Álgebra Exemplos

$f (x) = 8 x^{4} - 3 x^{2} + 5 x - 2$ ; $[0, 1]$

Etapa 1

Encontre os pontos críticos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $8 x^{4} - 3 x^{2} + 5 x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [8 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (8 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (5 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 1.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [8 x^{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x^{4}$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 8 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (5 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f' (x) = 8 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (5 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 1.1.1.2.3

Multiplique $4$ por $8$ .

$f' (x) = 32 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (5 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 1.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Etapa 1.1.1.3.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 32 x^{3} - 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (5 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 1.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = 32 x^{3} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (5 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 1.1.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$f' (x) = 32 x^{3} - 6 x + \frac{d}{d x} (5 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 1.1.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Etapa 1.1.1.4.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 32 x^{3} - 6 x + 5 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 1.1.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 32 x^{3} - 6 x + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 1.1.1.4.3

Multiplique $5$ por $1$ .

$f' (x) = 32 x^{3} - 6 x + 5 + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 1.1.1.5

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.1.1.5.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = 32 x^{3} - 6 x + 5 + 0$

Etapa 1.1.1.5.2

Some $32 x^{3} - 6 x + 5$ e $0$ .

$f' (x) = 32 x^{3} - 6 x + 5$

Etapa 1.1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $32 x^{3} - 6 x + 5$ .

$32 x^{3} - 6 x + 5$

Etapa 1.2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $32 x^{3} - 6 x + 5 = 0$ .

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Etapa 1.2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$32 x^{3} - 6 x + 5 = 0$

Etapa 1.2.2

Represente cada lado da equação em um gráfico. A solução é o valor x do ponto de intersecção.

$x \approx - 0.65322196$

Etapa 1.3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 1.3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 1.4

Avalie $8 x^{4} - 3 x^{2} + 5 x - 2$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 1.4.1

Avalie em $x = - 0.65322196$ .

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Etapa 1.4.1.1

Substitua $- 0.65322196$ por $x$ .

$8 {(- 0.65322196)}^{4} - 3 {(- 0.65322196)}^{2} + 5 (- 0.65322196) - 2$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique.

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Etapa 1.4.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.4.1.2.1.1

Eleve $- 0.65322196$ à potência de $4$ .

$8 \cdot 0.18207198 - 3 {(- 0.65322196)}^{2} + 5 (- 0.65322196) - 2$

Etapa 1.4.1.2.1.2

Multiplique $8$ por $0.18207198$ .

$1.45657586 - 3 {(- 0.65322196)}^{2} + 5 (- 0.65322196) - 2$

Etapa 1.4.1.2.1.3

Eleve $- 0.65322196$ à potência de $2$ .

$1.45657586 - 3 \cdot 0.42669893 + 5 (- 0.65322196) - 2$

Etapa 1.4.1.2.1.4

Multiplique $- 3$ por $0.42669893$ .

$1.45657586 - 1.28009681 + 5 (- 0.65322196) - 2$

Etapa 1.4.1.2.1.5

Multiplique $5$ por $- 0.65322196$ .

$1.45657586 - 1.28009681 - 3.26610983 - 2$

Etapa 1.4.1.2.2

Simplifique subtraindo os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.2.1

Subtraia $1.28009681$ de $1.45657586$ .

$0.17647905 - 3.26610983 - 2$

Etapa 1.4.1.2.2.2

Subtraia $3.26610983$ de $0.17647905$ .

$- 3.08963077 - 2$

Etapa 1.4.1.2.2.3

Subtraia $2$ de $- 3.08963077$ .

$- 5.08963077$

Etapa 1.4.2

Liste todos os pontos.

$(- 0.65322196, - 5.08963077)$

Etapa 2

Exclua os pontos que não estão no intervalo.

Etapa 3

Avalie nos pontos finais incluídos.

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Etapa 3.1

Avalie em $x = 0$ .

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Etapa 3.1.1

Substitua $0$ por $x$ .

$8 {(0)}^{4} - 3 {(0)}^{2} + 5 (0) - 2$

Etapa 3.1.2

Simplifique.

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Etapa 3.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$8 \cdot 0 - 3 {(0)}^{2} + 5 (0) - 2$

Etapa 3.1.2.1.2

Multiplique $8$ por $0$ .

$0 - 3 {(0)}^{2} + 5 (0) - 2$

Etapa 3.1.2.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 - 3 \cdot 0 + 5 (0) - 2$

Etapa 3.1.2.1.4

Multiplique $- 3$ por $0$ .

$0 + 0 + 5 (0) - 2$

Etapa 3.1.2.1.5

Multiplique $5$ por $0$ .

$0 + 0 + 0 - 2$

Etapa 3.1.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 3.1.2.2.1

Some $0$ e $0$ .

$0 + 0 - 2$

Etapa 3.1.2.2.2

Some $0$ e $0$ .

$0 - 2$

Etapa 3.1.2.2.3

Subtraia $2$ de $0$ .

$- 2$

Etapa 3.2

Avalie em $x = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Substitua $1$ por $x$ .

$8 {(1)}^{4} - 3 {(1)}^{2} + 5 (1) - 2$

Etapa 3.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$8 \cdot 1 - 3 {(1)}^{2} + 5 (1) - 2$

Etapa 3.2.2.1.2

Multiplique $8$ por $1$ .

$8 - 3 {(1)}^{2} + 5 (1) - 2$

Etapa 3.2.2.1.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$8 - 3 \cdot 1 + 5 (1) - 2$

Etapa 3.2.2.1.4

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$8 - 3 + 5 (1) - 2$

Etapa 3.2.2.1.5

Multiplique $5$ por $1$ .

$8 - 3 + 5 - 2$

Etapa 3.2.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.2.1

Subtraia $3$ de $8$ .

$5 + 5 - 2$

Etapa 3.2.2.2.2

Some $5$ e $5$ .

$10 - 2$

Etapa 3.2.2.2.3

Subtraia $2$ de $10$ .

$8$

Etapa 3.3

Liste todos os pontos.

$(0, - 2), (1, 8)$

Etapa 4

Compare os valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de $f (x)$ , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(1, 8)$

Mínimo absoluto: $(0, - 2)$

Etapa 5