Álgebra Exemplos

$y = \sqrt[3]{x + 1}$ ; $[- 1, 7]$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

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Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$\sqrt[3]{x + 1} = 0$

Etapa 1.2

Resolva $\sqrt[3]{x + 1} = 0$ para $x$ .

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Etapa 1.2.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao cubo os dois lados da equação.

${\sqrt[3]{x + 1}}^{3} = 0^{3}$

Etapa 1.2.2

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 1.2.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x + 1}$ como ${(x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 1.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.2.2.1

Simplifique ${({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Etapa 1.2.2.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Etapa 1.2.2.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Etapa 1.2.2.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 1.2.2.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(x + 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Etapa 1.2.2.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(x + 1)}^{1} = 0^{3}$

Etapa 1.2.2.2.1.2

Simplifique.

$x + 1 = 0^{3}$

Etapa 1.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 1.2.3

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 1.3

Substitua $- 1$ por $x$ .

$y = 0$

Etapa 1.4

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(- 1, 0)$

Etapa 2

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{- 1}^{7} \sqrt[3]{x + 1} d x - \int_{- 1}^{7} 0 d x$

Etapa 3

Integre para encontrar a área entre $- 1$ e $7$ .

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Etapa 3.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{- 1}^{7} \sqrt[3]{x + 1} - (0) d x$

Etapa 3.2

Subtraia $0$ de $\sqrt[3]{x + 1}$ .

$\int_{- 1}^{7} \sqrt[3]{x + 1} d x$

Etapa 3.3

Deixe $u = x + 1$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 3.3.1

Deixe $u = x + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 3.3.1.1

Diferencie $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 3.3.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 3.3.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 3.3.1.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 3.3.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 3.3.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = x + 1$ .

$u_{lower} = - 1 + 1$

Etapa 3.3.3

Some $- 1$ e $1$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 3.3.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = x + 1$ .

$u_{upper} = 7 + 1$

Etapa 3.3.5

Some $7$ e $1$ .

$u_{upper} = 8$

Etapa 3.3.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 8$

Etapa 3.3.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{0}^{8} \sqrt[3]{u} d u$

Etapa 3.4

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{u}$ como $u^{\frac{1}{3}}$ .

$\int_{0}^{8} u^{\frac{1}{3}} d u$

Etapa 3.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{1}{3}}$ com relação a $u$ é $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}]_{0}^{8}$

Etapa 3.6

Substitua e simplifique.

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Etapa 3.6.1

Avalie $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ em $8$ e em $0$ .

$(\frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Etapa 3.6.2

Simplifique.

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Etapa 3.6.2.1

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$\frac{3}{4} \cdot {(2^{3})}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Etapa 3.6.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Etapa 3.6.2.3

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.6.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Etapa 3.6.2.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{3}{4} \cdot 2^{4} - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Etapa 3.6.2.4

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$\frac{3}{4} \cdot 16 - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Etapa 3.6.2.5

Combine $\frac{3}{4}$ e $16$ .

$\frac{3 \cdot 16}{4} - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Etapa 3.6.2.6

Multiplique $3$ por $16$ .

$\frac{48}{4} - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Etapa 3.6.2.7

Cancele o fator comum de $48$ e $4$ .

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Etapa 3.6.2.7.1

Fatore $4$ de $48$ .

$\frac{4 \cdot 12}{4} - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Etapa 3.6.2.7.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.6.2.7.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$\frac{4 \cdot 12}{4 (1)} - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Etapa 3.6.2.7.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{4 \cdot 12}{4 \cdot 1} - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Etapa 3.6.2.7.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{12}{1} - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Etapa 3.6.2.7.2.4

Divida $12$ por $1$ .

$12 - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Etapa 3.6.2.8

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$12 - \frac{3}{4} \cdot {(0^{3})}^{\frac{4}{3}}$

Etapa 3.6.2.9

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 - \frac{3}{4} \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}$

Etapa 3.6.2.10

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.6.2.10.1

Cancele o fator comum.

$12 - \frac{3}{4} \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}$

Etapa 3.6.2.10.2

Reescreva a expressão.

$12 - \frac{3}{4} \cdot 0^{4}$

Etapa 3.6.2.11

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$12 - \frac{3}{4} \cdot 0$

Etapa 3.6.2.12

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$12 + 0 (\frac{3}{4})$

Etapa 3.6.2.13

Multiplique $0$ por $\frac{3}{4}$ .

$12 + 0$

Etapa 3.6.2.14

Some $12$ e $0$ .

$12$

Etapa 4