Álgebra Exemplos

$x^{5} - 3 x^{4} + 4 x^{3} - 32 x + 48$

Etapa 1

Reagrupe os termos.

$- 3 x^{4} + 48 + x^{5} + 4 x^{3} - 32 x$

Etapa 2

Fatore $- 3$ de $- 3 x^{4} + 48$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Fatore $- 3$ de $- 3 x^{4}$ .

$- 3 (x^{4}) + 48 + x^{5} + 4 x^{3} - 32 x$

Etapa 2.2

Fatore $- 3$ de $48$ .

$- 3 (x^{4}) - 3 (- 16) + x^{5} + 4 x^{3} - 32 x$

Etapa 2.3

Fatore $- 3$ de $- 3 (x^{4}) - 3 (- 16)$ .

$- 3 (x^{4} - 16) + x^{5} + 4 x^{3} - 32 x$

Etapa 3

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 3 ({(x^{2})}^{2} - 16) + x^{5} + 4 x^{3} - 32 x$

Etapa 4

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$- 3 ({(x^{2})}^{2} - 4^{2}) + x^{5} + 4 x^{3} - 32 x$

Etapa 5

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - i^{2} = (a + i) (a - i)$ em que $a = x^{2}$ e $i = 4$ .

$- 3 ((x^{2} + 4) (x^{2} - 4)) + x^{5} + 4 x^{3} - 32 x$

Etapa 6

Fatore.

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Etapa 6.1

Simplifique.

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Etapa 6.1.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$- 3 ((x^{2} + 4) (x^{2} - 2^{2})) + x^{5} + 4 x^{3} - 32 x$

Etapa 6.1.2

Fatore.

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Etapa 6.1.2.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - i^{2} = (a + i) (a - i)$ em que $a = x$ e $i = 2$ .

$- 3 ((x^{2} + 4) ((x + 2) (x - 2))) + x^{5} + 4 x^{3} - 32 x$

Etapa 6.1.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- 3 ((x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)) + x^{5} + 4 x^{3} - 32 x$

Etapa 6.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- 3 (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + x^{5} + 4 x^{3} - 32 x$

Etapa 7

Fatore $x$ de $x^{5} + 4 x^{3} - 32 x$ .

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Etapa 7.1

Fatore $x$ de $x^{5}$ .

$- 3 (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + x \cdot x^{4} + 4 x^{3} - 32 x$

Etapa 7.2

Fatore $x$ de $4 x^{3}$ .

$- 3 (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + x \cdot x^{4} + x (4 x^{2}) - 32 x$

Etapa 7.3

Fatore $x$ de $- 32 x$ .

$- 3 (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + x \cdot x^{4} + x (4 x^{2}) + x \cdot - 32$

Etapa 7.4

Fatore $x$ de $x \cdot x^{4} + x (4 x^{2})$ .

$- 3 (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + x (x^{4} + 4 x^{2}) + x \cdot - 32$

Etapa 7.5

Fatore $x$ de $x (x^{4} + 4 x^{2}) + x \cdot - 32$ .

$- 3 (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + x (x^{4} + 4 x^{2} - 32)$

Etapa 8

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 3 (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + x ({(x^{2})}^{2} + 4 x^{2} - 32)$

Etapa 9

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$- 3 (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + x (u^{2} + 4 u - 32)$

Etapa 10

Fatore $u^{2} + 4 u - 32$ usando o método AC.

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Etapa 10.1

Considere a forma $x^{2} + i x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $i$ . Neste caso, cujo produto é $- 32$ e cuja soma é $4$ .

$- 4, 8$

Etapa 10.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$- 3 (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + x ((u - 4) (u + 8))$

Etapa 11

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$- 3 (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + x ((x^{2} - 4) (x^{2} + 8))$

Etapa 12

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$- 3 (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + x ((x^{2} - 2^{2}) (x^{2} + 8))$

Etapa 13

Fatore.

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Etapa 13.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - i^{2} = (a + i) (a - i)$ em que $a = x$ e $i = 2$ .

$- 3 (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + x ((x + 2) (x - 2) (x^{2} + 8))$

Etapa 13.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- 3 (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 8)$

Etapa 14

Fatore $(x + 2) (x - 2)$ de $- 3 (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 8)$ .

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Etapa 14.1

Fatore $(x + 2) (x - 2)$ de $- 3 (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)$ .

$(x + 2) (x - 2) (- 3 (x^{2} + 4)) + x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 8)$

Etapa 14.2

Fatore $(x + 2) (x - 2)$ de $x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 8)$ .

$(x + 2) (x - 2) (- 3 (x^{2} + 4)) + (x + 2) (x - 2) ((x) (x^{2} + 8))$

Etapa 14.3

Fatore $(x + 2) (x - 2)$ de $(x + 2) (x - 2) (- 3 (x^{2} + 4)) + (x + 2) (x - 2) ((x) (x^{2} + 8))$ .

