Álgebra Exemplos

$r = 8 \sin (θ) - 2 \cos (θ)$

Etapa 1

Como $\sin (θ) = \frac{y}{r}$ , substitua $\sin (θ)$ por $\frac{y}{r}$ .

$r = 8 \frac{y}{r} - 2 \cos (θ)$

Etapa 2

Como $\cos (θ) = \frac{x}{r}$ , substitua $\cos (θ)$ por $\frac{x}{r}$ .

$r = 8 \frac{y}{r} - 2 \frac{x}{r}$

Etapa 3

Multiplique os dois lados por $r$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Multiplique os dois lados por $r$ .

$r \cdot r = r (8 \frac{y}{r} - 2 \frac{x}{r})$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Multiplique $r$ por $r$ .

$r^{2} = r (8 \frac{y}{r} - 2 \frac{x}{r})$

Etapa 3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Simplifique $r (8 \frac{y}{r} - 2 \frac{x}{r})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1.1

Combine $8$ e $\frac{y}{r}$ .

$r^{2} = r (\frac{8 y}{r} - 2 \frac{x}{r})$

Etapa 3.3.1.1.2

Combine $- 2$ e $\frac{x}{r}$ .

$r^{2} = r (\frac{8 y}{r} + \frac{- 2 x}{r})$

Etapa 3.3.1.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$r^{2} = r (\frac{8 y}{r} - \frac{2 x}{r})$

Etapa 3.3.1.2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$r^{2} = r \frac{8 y}{r} + r (- \frac{2 x}{r})$

Etapa 3.3.1.2.2

Cancele o fator comum de $r$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.2.2.1

Cancele o fator comum.

$r^{2} = r \frac{8 y}{r} + r (- \frac{2 x}{r})$

Etapa 3.3.1.2.2.2

Reescreva a expressão.

$r^{2} = 8 y + r (- \frac{2 x}{r})$

Etapa 3.3.1.2.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$r^{2} = 8 y - r \frac{2 x}{r}$

Etapa 3.3.1.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.3.1

Cancele o fator comum de $r$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.3.1.1

Fatore $r$ de $- r$ .

$r^{2} = 8 y + r \cdot - 1 \frac{2 x}{r}$

Etapa 3.3.1.3.1.2

Cancele o fator comum.

$r^{2} = 8 y + r \cdot - 1 \frac{2 x}{r}$

Etapa 3.3.1.3.1.3

Reescreva a expressão.

$r^{2} = 8 y - (2 x)$

Etapa 3.3.1.3.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$r^{2} = 8 y - 2 x$

Etapa 4

Como $r^{2} = x^{2} + y^{2}$ , substitua $r^{2}$ por $x^{2} + y^{2}$ e $r$ por $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ .

$x^{2} + y^{2} = 8 y - 2 x$

Etapa 5

Escreva na forma padrão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Mova todos os termos que contêm variáveis para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Subtraia $8 y$ dos dois lados da equação.

$x^{2} + y^{2} - 8 y = - 2 x$

Etapa 5.1.2

Some $2 x$ aos dois lados da equação.

$x^{2} + y^{2} - 8 y + 2 x = 0$

Etapa 5.1.3

Mova $- 8 y$ .

$x^{2} + y^{2} + 2 x - 8 y = 0$

Etapa 5.2

Complete o quadrado de $x^{2} + 2 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 1$

$b = 2$

$c = 0$

Etapa 5.2.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 5.2.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.2.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.2.1

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.2.3.2.2

Reescreva a expressão.

$d = 1$

Etapa 5.2.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 \cdot 1}$

Etapa 5.2.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.2.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

Etapa 5.2.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Etapa 5.2.4.2.1.3

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.2.1.3.1

Cancele o fator comum.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Etapa 5.2.4.2.1.3.2

Reescreva a expressão.

$e = 0 - 1 \cdot 1$

Etapa 5.2.4.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$e = 0 - 1$

Etapa 5.2.4.2.2

Subtraia $1$ de $0$ .

$e = - 1$

Etapa 5.2.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice ${(x + 1)}^{2} - 1$ .

${(x + 1)}^{2} - 1$

Etapa 5.3

Substitua ${(x + 1)}^{2} - 1$ por $x^{2} + 2 x$ na equação $x^{2} + y^{2} + 2 x - 8 y = 0$ .

${(x + 1)}^{2} - 1 + y^{2} - 8 y = 0$

Etapa 5.4

Mova $- 1$ para o lado direito da equação, somando $1$ aos dois lados.

${(x + 1)}^{2} + y^{2} - 8 y = 0 + 1$

Etapa 5.5

Complete o quadrado de $y^{2} - 8 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 1$

$b = - 8$

$c = 0$

Etapa 5.5.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 5.5.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 8}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.5.3.2

Cancele o fator comum de $- 8$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.3.2.1

Fatore $2$ de $- 8$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.5.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.3.2.2.1

Fatore $2$ de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 (1)}$

Etapa 5.5.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.5.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- 4}{1}$

Etapa 5.5.3.2.2.4

Divida $- 4$ por $1$ .

$d = - 4$

Etapa 5.5.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 8)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Etapa 5.5.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.2.1.1

Eleve $- 8$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 1}$

Etapa 5.5.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{64}{4}$

Etapa 5.5.4.2.1.3

Divida $64$ por $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 16$

Etapa 5.5.4.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $16$ .

$e = 0 - 16$

Etapa 5.5.4.2.2

Subtraia $16$ de $0$ .

$e = - 16$

Etapa 5.5.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice ${(y - 4)}^{2} - 16$ .

${(y - 4)}^{2} - 16$

Etapa 5.6

Substitua ${(y - 4)}^{2} - 16$ por $y^{2} - 8 y$ na equação $x^{2} + y^{2} + 2 x - 8 y = 0$ .

${(x + 1)}^{2} + {(y - 4)}^{2} - 16 = 0 + 1$

Etapa 5.7

Mova $- 16$ para o lado direito da equação, somando $16$ aos dois lados.

${(x + 1)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 0 + 1 + 16$

Etapa 5.8

Simplifique $0 + 1 + 16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.8.1

Some $0$ e $1$ .

${(x + 1)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 1 + 16$

Etapa 5.8.2

Some $1$ e $16$ .

${(x + 1)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 17$