Álgebra Exemplos

$f (x) = - 2 x^{4} + 13 x^{3} - 21 x^{2} + 2 x + 8$

Etapa 1

Reagrupe os termos.

$f (x) = - 2 x^{4} + 2 x + 13 x^{3} - 21 x^{2} + 8$

Etapa 2

Fatore $- 2 x$ de $- 2 x^{4} + 2 x$ .

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Etapa 2.1

Fatore $- 2 x$ de $- 2 x^{4}$ .

$f (x) = - 2 x \cdot x^{3} + 2 x + 13 x^{3} - 21 x^{2} + 8$

Etapa 2.2

Fatore $- 2 x$ de $2 x$ .

$f (x) = - 2 x \cdot x^{3} - 2 x \cdot - 1 + 13 x^{3} - 21 x^{2} + 8$

Etapa 2.3

Fatore $- 2 x$ de $- 2 x (x^{3}) - 2 x (- 1)$ .

$f (x) = - 2 x (x^{3} - 1) + 13 x^{3} - 21 x^{2} + 8$

Etapa 3

Reescreva $1$ como $1^{3}$ .

$f (x) = - 2 x (x^{3} - 1^{3}) + 13 x^{3} - 21 x^{2} + 8$

Etapa 4

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de cubos, $a^{3} - i^{3} = (a - i) (a^{2} + a i + i^{2})$ em que $a = x$ e $i = 1$ .

$f (x) = - 2 x ((x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})) + 13 x^{3} - 21 x^{2} + 8$

Etapa 5

Fatore.

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Etapa 5.1

Simplifique.

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Etapa 5.1.1

Multiplique $x$ por $1$ .

$f (x) = - 2 x ((x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})) + 13 x^{3} - 21 x^{2} + 8$

Etapa 5.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (x) = - 2 x ((x - 1) (x^{2} + x + 1)) + 13 x^{3} - 21 x^{2} + 8$

Etapa 5.2

Remova os parênteses desnecessários.

$f (x) = - 2 x (x - 1) (x^{2} + x + 1) + 13 x^{3} - 21 x^{2} + 8$

Etapa 6

Fatore $13 x^{3} - 21 x^{2} + 8$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 6.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$f (x) = p = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 13$

Etapa 6.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$f (x) = \pm 1, \pm 0.\overline{076923}, \pm 8, \pm 0.\overline{615384}, \pm 2, \pm 0.\overline{153846}, \pm 4, \pm 0.\overline{307692}$

Etapa 6.3

Substitua $1$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $1$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 6.3.1

Substitua $1$ no polinômio.

$f (x) = 13 \cdot 1^{3} - 21 \cdot 1^{2} + 8$

Etapa 6.3.2

Eleve $1$ à potência de $3$ .

$f (x) = 13 \cdot 1 - 21 \cdot 1^{2} + 8$

Etapa 6.3.3

Multiplique $13$ por $1$ .

$f (x) = 13 - 21 \cdot 1^{2} + 8$

Etapa 6.3.4

Eleve $1$ à potência de $2$ .

$f (x) = 13 - 21 \cdot 1 + 8$

Etapa 6.3.5

Multiplique $- 21$ por $1$ .

$f (x) = 13 - 21 + 8$

Etapa 6.3.6

Subtraia $21$ de $13$ .

$f (x) = - 8 + 8$

Etapa 6.3.7

Some $- 8$ e $8$ .

$f (x) = 0$

Etapa 6.4

Como $1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$f (x) = \frac{13 x^{3} - 21 x^{2} + 8}{x - 1}$

Etapa 6.5

Divida $13 x^{3} - 21 x^{2} + 8$ por $x - 1$ .

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Etapa 6.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$f (x) =$

Etapa 6.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $13 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

$f (x) =$

Etapa 6.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$f (x) =$

Etapa 6.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $13 x^{3} - 13 x^{2}$ .

$f (x) =$

Etapa 6.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$f (x) =$

Etapa 6.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$f (x) =$

Etapa 6.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 8 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

$f (x) =$

Etapa 6.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$f (x) =$

Etapa 6.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 8 x^{2} + 8 x$ .