$(x + 2) (x - 2) (- 3 (x^{2} + 4) + (x) (x^{2} + 8))$

Etapa 15

Aplique a propriedade distributiva.

$(x + 2) (x - 2) (- 3 x^{2} - 3 \cdot 4 + (x) (x^{2} + 8))$

Etapa 16

Multiplique $- 3$ por $4$ .

$(x + 2) (x - 2) (- 3 x^{2} - 12 + (x) (x^{2} + 8))$

Etapa 17

Aplique a propriedade distributiva.

$(x + 2) (x - 2) (- 3 x^{2} - 12 + x \cdot x^{2} + x \cdot 8)$

Etapa 18

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 18.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 18.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$(x + 2) (x - 2) (- 3 x^{2} - 12 + x^{1} x^{2} + x \cdot 8)$

Etapa 18.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(x + 2) (x - 2) (- 3 x^{2} - 12 + x^{1 + 2} + x \cdot 8)$

Etapa 18.2

Some $1$ e $2$ .

$(x + 2) (x - 2) (- 3 x^{2} - 12 + x^{3} + x \cdot 8)$

Etapa 19

Mova $8$ para a esquerda de $x$ .

$(x + 2) (x - 2) (- 3 x^{2} - 12 + x^{3} + 8 x)$

Etapa 20

Reordene os termos.

$(x + 2) (x - 2) (x^{3} - 3 x^{2} + 8 x - 12)$

Etapa 21

Fatore.

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Etapa 21.1

Fatore $x^{3} - 3 x^{2} + 8 x - 12$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 21.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1$

Etapa 21.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

Etapa 21.1.3

Substitua $2$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $2$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 21.1.3.1

Substitua $2$ no polinômio.

$2^{3} - 3 \cdot 2^{2} + 8 \cdot 2 - 12$

Etapa 21.1.3.2

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$8 - 3 \cdot 2^{2} + 8 \cdot 2 - 12$

Etapa 21.1.3.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$8 - 3 \cdot 4 + 8 \cdot 2 - 12$

Etapa 21.1.3.4

Multiplique $- 3$ por $4$ .

$8 - 12 + 8 \cdot 2 - 12$

Etapa 21.1.3.5

Subtraia $12$ de $8$ .

$- 4 + 8 \cdot 2 - 12$

Etapa 21.1.3.6

Multiplique $8$ por $2$ .

$- 4 + 16 - 12$

Etapa 21.1.3.7

Some $- 4$ e $16$ .

$12 - 12$

Etapa 21.1.3.8

Subtraia $12$ de $12$ .

$0$

Etapa 21.1.4

Como $2$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 2$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{3} - 3 x^{2} + 8 x - 12}{x - 2}$

Etapa 21.1.5

Divida $x^{3} - 3 x^{2} + 8 x - 12$ por $x - 2$ .

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Etapa 21.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$8 x$

$12$

Etapa 21.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$8 x$	-	$12$

Etapa 21.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$8 x$	-	$12$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Etapa 21.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{3} - 2 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Etapa 21.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$

Etapa 21.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$8 x$

Etapa 21.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$8 x$

Etapa 21.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$8 x$
					-	$x^{2}$	+	$2 x$

Etapa 21.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- x^{2} + 2 x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$8 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$

Etapa 21.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$8 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$
							+	$6 x$

Etapa 21.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$8 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$
							+	$6 x$	-	$12$

Etapa 21.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $6 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$	+	$6$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$8 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$
							+	$6 x$	-	$12$

Etapa 21.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$x$	+	$6$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$8 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$
							+	$6 x$	-	$12$
							+	$6 x$	-	$12$

Etapa 21.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $6 x - 12$ .

				$x^{2}$	-	$x$	+	$6$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$8 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$
							+	$6 x$	-	$12$
							-	$6 x$	+	$12$

Etapa 21.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$x$	+	$6$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$8 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$
							+	$6 x$	-	$12$
							-	$6 x$	+	$12$
										$0$

Etapa 21.1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$x^{2} - x + 6$

Etapa 21.1.6

Escreva $x^{3} - 3 x^{2} + 8 x - 12$ como um conjunto de fatores.

$(x + 2) (x - 2) ((x - 2) (x^{2} - x + 6))$

Etapa 21.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x + 2) (x - 2) (x - 2) (x^{2} - x + 6)$

Etapa 22

Combine expoentes.

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Etapa 22.1

Eleve $x - 2$ à potência de $1$ .

$(x + 2) ({(x - 2)}^{1} (x - 2)) (x^{2} - x + 6)$

Etapa 22.2

Eleve $x - 2$ à potência de $1$ .

$(x + 2) ({(x - 2)}^{1} {(x - 2)}^{1}) (x^{2} - x + 6)$

Etapa 22.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(x + 2) {(x - 2)}^{1 + 1} (x^{2} - x + 6)$

Etapa 22.4

Some $1$ e $1$ .

$(x + 2) {(x - 2)}^{2} (x^{2} - x + 6)$