Álgebra Exemplos

$(x^{5} + x^{3} - x) \div (x - 4)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{5} + x^{3} - x$ e $g (x) = x - 4$ .

$\frac{(x - 4) \frac{d}{d x} [x^{5} + x^{3} - x] - (x^{5} + x^{3} - x) \frac{d}{d x} [x - 4]}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{5} + x^{3} - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{(x - 4) (\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]) - (x^{5} + x^{3} - x) \frac{d}{d x} [x - 4]}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$\frac{(x - 4) (5 x^{4} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]) - (x^{5} + x^{3} - x) \frac{d}{d x} [x - 4]}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{(x - 4) (5 x^{4} + 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x]) - (x^{5} + x^{3} - x) \frac{d}{d x} [x - 4]}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Etapa 3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x - 4) (5 x^{4} + 3 x^{2} - \frac{d}{d x} [x]) - (x^{5} + x^{3} - x) \frac{d}{d x} [x - 4]}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x - 4) (5 x^{4} + 3 x^{2} - 1 \cdot 1) - (x^{5} + x^{3} - x) \frac{d}{d x} [x - 4]}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 3.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{(x - 4) (5 x^{4} + 3 x^{2} - 1) - (x^{5} + x^{3} - x) \frac{d}{d x} [x - 4]}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{(x - 4) (5 x^{4} + 3 x^{2} - 1) - (x^{5} + x^{3} - x) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x - 4) (5 x^{4} + 3 x^{2} - 1) - (x^{5} + x^{3} - x) (1 + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 4.3

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x - 4) (5 x^{4} + 3 x^{2} - 1) - (x^{5} + x^{3} - x) (1 + 0)}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 4.4

Some $1$ e $0$ .

$\frac{(x - 4) (5 x^{4} + 3 x^{2} - 1) - (x^{5} + x^{3} - x) \cdot 1}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(x - 4) (5 x^{4} + 3 x^{2} - 1) + (- x^{5} - x^{3} - - x) \cdot 1}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(x - 4) (5 x^{4} + 3 x^{2} - 1) - x^{5} \cdot 1 - x^{3} \cdot 1 - - x \cdot 1}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 5.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.1.1

Expanda $(x - 4) (5 x^{4} + 3 x^{2} - 1)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$\frac{x (5 x^{4}) + x (3 x^{2}) + x \cdot - 1 - 4 (5 x^{4}) - 4 (3 x^{2}) - 4 \cdot - 1 - x^{5} \cdot 1 - x^{3} \cdot 1 - - x \cdot 1}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 5.3.1.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.1.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{5 x \cdot x^{4} + x (3 x^{2}) + x \cdot - 1 - 4 (5 x^{4}) - 4 (3 x^{2}) - 4 \cdot - 1 - x^{5} \cdot 1 - x^{3} \cdot 1 - - x \cdot 1}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 5.3.1.2.2

Multiplique $x$ por $x^{4}$ somando os expoentes.

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Etapa 5.3.1.2.2.1

Mova $x^{4}$ .

$\frac{5 (x^{4} x) + x (3 x^{2}) + x \cdot - 1 - 4 (5 x^{4}) - 4 (3 x^{2}) - 4 \cdot - 1 - x^{5} \cdot 1 - x^{3} \cdot 1 - - x \cdot 1}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 5.3.1.2.2.2

Multiplique $x^{4}$ por $x$ .

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Etapa 5.3.1.2.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{5 (x^{4} x^{1}) + x (3 x^{2}) + x \cdot - 1 - 4 (5 x^{4}) - 4 (3 x^{2}) - 4 \cdot - 1 - x^{5} \cdot 1 - x^{3} \cdot 1 - - x \cdot 1}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 5.3.1.2.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{5 x^{4 + 1} + x (3 x^{2}) + x \cdot - 1 - 4 (5 x^{4}) - 4 (3 x^{2}) - 4 \cdot - 1 - x^{5} \cdot 1 - x^{3} \cdot 1 - - x \cdot 1}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 5.3.1.2.2.3

Some $4$ e $1$ .

