Álgebra Exemplos

$3 x + 6 y + 6 z = 12$ , $- 3 x - 6 y - 6 z = - 12$ , $5 x + 10 y + 10 z = 20$

Etapa 1

Represente o sistema de equações em formato de matriz.

$[\begin{array}{c} 3 & 6 & 6 \\ - 3 & - 6 & - 6 \\ 5 & 10 & 10 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 12 \\ - 12 \\ 20 \end{array}]$

Etapa 2

Encontre o determinante da matriz de coeficientes $[\begin{array}{c} 3 & 6 & 6 \\ - 3 & - 6 & - 6 \\ 5 & 10 & 10 \end{array}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Escreva $[\begin{array}{c} 3 & 6 & 6 \\ - 3 & - 6 & - 6 \\ 5 & 10 & 10 \end{array}]$ na notação de determinante.

$| \begin{array}{c} 3 & 6 & 6 \\ - 3 & - 6 & - 6 \\ 5 & 10 & 10 \end{array} |$

Etapa 2.2

Escolha a linha ou coluna com mais elementos $0$ . Se não houver elementos $0$ , escolha qualquer linha ou coluna. Multiplique cada elemento na linha $1$ por seu cofator e some.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Considere o gráfico de sinais correspondente.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Etapa 2.2.2

O cofator é o menor com o sinal alterado se os índices corresponderem a uma posição $-$ no gráfico de sinais.

Etapa 2.2.3

O menor para $a_{11}$ é o determinante com a linha $1$ e a coluna $1$ excluídas.

$| \begin{array}{c} - 6 & - 6 \\ 10 & 10 \end{array} |$

Etapa 2.2.4

Multiplique o elemento $a_{11}$ por seu cofator.

$3 | \begin{array}{c} - 6 & - 6 \\ 10 & 10 \end{array} |$

Etapa 2.2.5

O menor para $a_{12}$ é o determinante com a linha $1$ e a coluna $2$ excluídas.

$| \begin{array}{c} - 3 & - 6 \\ 5 & 10 \end{array} |$

Etapa 2.2.6

Multiplique o elemento $a_{12}$ por seu cofator.

$- 6 | \begin{array}{c} - 3 & - 6 \\ 5 & 10 \end{array} |$

Etapa 2.2.7

O menor para $a_{13}$ é o determinante com a linha $1$ e a coluna $3$ excluídas.

$| \begin{array}{c} - 3 & - 6 \\ 5 & 10 \end{array} |$

Etapa 2.2.8

Multiplique o elemento $a_{13}$ por seu cofator.

$6 | \begin{array}{c} - 3 & - 6 \\ 5 & 10 \end{array} |$

Etapa 2.2.9

Adicione os termos juntos.

$3 | \begin{array}{c} - 6 & - 6 \\ 10 & 10 \end{array} | - 6 | \begin{array}{c} - 3 & - 6 \\ 5 & 10 \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} - 3 & - 6 \\ 5 & 10 \end{array} |$

Etapa 2.3

Avalie $| \begin{array}{c} - 6 & - 6 \\ 10 & 10 \end{array} |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$3 (- 6 \cdot 10 - 10 \cdot - 6) - 6 | \begin{array}{c} - 3 & - 6 \\ 5 & 10 \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} - 3 & - 6 \\ 5 & 10 \end{array} |$

Etapa 2.3.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.1

Multiplique $- 6$ por $10$ .

$3 (- 60 - 10 \cdot - 6) - 6 | \begin{array}{c} - 3 & - 6 \\ 5 & 10 \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} - 3 & - 6 \\ 5 & 10 \end{array} |$

Etapa 2.3.2.1.2

Multiplique $- 10$ por $- 6$ .

$3 (- 60 + 60) - 6 | \begin{array}{c} - 3 & - 6 \\ 5 & 10 \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} - 3 & - 6 \\ 5 & 10 \end{array} |$

Etapa 2.3.2.2

Some $- 60$ e $60$ .

$3 \cdot 0 - 6 | \begin{array}{c} - 3 & - 6 \\ 5 & 10 \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} - 3 & - 6 \\ 5 & 10 \end{array} |$

Etapa 2.4

Avalie $| \begin{array}{c} - 3 & - 6 \\ 5 & 10 \end{array} |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$3 \cdot 0 - 6 (- 3 \cdot 10 - 5 \cdot - 6) + 6 | \begin{array}{c} - 3 & - 6 \\ 5 & 10 \end{array} |$

Etapa 2.4.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1.1

Multiplique $- 3$ por $10$ .

$3 \cdot 0 - 6 (- 30 - 5 \cdot - 6) + 6 | \begin{array}{c} - 3 & - 6 \\ 5 & 10 \end{array} |$

Etapa 2.4.2.1.2

Multiplique $- 5$ por $- 6$ .

$3 \cdot 0 - 6 (- 30 + 30) + 6 | \begin{array}{c} - 3 & - 6 \\ 5 & 10 \end{array} |$

Etapa 2.4.2.2

Some $- 30$ e $30$ .

$3 \cdot 0 - 6 \cdot 0 + 6 | \begin{array}{c} - 3 & - 6 \\ 5 & 10 \end{array} |$

Etapa 2.5

Avalie $| \begin{array}{c} - 3 & - 6 \\ 5 & 10 \end{array} |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$3 \cdot 0 - 6 \cdot 0 + 6 (- 3 \cdot 10 - 5 \cdot - 6)$

Etapa 2.5.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.1.1

Multiplique $- 3$ por $10$ .

$3 \cdot 0 - 6 \cdot 0 + 6 (- 30 - 5 \cdot - 6)$

Etapa 2.5.2.1.2

Multiplique $- 5$ por $- 6$ .

$3 \cdot 0 - 6 \cdot 0 + 6 (- 30 + 30)$

Etapa 2.5.2.2

Some $- 30$ e $30$ .

$3 \cdot 0 - 6 \cdot 0 + 6 \cdot 0$

Etapa 2.6

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1.1

Multiplique $3$ por $0$ .

$0 - 6 \cdot 0 + 6 \cdot 0$

Etapa 2.6.1.2

Multiplique $- 6$ por $0$ .

$0 + 0 + 6 \cdot 0$

Etapa 2.6.1.3

Multiplique $6$ por $0$ .

$0 + 0 + 0$

Etapa 2.6.2

Some $0$ e $0$ .

$0 + 0$

Etapa 2.6.3

Some $0$ e $0$ .

$0$

$D = 0$

Etapa 3

Como o determinante é $0$ , o sistema não pode ser resolvido usando a Regra de Cramer.