Álgebra Exemplos

$f (x) = {({1.25}^{\frac{x}{4}})}^{16}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Multiplique os expoentes em ${({1.25}^{\frac{x}{4}})}^{16}$ .

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Etapa 1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{1.25}^{\frac{x}{4} \cdot 16}]$

Etapa 1.1.2

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 1.1.2.1

Fatore $4$ de $16$ .

$\frac{d}{d x} [{1.25}^{\frac{x}{4} \cdot (4 (4))}]$

Etapa 1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{d}{d x} [{1.25}^{\frac{x}{4} \cdot (4 \cdot 4)}]$

Etapa 1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d}{d x} [{1.25}^{x \cdot 4}]$

Etapa 1.1.3

Mova $4$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{d}{d x} [{1.25}^{4 x}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = {1.25}^{x}$ e $g (x) = 4 x$ .

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Etapa 1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $4 x$ .

$\frac{d}{d u} [{1.25}^{u}] \frac{d}{d x} [4 x]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $1.25$ .

${1.25}^{u} \ln (1.25) \frac{d}{d x} [4 x]$

Etapa 1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 x$ .

${1.25}^{4 x} \ln (1.25) \frac{d}{d x} [4 x]$

Etapa 1.3

Diferencie.

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Etapa 1.3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

${1.25}^{4 x} \ln (1.25) (4 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

${1.25}^{4 x} \ln (1.25) (4 \cdot 1)$

Etapa 1.3.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.3.3.1

Multiplique $4$ por $1$ .

${1.25}^{4 x} \ln (1.25) \cdot 4$

Etapa 1.3.3.2

Mova $4$ para a esquerda de ${1.25}^{4 x} \ln (1.25)$ .

$f' (x) = 4 \cdot {1.25}^{4 x} \ln (1.25)$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

Como $4 \ln (1.25)$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 \cdot {1.25}^{4 x} \ln (1.25)$ em relação a $x$ é $4 \ln (1.25) \frac{d}{d x} [{1.25}^{4 x}]$ .

$4 \ln (1.25) \frac{d}{d x} [{1.25}^{4 x}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = {1.25}^{x}$ e $g (x) = 4 x$ .

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Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $4 x$ .

$4 \ln (1.25) (\frac{d}{d u} [{1.25}^{u}] \frac{d}{d x} [4 x])$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $1.25$ .

$4 \ln (1.25) ({1.25}^{u} \ln (1.25) \frac{d}{d x} [4 x])$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 x$ .

$4 \ln (1.25) ({1.25}^{4 x} \ln (1.25) \frac{d}{d x} [4 x])$

Etapa 2.3

Eleve $\ln (1.25)$ à potência de $1$ .

$4 ({1.25}^{4 x} (\ln^{1} (1.25) \ln (1.25)) \frac{d}{d x} [4 x])$

Etapa 2.4

Eleve $\ln (1.25)$ à potência de $1$ .

$4 ({1.25}^{4 x} (\ln^{1} (1.25) \ln^{1} (1.25)) \frac{d}{d x} [4 x])$

Etapa 2.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$4 ({1.25}^{4 x} {\ln (1.25)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [4 x])$

Etapa 2.6

Some $1$ e $1$ .

$4 ({1.25}^{4 x} \ln^{2} (1.25) \frac{d}{d x} [4 x])$

Etapa 2.7

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \cdot {1.25}^{4 x} \ln^{2} (1.25) (4 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.8

Multiplique $4$ por $4$ .

$16 \cdot {1.25}^{4 x} \ln^{2} (1.25) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$16 \cdot {1.25}^{4 x} \ln^{2} (1.25) \cdot 1$

Etapa 2.10

Multiplique $16$ por $1$ .

$f'' (x) = 16 \cdot {1.25}^{4 x} \ln^{2} (1.25)$

Etapa 3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $16 \cdot ({1.25}^{4 x} \ln^{2} (1.25))$ .

$16 \cdot ({1.25}^{4 x} \ln^{2} (1.25))$