$f (x) =$

Etapa 6.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$f (x) =$

Etapa 6.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$f (x) =$

Etapa 6.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 8 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

$f (x) =$

Etapa 6.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$f (x) =$

Etapa 6.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 8 x + 8$ .

$f (x) =$

Etapa 6.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$f (x) =$

Etapa 6.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$f (x) = 13 x^{2} - 8 x - 8$

Etapa 6.6

Escreva $13 x^{3} - 21 x^{2} + 8$ como um conjunto de fatores.

$f (x) = - 2 x (x - 1) (x^{2} + x + 1) + (x - 1) (13 x^{2} - 8 x - 8)$

Etapa 7

Fatore $x - 1$ de $- 2 x (x - 1) (x^{2} + x + 1) + (x - 1) (13 x^{2} - 8 x - 8)$ .

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Etapa 7.1

Fatore $x - 1$ de $- 2 x (x - 1) (x^{2} + x + 1)$ .

$f (x) = (x - 1) (- 2 x (x^{2} + x + 1)) + (x - 1) (13 x^{2} - 8 x - 8)$

Etapa 7.2

Fatore $x - 1$ de $(x - 1) (- 2 x (x^{2} + x + 1)) + (x - 1) (13 x^{2} - 8 x - 8)$ .

$f (x) = (x - 1) (- 2 x (x^{2} + x + 1) + 13 x^{2} - 8 x - 8)$

Etapa 8

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x) = (x - 1) (- 2 x \cdot x^{2} - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 1 + 13 x^{2} - 8 x - 8)$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 9.1.1

Mova $x^{2}$ .

$f (x) = (x - 1) (- 2 (x^{2} x) - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 1 + 13 x^{2} - 8 x - 8)$

Etapa 9.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 9.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f (x) = (x - 1) (- 2 (x^{2} x) - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 1 + 13 x^{2} - 8 x - 8)$

Etapa 9.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (x) = (x - 1) (- 2 x^{2 + 1} - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 1 + 13 x^{2} - 8 x - 8)$

Etapa 9.1.3

Some $2$ e $1$ .

$f (x) = (x - 1) (- 2 x^{3} - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 1 + 13 x^{2} - 8 x - 8)$

Etapa 9.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 9.2.1

Mova $x$ .

$f (x) = (x - 1) (- 2 x^{3} - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot 1 + 13 x^{2} - 8 x - 8)$

Etapa 9.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f (x) = (x - 1) (- 2 x^{3} - 2 x^{2} - 2 x \cdot 1 + 13 x^{2} - 8 x - 8)$

Etapa 9.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$f (x) = (x - 1) (- 2 x^{3} - 2 x^{2} - 2 x + 13 x^{2} - 8 x - 8)$

Etapa 10

Some $- 2 x^{2}$ e $13 x^{2}$ .

$f (x) = (x - 1) (- 2 x^{3} + 11 x^{2} - 2 x - 8 x - 8)$

Etapa 11

Subtraia $8 x$ de $- 2 x$ .

$f (x) = (x - 1) (- 2 x^{3} + 11 x^{2} - 10 x - 8)$

Etapa 12

Fatore.

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Etapa 12.1

Reescreva $- 2 x^{3} + 11 x^{2} - 10 x - 8$ em uma forma fatorada.

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Etapa 12.1.1

Fatore $- 2 x^{3} + 11 x^{2} - 10 x - 8$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 12.1.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$f (x) = p = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 2$

Etapa 12.1.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$f (x) = \pm 1, \pm 0.5, \pm 8, \pm 4, \pm 2$

Etapa 12.1.1.3

Substitua $- 0.5$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $- 0.5$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 12.1.1.3.1

Substitua $- 0.5$ no polinômio.

$f (x) = - 2 {(- 0.5)}^{3} + 11 {(- 0.5)}^{2} - 10 \cdot - 0.5 - 8$

Etapa 12.1.1.3.2

Eleve $- 0.5$ à potência de $3$ .

