{- 28 \pm i \cdot \sqrt{784 (3)}}{2 \cdot 49}$

Etapa 2.5.6.2.5.1.7.2

Reescreva $784$ como $28^{2}$ .

$a = \frac{- 28 \pm i \cdot \sqrt{28^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 49}$

Etapa 2.5.6.2.5.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$a = \frac{- 28 \pm i \cdot (28 \sqrt{3})}{2 \cdot 49}$

Etapa 2.5.6.2.5.1.9

Mova $28$ para a esquerda de $i$ .

$a = \frac{- 28 \pm 28 i \sqrt{3}}{2 \cdot 49}$

Etapa 2.5.6.2.5.2

Multiplique $2$ por $49$ .

$a = \frac{- 28 \pm 28 i \sqrt{3}}{98}$

Etapa 2.5.6.2.5.3

Simplifique $\frac{- 28 \pm 28 i \sqrt{3}}{98}$ .

$a = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{7}$

Etapa 2.5.6.2.5.4

Altere $\pm$ para $-$ .

$a = \frac{- 2 - 2 i \sqrt{3}}{7}$

Etapa 2.5.6.2.5.5

Reescreva $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$a = \frac{- 1 \cdot 2 - 2 i \sqrt{3}}{7}$

Etapa 2.5.6.2.5.6

Fatore $- 1$ de $- 2 i \sqrt{3}$ .

$a = \frac{- 1 \cdot 2 - (2 i \sqrt{3})}{7}$

Etapa 2.5.6.2.5.7

Fatore $- 1$ de $- 1 (2) - (2 i \sqrt{3})$ .

$a = \frac{- 1 (2 + 2 i \sqrt{3})}{7}$

Etapa 2.5.6.2.5.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$a = - \frac{2 + 2 i \sqrt{3}}{7}$

Etapa 2.5.6.2.6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$a = - \frac{2 - 2 i \sqrt{3}}{7}, - \frac{2 + 2 i \sqrt{3}}{7}$

Etapa 2.5.7

A solução final são todos os valores que tornam $(7 a - 4) (49 a^{2} + 28 a + 16) = 0$ verdadeiro.

$a = \frac{4}{7}, - \frac{2 - 2 i \sqrt{3}}{7}, - \frac{2 + 2 i \sqrt{3}}{7}$

Etapa 2.6

Remova todos os valores que contêm componentes imaginários.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

Não existem componentes imaginários. Some $\frac{4}{7}$ à resposta final.

$\frac{4}{7}$ é um número real

Etapa 2.6.2

A letra $i$ representa um componente imaginário e não é um número real. Não some $- \frac{2 - 2 i \sqrt{3}}{7}$ à resposta final.

$- \frac{2 - 2 i \sqrt{3}}{7}$ não é um número real

Etapa 2.6.3

A letra $i$ representa um componente imaginário e não é um número real. Não some $- \frac{2 + 2 i \sqrt{3}}{7}$ à resposta final.

$- \frac{2 + 2 i \sqrt{3}}{7}$ não é um número real

Etapa 2.6.4

A resposta final é a lista de valores que não contêm componentes imaginários.

$a = \frac{4}{7}$

Etapa 3

Substitua cada valor de $a$ de volta na função $f (x) = a^{x}$ para encontrar cada função exponencial possível.

$f (x) = {(\frac{4}{7})}^{x}$