Álgebra Exemplos

$\cot (- \frac{7 π}{12})$

Etapa 1

Substitua $\cot (- \frac{7 π}{12})$ por uma expressão equivalente $\frac{1}{\tan (- \frac{7 π}{12})}$ usando as identidades fundamentais.

$\frac{1}{\tan (- \frac{7 π}{12})}$

Etapa 2

Use uma fórmula de soma ou diferença no denominador.

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Etapa 2.1

Primeiro, divida o ângulo em dois ângulos em que os valores das seis funções trigonométricas sejam conhecidos. Neste caso, $- \frac{7 π}{12}$ pode ser dividido em $\frac{π}{4} - \frac{5 π}{6}$ .

$\frac{1}{\tan (\frac{π}{4} - \frac{5 π}{6})}$

Etapa 2.2

Use a fórmula da diferença da tangente para simplificar a expressão. A fórmula determina que $\tan (A - B) = \frac{\tan (A) - \tan (B)}{1 + \tan (A) \tan (B)}$ .

$\frac{1}{\frac{\tan (\frac{π}{4}) - \tan (\frac{5 π}{6})}{1 + \tan (\frac{π}{4}) \tan (\frac{5 π}{6})}}$

Etapa 2.3

Remova os parênteses.

$\frac{1}{\frac{\tan (\frac{π}{4}) - \tan (\frac{5 π}{6})}{1 + \tan (\frac{π}{4}) \tan (\frac{5 π}{6})}}$

Etapa 2.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.4.1

O valor exato de $\tan (\frac{π}{4})$ é $1$ .

$\frac{1}{\frac{1 - \tan (\frac{5 π}{6})}{1 + \tan (\frac{π}{4}) \tan (\frac{5 π}{6})}}$

Etapa 2.4.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois a tangente é negativa no segundo quadrante.

$\frac{1}{\frac{1 + \tan (\frac{π}{6})}{1 + \tan (\frac{π}{4}) \tan (\frac{5 π}{6})}}$

Etapa 2.4.3

O valor exato de $\tan (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{1}{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (\frac{π}{4}) \tan (\frac{5 π}{6})}}$

Etapa 2.4.4

Multiplique $- - \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

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Etapa 2.4.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{\frac{1 + 1 (\frac{\sqrt{3}}{3})}{1 + \tan (\frac{π}{4}) \tan (\frac{5 π}{6})}}$

Etapa 2.4.4.2

Multiplique $\frac{\sqrt{3}}{3}$ por $1$ .

$\frac{1}{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (\frac{π}{4}) \tan (\frac{5 π}{6})}}$

Etapa 2.4.5

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{1}{\frac{\frac{3}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (\frac{π}{4}) \tan (\frac{5 π}{6})}}$

Etapa 2.4.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{\frac{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (\frac{π}{4}) \tan (\frac{5 π}{6})}}$

Etapa 2.5

Simplifique o denominador.

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Etapa 2.5.1

O valor exato de $\tan (\frac{π}{4})$ é $1$ .

$\frac{1}{\frac{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \tan (\frac{5 π}{6})}}$

Etapa 2.5.2

Multiplique $\tan (\frac{5 π}{6})$ por $1$ .

$\frac{1}{\frac{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (\frac{5 π}{6})}}$

Etapa 2.5.3

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois a tangente é negativa no segundo quadrante.

$\frac{1}{\frac{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}{1 - \tan (\frac{π}{6})}}$

Etapa 2.5.4

O valor exato de $\tan (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{1}{\frac{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}}$

Etapa 2.5.5

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{1}{\frac{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}{\frac{3}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3}}}$

Etapa 2.5.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{\frac{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 - \sqrt{3}}{3}}}$

Etapa 2.6

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{1}{\frac{3 + \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3 - \sqrt{3}}}$

Etapa 2.7

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 2.7.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{\frac{3 + \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3 - \sqrt{3}}}$

Etapa 2.7.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{(3 + \sqrt{3}) (\frac{1}{3 - \sqrt{3}})}$

Etapa 2.8

Multiplique $\frac{1}{3 - \sqrt{3}}$ por $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ .

$\frac{1}{(3 + \sqrt{3}) (\frac{1}{3 - \sqrt{3}} \cdot \frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}})}$

Etapa 2.9

Simplifique os termos.

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Etapa 2.9.1

Multiplique $\frac{1}{3 - \sqrt{3}}$ por $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ .

$\frac{1}{(3 + \sqrt{3}) (\frac{3 + \sqrt{3}}{(3 - \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})})}$

Etapa 2.9.2

Expanda o denominador usando o método FOIL.

$\frac{1}{(3 + \sqrt{3}) (\frac{3 + \sqrt{3}}{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}})}$

Etapa 2.9.3

Simplifique.