$\frac{5 x^{5} + x (3 x^{2}) + x \cdot - 1 - 4 (5 x^{4}) - 4 (3 x^{2}) - 4 \cdot - 1 - x^{5} \cdot 1 - x^{3} \cdot 1 - - x \cdot 1}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 5.3.1.2.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{5 x^{5} + 3 x \cdot x^{2} + x \cdot - 1 - 4 (5 x^{4}) - 4 (3 x^{2}) - 4 \cdot - 1 - x^{5} \cdot 1 - x^{3} \cdot 1 - - x \cdot 1}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 5.3.1.2.4

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 5.3.1.2.4.1

Mova $x^{2}$ .

$\frac{5 x^{5} + 3 (x^{2} x) + x \cdot - 1 - 4 (5 x^{4}) - 4 (3 x^{2}) - 4 \cdot - 1 - x^{5} \cdot 1 - x^{3} \cdot 1 - - x \cdot 1}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 5.3.1.2.4.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 5.3.1.2.4.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{5 x^{5} + 3 (x^{2} x^{1}) + x \cdot - 1 - 4 (5 x^{4}) - 4 (3 x^{2}) - 4 \cdot - 1 - x^{5} \cdot 1 - x^{3} \cdot 1 - - x \cdot 1}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 5.3.1.2.4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{5 x^{5} + 3 x^{2 + 1} + x \cdot - 1 - 4 (5 x^{4}) - 4 (3 x^{2}) - 4 \cdot - 1 - x^{5} \cdot 1 - x^{3} \cdot 1 - - x \cdot 1}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 5.3.1.2.4.3

Some $2$ e $1$ .

$\frac{5 x^{5} + 3 x^{3} + x \cdot - 1 - 4 (5 x^{4}) - 4 (3 x^{2}) - 4 \cdot - 1 - x^{5} \cdot 1 - x^{3} \cdot 1 - - x \cdot 1}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 5.3.1.2.5

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{5 x^{5} + 3 x^{3} - 1 \cdot x - 4 (5 x^{4}) - 4 (3 x^{2}) - 4 \cdot - 1 - x^{5} \cdot 1 - x^{3} \cdot 1 - - x \cdot 1}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 5.3.1.2.6

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{5 x^{5} + 3 x^{3} - x - 4 (5 x^{4}) - 4 (3 x^{2}) - 4 \cdot - 1 - x^{5} \cdot 1 - x^{3} \cdot 1 - - x \cdot 1}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 5.3.1.2.7

Multiplique $5$ por $- 4$ .

$\frac{5 x^{5} + 3 x^{3} - x - 20 x^{4} - 4 (3 x^{2}) - 4 \cdot - 1 - x^{5} \cdot 1 - x^{3} \cdot 1 - - x \cdot 1}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 5.3.1.2.8

Multiplique $3$ por $- 4$ .

$\frac{5 x^{5} + 3 x^{3} - x - 20 x^{4} - 12 x^{2} - 4 \cdot - 1 - x^{5} \cdot 1 - x^{3} \cdot 1 - - x \cdot 1}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 5.3.1.2.9

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$\frac{5 x^{5} + 3 x^{3} - x - 20 x^{4} - 12 x^{2} + 4 - x^{5} \cdot 1 - x^{3} \cdot 1 - - x \cdot 1}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 5.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{5 x^{5} + 3 x^{3} - x - 20 x^{4} - 12 x^{2} + 4 - x^{5} - x^{3} \cdot 1 - - x \cdot 1}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 5.3.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{5 x^{5} + 3 x^{3} - x - 20 x^{4} - 12 x^{2} + 4 - x^{5} - x^{3} - - x \cdot 1}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 5.3.1.5

Multiplique $- - x$ .

