Álgebra Exemplos

$5 x + 4 y = 8$ , $6 x - 3 y = 33$

Etapa 1

Encontre $A X = B$ do sistema de equações.

$[\begin{array}{c} 5 & 4 \\ 6 & - 3 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 8 \\ 33 \end{array}]$

Etapa 2

Encontre o inverso da matriz do coeficiente.

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Etapa 2.1

O inverso de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado usando a fórmula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ onde $a d - b c$ é o determinante.

Etapa 2.2

Encontre o determinante.

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Etapa 2.2.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$5 \cdot - 3 - 6 \cdot 4$

Etapa 2.2.2

Simplifique o determinante.

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Etapa 2.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.2.1.1

Multiplique $5$ por $- 3$ .

$- 15 - 6 \cdot 4$

Etapa 2.2.2.1.2

Multiplique $- 6$ por $4$ .

$- 15 - 24$

Etapa 2.2.2.2

Subtraia $24$ de $- 15$ .

$- 39$

Etapa 2.3

Como o determinante é diferente de zero, o inverso existe.

Etapa 2.4

Substitua os valores conhecidos na fórmula para o inverso.

$\frac{1}{- 39} [\begin{array}{c} - 3 & - 4 \\ - 6 & 5 \end{array}]$

Etapa 2.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{39} [\begin{array}{c} - 3 & - 4 \\ - 6 & 5 \end{array}]$

Etapa 2.6

Multiplique $- \frac{1}{39}$ por cada elemento da matriz.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{39} \cdot - 3 & - \frac{1}{39} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{39} \cdot - 6 & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

Etapa 2.7

Simplifique cada elemento da matriz.

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Etapa 2.7.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 2.7.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{39}$ para o numerador.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{39} \cdot - 3 & - \frac{1}{39} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{39} \cdot - 6 & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

Etapa 2.7.1.2

Fatore $3$ de $39$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{3 (13)} \cdot - 3 & - \frac{1}{39} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{39} \cdot - 6 & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

Etapa 2.7.1.3

Fatore $3$ de $- 3$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{3 \cdot 13} \cdot (3 \cdot - 1) & - \frac{1}{39} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{39} \cdot - 6 & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

Etapa 2.7.1.4

Cancele o fator comum.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{3 \cdot 13} \cdot (3 \cdot - 1) & - \frac{1}{39} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{39} \cdot - 6 & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

Etapa 2.7.1.5

Reescreva a expressão.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{13} \cdot - 1 & - \frac{1}{39} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{39} \cdot - 6 & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

Etapa 2.7.2

Combine $\frac{- 1}{13}$ e $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- - 1}{13} & - \frac{1}{39} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{39} \cdot - 6 & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

Etapa 2.7.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{13} & - \frac{1}{39} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{39} \cdot - 6 & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

Etapa 2.7.4

Multiplique $- \frac{1}{39} \cdot - 4$ .

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Etapa 2.7.4.1

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{13} & 4 (\frac{1}{39}) \\ - \frac{1}{39} \cdot - 6 & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

Etapa 2.7.4.2

Combine $4$ e $\frac{1}{39}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{13} & \frac{4}{39} \\ - \frac{1}{39} \cdot - 6 & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

Etapa 2.7.5

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 2.7.5.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{39}$ para o numerador.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{13} & \frac{4}{39} \\ \frac{- 1}{39} \cdot - 6 & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

Etapa 2.7.5.2

Fatore $3$ de $39$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{13} & \frac{4}{39} \\ \frac{- 1}{3 (13)} \cdot - 6 & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

Etapa 2.7.5.3

Fatore $3$ de $- 6$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{13} & \frac{4}{39} \\ \frac{- 1}{3 \cdot 13} \cdot (3 \cdot - 2) & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

Etapa 2.7.5.4

Cancele o fator comum.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{13} & \frac{4}{39} \\ \frac{- 1}{3 \cdot 13} \cdot (3 \cdot - 2) & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

Etapa 2.7.5.5

Reescreva a expressão.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{13} & \frac{4}{39} \\ \frac{- 1}{13} \cdot - 2 & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

Etapa 2.7.6

Combine $\frac{- 1}{13}$ e $- 2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{13} & \frac{4}{39} \\ \frac{- - 2}{13} & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

Etapa 2.7.7

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{13} & \frac{4}{39} \\ \frac{2}{13} & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

Etapa 2.7.8

Multiplique $- \frac{1}{39} \cdot 5$ .

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Etapa 2.7.8.1

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{13} & \frac{4}{39} \\ \frac{2}{13} & - 5 (\frac{1}{39}) \end{array}]$

Etapa 2.7.8.2

Combine $- 5$ e $\frac{1}{39}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{13} & \frac{4}{39} \\ \frac{2}{13} & \frac{- 5}{39} \end{array}]$

Etapa 2.7.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{13} & \frac{4}{39} \\ \frac{2}{13} & - \frac{5}{39} \end{array}]$

Etapa 3

Multiplique pela esquerda os dois lados da equação da matriz pela matriz inversa.

$([\begin{array}{c} \frac{1}{13} & \frac{4}{39} \\ \frac{2}{13} & - \frac{5}{39} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 5 & 4 \\ 6 & - 3 \end{array}]) \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{1}{13} & \frac{4}{39} \\ \frac{2}{13} & - \frac{5}{39} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 8 \\ 33 \end{array}]$

Etapa 4

Qualquer matriz multiplicada por seu inverso é sempre igual a $1$ . $A \cdot A^{- 1} = 1$ .

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{1}{13} & \frac{4}{39} \\ \frac{2}{13} & - \frac{5}{39} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 8 \\ 33 \end{array}]$

Etapa 5

Multiplique $[\begin{array}{c} \frac{1}{13} & \frac{4}{39} \\ \frac{2}{13} & - \frac{5}{39} \end{array}] [\begin{array}{c} 8 \\ 33 \end{array}]$ .

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Etapa 5.1

Duas matrizes podem ser multiplicadas se e somente se o número de colunas da primeira matriz for igual ao número de linhas da segunda matriz. Nesse caso, a primeira matriz é $2 \times 2$ e a segunda matriz é $2 \times 1$ .

Etapa 5.2

Multiplique cada linha na primeira matriz por cada coluna na segunda matriz.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{13} \cdot 8 + \frac{4}{39} \cdot 33 \\ \frac{2}{13} \cdot 8 - \frac{5}{39} \cdot 33 \end{array}]$

Etapa 5.3

Simplifique cada elemento da matriz multiplicando todas as expressões.

$[\begin{array}{c} 4 \\ - 3 \end{array}]$

Etapa 6

Simplifique os lados esquerdo e direito.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 4 \\ - 3 \end{array}]$

Etapa 7

Encontre a solução.

$x = 4$

$y = - 3$