$f (x) = - 2 \cdot - 0.125 + 11 {(- 0.5)}^{2} - 10 \cdot - 0.5 - 8$

Etapa 12.1.1.3.3

Multiplique $- 2$ por $- 0.125$ .

$f (x) = 0.25 + 11 {(- 0.5)}^{2} - 10 \cdot - 0.5 - 8$

Etapa 12.1.1.3.4

Eleve $- 0.5$ à potência de $2$ .

$f (x) = 0.25 + 11 \cdot 0.25 - 10 \cdot - 0.5 - 8$

Etapa 12.1.1.3.5

Multiplique $11$ por $0.25$ .

$f (x) = 0.25 + 2.75 - 10 \cdot - 0.5 - 8$

Etapa 12.1.1.3.6

Some $0.25$ e $2.75$ .

$f (x) = 3 - 10 \cdot - 0.5 - 8$

Etapa 12.1.1.3.7

Multiplique $- 10$ por $- 0.5$ .

$f (x) = 3 + 5 - 8$

Etapa 12.1.1.3.8

Some $3$ e $5$ .

$f (x) = 8 - 8$

Etapa 12.1.1.3.9

Subtraia $8$ de $8$ .

$f (x) = 0$

Etapa 12.1.1.4

Como $- 0.5$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $2 x + 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$f (x) = \frac{- 2 x^{3} + 11 x^{2} - 10 x - 8}{2 x + 1}$

Etapa 12.1.1.5

Divida $- 2 x^{3} + 11 x^{2} - 10 x - 8$ por $2 x + 1$ .

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Etapa 12.1.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$f (x) =$

Etapa 12.1.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 2 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 x$ .

$f (x) =$

Etapa 12.1.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$f (x) =$

Etapa 12.1.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 2 x^{3} - x^{2}$ .

$f (x) =$

Etapa 12.1.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$f (x) =$

Etapa 12.1.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$f (x) =$

Etapa 12.1.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $12 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 x$ .

$f (x) =$

Etapa 12.1.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$f (x) =$

Etapa 12.1.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $12 x^{2} + 6 x$ .

$f (x) =$

Etapa 12.1.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$f (x) =$

Etapa 12.1.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$f (x) =$

Etapa 12.1.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 16 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 x$ .

$f (x) =$

Etapa 12.1.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$f (x) =$

Etapa 12.1.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 16 x - 8$ .

$f (x) =$

Etapa 12.1.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$f (x) =$

Etapa 12.1.1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$f (x) = - x^{2} + 6 x - 8$

Etapa 12.1.1.6

Escreva $- 2 x^{3} + 11 x^{2} - 10 x - 8$ como um conjunto de fatores.

$f (x) = (x - 1) ((2 x + 1) (- x^{2} + 6 x - 8))$

Etapa 12.1.2

Fatore por agrupamento.

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Etapa 12.1.2.1

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.2.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + i x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 1 \cdot - 8 = 8$ e cuja soma é $i = 6$ .

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Etapa 12.1.2.1.1.1

Fatore $6$ de $6 x$ .

$f (x) = (x - 1) ((2 x + 1) (- x^{2} + 6 (x) - 8))$

Etapa 12.1.2.1.1.2

Reescreva $6$ como $2$ mais $4$

$f (x) = (x - 1) ((2 x + 1) (- x^{2} + (2 + 4) x - 8))$

Etapa 12.1.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x) = (x - 1) ((2 x + 1) (- x^{2} + 2 x + 4 x - 8))$

Etapa 12.1.2.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 12.1.2.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$f (x) = (x - 1) ((2 x + 1) ((- x^{2} + 2 x) + 4 x - 8))$

Etapa 12.1.2.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$f (x) = (x - 1) ((2 x + 1) (x (- x + 2) - 4 (- x + 2)))$

Etapa 12.1.2.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- x + 2$ .

$f (x) = (x - 1) ((2 x + 1) ((- x + 2) (x - 4)))$

Etapa 12.1.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$f (x) = (x - 1) ((2 x + 1) (- x + 2) (x - 4))$

Etapa 12.2

Remova os parênteses desnecessários.

$f (x) = (x - 1) (2 x + 1) (- x + 2) (x - 4)$