Álgebra Exemplos

$2 + \frac{4}{5} + \frac{8}{25} + \frac{16}{125}$

Etapa 1

Esta é uma progressão geométrica, pois existe uma razão comum entre cada termo. Nesse caso, multiplicar o termo anterior na progressão por $\frac{2}{5}$ resulta no próximo termo. Em outras palavras, $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

Progressão geométrica: $r = \frac{2}{5}$

Etapa 2

Esta é a forma de uma progressão geométrica.

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

Etapa 3

Substitua os valores de $a_{1} = 2$ e $r = \frac{2}{5}$ .

$a_{n} = 2 {(\frac{2}{5})}^{n - 1}$

Etapa 4

Aplique a regra do produto a $\frac{2}{5}$ .

$a_{n} = 2 \frac{2^{n - 1}}{5^{n - 1}}$

Etapa 5

Multiplique $2 \frac{2^{n - 1}}{5^{n - 1}}$ .

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Etapa 5.1

Combine $2$ e $\frac{2^{n - 1}}{5^{n - 1}}$ .

$a_{n} = \frac{2 \cdot 2^{n - 1}}{5^{n - 1}}$

Etapa 5.2

Multiplique $2$ por $2^{n - 1}$ somando os expoentes.

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Etapa 5.2.1

Multiplique $2$ por $2^{n - 1}$ .

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Etapa 5.2.1.1

Eleve $2$ à potência de $1$ .

$a_{n} = \frac{2^{1} \cdot 2^{n - 1}}{5^{n - 1}}$

Etapa 5.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$a_{n} = \frac{2^{1 + n - 1}}{5^{n - 1}}$

Etapa 5.2.2

Combine os termos opostos em $1 + n - 1$ .

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Etapa 5.2.2.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$a_{n} = \frac{2^{n + 0}}{5^{n - 1}}$

Etapa 5.2.2.2

Some $n$ e $0$ .

$a_{n} = \frac{2^{n}}{5^{n - 1}}$

Etapa 6

Esta é a fórmula para encontrar a soma dos $n$ primeiros termos da progressão geométrica. Para avaliá-la, encontre os valores de $r$ e $a_{1}$ .

$S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$

Etapa 7

Substitua as variáveis pelos valores conhecidos para encontrar $S_{4}$ .

$S_{4} = 2 \cdot \frac{{(\frac{2}{5})}^{4} - 1}{\frac{2}{5} - 1}$

Etapa 8

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.1

Aplique a regra do produto a $\frac{2}{5}$ .

$S_{4} = 2 \cdot \frac{\frac{2^{4}}{5^{4}} - 1}{\frac{2}{5} - 1}$

Etapa 8.2

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$S_{4} = 2 \cdot \frac{\frac{16}{5^{4}} - 1}{\frac{2}{5} - 1}$

Etapa 8.3

Eleve $5$ à potência de $4$ .

$S_{4} = 2 \cdot \frac{\frac{16}{625} - 1}{\frac{2}{5} - 1}$

Etapa 8.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{625}{625}$ .

$S_{4} = 2 \cdot \frac{\frac{16}{625} - 1 \cdot \frac{625}{625}}{\frac{2}{5} - 1}$

Etapa 8.5

Combine $- 1$ e $\frac{625}{625}$ .

$S_{4} = 2 \cdot \frac{\frac{16}{625} + \frac{- 1 \cdot 625}{625}}{\frac{2}{5} - 1}$

Etapa 8.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$S_{4} = 2 \cdot \frac{\frac{16 - 1 \cdot 625}{625}}{\frac{2}{5} - 1}$

Etapa 8.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.7.1

Multiplique $- 1$ por $625$ .

$S_{4} = 2 \cdot \frac{\frac{16 - 625}{625}}{\frac{2}{5} - 1}$

Etapa 8.7.2

Subtraia $625$ de $16$ .

$S_{4} = 2 \cdot \frac{\frac{- 609}{625}}{\frac{2}{5} - 1}$

Etapa 8.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$S_{4} = 2 \cdot \frac{- \frac{609}{625}}{\frac{2}{5} - 1}$

Etapa 9

Simplifique o denominador.

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Etapa 9.1

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$S_{4} = 2 \cdot \frac{- \frac{609}{625}}{\frac{2}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}$

Etapa 9.2

Combine $- 1$ e $\frac{5}{5}$ .

$S_{4} = 2 \cdot \frac{- \frac{609}{625}}{\frac{2}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}$

Etapa 9.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$S_{4} = 2 \cdot \frac{- \frac{609}{625}}{\frac{2 - 1 \cdot 5}{5}}$

Etapa 9.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.4.1

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$S_{4} = 2 \cdot \frac{- \frac{609}{625}}{\frac{2 - 5}{5}}$

Etapa 9.4.2

Subtraia $5$ de $2$ .

$S_{4} = 2 \cdot \frac{- \frac{609}{625}}{\frac{- 3}{5}}$

Etapa 9.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$S_{4} = 2 \cdot \frac{- \frac{609}{625}}{- \frac{3}{5}}$

Etapa 10

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$S_{4} = 2 \cdot \frac{\frac{609}{625}}{\frac{3}{5}}$

Etapa 11

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$S_{4} = 2 \cdot (\frac{609}{625} \cdot \frac{5}{3})$

Etapa 12

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 12.1

Fatore $3$ de $609$ .

$S_{4} = 2 \cdot (\frac{3 (203)}{625} \cdot \frac{5}{3})$

Etapa 12.2

Cancele o fator comum.

$S_{4} = 2 \cdot (\frac{3 \cdot 203}{625} \cdot \frac{5}{3})$

Etapa 12.3

Reescreva a expressão.

$S_{4} = 2 \cdot (\frac{203}{625} \cdot 5)$

Etapa 13

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 13.1

Fatore $5$ de $625$ .

$S_{4} = 2 \cdot (\frac{203}{5 (125)} \cdot 5)$

Etapa 13.2

Cancele o fator comum.

$S_{4} = 2 \cdot (\frac{203}{5 \cdot 125} \cdot 5)$

Etapa 13.3

Reescreva a expressão.

$S_{4} = 2 \cdot \frac{203}{125}$

Etapa 14

Multiplique $2 (\frac{203}{125})$ .

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Etapa 14.1

Combine $2$ e $\frac{203}{125}$ .

$S_{4} = \frac{2 \cdot 203}{125}$

Etapa 14.2

Multiplique $2$ por $203$ .

$S_{4} = \frac{406}{125}$