$\frac{1}{(3 + \sqrt{3}) (\frac{3 + \sqrt{3}}{6})}$

Etapa 2.9.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{3 (\frac{3 + \sqrt{3}}{6}) + \sqrt{3} (\frac{3 + \sqrt{3}}{6})}$

Etapa 2.9.5

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 2.9.5.1

Fatore $3$ de $6$ .

$\frac{1}{3 (\frac{3 + \sqrt{3}}{3 (2)}) + \sqrt{3} (\frac{3 + \sqrt{3}}{6})}$

Etapa 2.9.5.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{3 (\frac{3 + \sqrt{3}}{3 \cdot 2}) + \sqrt{3} (\frac{3 + \sqrt{3}}{6})}$

Etapa 2.9.5.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \sqrt{3} (\frac{3 + \sqrt{3}}{6})}$

Etapa 2.9.6

Combine $\sqrt{3}$ e $\frac{3 + \sqrt{3}}{6}$ .

$\frac{1}{\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{6}}$

Etapa 2.10

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}}$

Etapa 2.10.2

Mova $3$ para a esquerda de $\sqrt{3}$ .

$\frac{1}{\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}}$

Etapa 2.10.3

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{1}{\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}{6}}$

Etapa 2.10.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.10.4.1

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{1}{\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 \sqrt{3} + \sqrt{9}}{6}}$

Etapa 2.10.4.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{1}{\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}{6}}$

Etapa 2.10.4.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{1}{\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 \sqrt{3} + 3}{6}}$

Etapa 2.10.5

Cancele o fator comum de $3 \sqrt{3} + 3$ e $6$ .

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Etapa 2.10.5.1

Fatore $3$ de $3 \sqrt{3}$ .

$\frac{1}{\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 (\sqrt{3}) + 3}{6}}$

Etapa 2.10.5.2

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{1}{\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 (\sqrt{3}) + 3 (1)}{6}}$

Etapa 2.10.5.3

Fatore $3$ de $3 (\sqrt{3}) + 3 (1)$ .

$\frac{1}{\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 (\sqrt{3} + 1)}{6}}$

Etapa 2.10.5.4

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.10.5.4.1

Fatore $3$ de $6$ .

$\frac{1}{\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 (\sqrt{3} + 1)}{3 (2)}}$

Etapa 2.10.5.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 (\sqrt{3} + 1)}{3 \cdot 2}}$

Etapa 2.10.5.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3} + 1}{2}}$

Etapa 2.11

Simplifique os termos.

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Etapa 2.11.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{\frac{3 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + 1}{2}}$

Etapa 2.11.2

Some $3$ e $1$ .

$\frac{1}{\frac{4 + \sqrt{3} + \sqrt{3}}{2}}$

Etapa 2.11.3

Some $\sqrt{3}$ e $\sqrt{3}$ .

$\frac{1}{\frac{4 + 2 \sqrt{3}}{2}}$

Etapa 2.11.4

Cancele o fator comum de $4 + 2 \sqrt{3}$ e $2$ .

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Etapa 2.11.4.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{1}{\frac{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{3}}{2}}$

Etapa 2.11.4.2

Fatore $2$ de $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{1}{\frac{2 \cdot 2 + 2 (\sqrt{3})}{2}}$

Etapa 2.11.4.3

Fatore $2$ de $2 (2) + 2 (\sqrt{3})$ .

$\frac{1}{\frac{2 (2 + \sqrt{3})}{2}}$

Etapa 2.11.4.4

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.11.4.4.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{1}{\frac{2 (2 + \sqrt{3})}{2 (1)}}$

Etapa 2.11.4.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{\frac{2 (2 + \sqrt{3})}{2 \cdot 1}}$

Etapa 2.11.4.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{\frac{2 + \sqrt{3}}{1}}$

Etapa 2.11.4.4.4

Divida $2 + \sqrt{3}$ por $1$ .

$\frac{1}{2 + \sqrt{3}}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Multiplique $\frac{1}{2 + \sqrt{3}}$ por $\frac{2 - \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}$ .

$\frac{1}{2 + \sqrt{3}} \cdot \frac{2 - \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}$

Etapa 3.2

Multiplique $\frac{1}{2 + \sqrt{3}}$ por $\frac{2 - \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}$ .

$\frac{2 - \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})}$

Etapa 3.3

Expanda o denominador usando o método FOIL.

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2 - {\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 3.4

Simplifique.

$\frac{2 - \sqrt{3}}{1}$

Etapa 3.5

Divida $2 - \sqrt{3}$ por $1$ .

$2 - \sqrt{3}$

Etapa 4

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$2 - \sqrt{3}$

Forma decimal:

$0.26794919 \dots$