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Etapa 5.3.1.5.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{5 x^{5} + 3 x^{3} - x - 20 x^{4} - 12 x^{2} + 4 - x^{5} - x^{3} + 1 x \cdot 1}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 5.3.1.5.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{5 x^{5} + 3 x^{3} - x - 20 x^{4} - 12 x^{2} + 4 - x^{5} - x^{3} + x \cdot 1}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 5.3.1.6

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{5 x^{5} + 3 x^{3} - x - 20 x^{4} - 12 x^{2} + 4 - x^{5} - x^{3} + x}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 5.3.2

Combine os termos opostos em $5 x^{5} + 3 x^{3} - x - 20 x^{4} - 12 x^{2} + 4 - x^{5} - x^{3} + x$ .

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Etapa 5.3.2.1

Some $- x$ e $x$ .

$\frac{5 x^{5} + 3 x^{3} - 20 x^{4} - 12 x^{2} + 4 - x^{5} - x^{3} + 0}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 5.3.2.2

Some $5 x^{5} + 3 x^{3} - 20 x^{4} - 12 x^{2} + 4 - x^{5} - x^{3}$ e $0$ .

$\frac{5 x^{5} + 3 x^{3} - 20 x^{4} - 12 x^{2} + 4 - x^{5} - x^{3}}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 5.3.3

Subtraia $x^{5}$ de $5 x^{5}$ .

$\frac{4 x^{5} + 3 x^{3} - 20 x^{4} - 12 x^{2} + 4 - x^{3}}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 5.3.4

Subtraia $x^{3}$ de $3 x^{3}$ .

$\frac{4 x^{5} + 2 x^{3} - 20 x^{4} - 12 x^{2} + 4}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 5.4

Reordene os termos.

$\frac{4 x^{5} - 20 x^{4} + 2 x^{3} - 12 x^{2} + 4}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 5.5

Fatore $2$ de $4 x^{5} - 20 x^{4} + 2 x^{3} - 12 x^{2} + 4$ .

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Etapa 5.5.1

Fatore $2$ de $4 x^{5}$ .

$\frac{2 (2 x^{5}) - 20 x^{4} + 2 x^{3} - 12 x^{2} + 4}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 5.5.2

Fatore $2$ de $- 20 x^{4}$ .

$\frac{2 (2 x^{5}) + 2 (- 10 x^{4}) + 2 x^{3} - 12 x^{2} + 4}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 5.5.3

Fatore $2$ de $2 x^{3}$ .

$\frac{2 (2 x^{5}) + 2 (- 10 x^{4}) + 2 (x^{3}) - 12 x^{2} + 4}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 5.5.4

Fatore $2$ de $- 12 x^{2}$ .

$\frac{2 (2 x^{5}) + 2 (- 10 x^{4}) + 2 (x^{3}) + 2 (- 6 x^{2}) + 4}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 5.5.5

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{2 (2 x^{5}) + 2 (- 10 x^{4}) + 2 x^{3} + 2 (- 6 x^{2}) + 2 \cdot 2}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 5.5.6

Fatore $2$ de $2 (2 x^{5}) + 2 (- 10 x^{4})$ .

$\frac{2 (2 x^{5} - 10 x^{4}) + 2 x^{3} + 2 (- 6 x^{2}) + 2 \cdot 2}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 5.5.7

Fatore $2$ de $2 (2 x^{5} - 10 x^{4}) + 2 x^{3}$ .

$\frac{2 (2 x^{5} - 10 x^{4} + x^{3}) + 2 (- 6 x^{2}) + 2 \cdot 2}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 5.5.8

Fatore $2$ de $2 (2 x^{5} - 10 x^{4} + x^{3}) + 2 (- 6 x^{2})$ .

$\frac{2 (2 x^{5} - 10 x^{4} + x^{3} - 6 x^{2}) + 2 \cdot 2}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 5.5.9

Fatore $2$ de $2 (2 x^{5} - 10 x^{4} + x^{3} - 6 x^{2}) + 2 \cdot 2$ .

$\frac{2 (2 x^{5} - 10 x^{4} + x^{3} - 6 x^{2} + 2)}{{(x - 4)}^{2}}$