Álgebra Exemplos

$\frac{\log (t)}{\log_{8} (t)}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ é $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , em que $f (t) = \log (t)$ e $g (t) = \log_{8} (t)$ .

$\frac{\log_{8} (t) \frac{d}{d t} [\log (t)] - \log (t) \frac{d}{d t} [\log_{8} (t)]}{{\log_{8}}^{2} (t)}$

Etapa 2

A derivada de $\log (t)$ em relação a $t$ é $\frac{1}{t \ln (10)}$ .

$\frac{\log_{8} (t) \frac{1}{t \ln (10)} - \log (t) \frac{d}{d t} [\log_{8} (t)]}{{\log_{8}}^{2} (t)}$

Etapa 3

Combine $\log_{8} (t)$ e $\frac{1}{t \ln (10)}$ .

$\frac{\frac{\log_{8} (t)}{t \ln (10)} - \log (t) \frac{d}{d t} [\log_{8} (t)]}{{\log_{8}}^{2} (t)}$

Etapa 4

Multiplique $\frac{\frac{\log_{8} (t)}{t \ln (10)} - \log (t) \frac{d}{d t} [\log_{8} (t)]}{{\log_{8}}^{2} (t)}$ por $\frac{t \ln (10)}{t \ln (10)}$ .

$\frac{t \ln (10)}{t \ln (10)} \cdot \frac{\frac{\log_{8} (t)}{t \ln (10)} - \log (t) \frac{d}{d t} [\log_{8} (t)]}{{\log_{8}}^{2} (t)}$

Etapa 5

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Combine.

$\frac{t \ln (10) (\frac{\log_{8} (t)}{t \ln (10)} - \log (t) \frac{d}{d t} [\log_{8} (t)])}{t \ln (10) {\log_{8}}^{2} (t)}$

Etapa 5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{t \ln (10) \frac{\log_{8} (t)}{t \ln (10)} + t \ln (10) (- \log (t) \frac{d}{d t} [\log_{8} (t)])}{t \ln (10) {\log_{8}}^{2} (t)}$

Etapa 5.3

Cancele o fator comum de $t \ln (10)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{t \ln (10) \frac{\log_{8} (t)}{t \ln (10)} + t \ln (10) (- \log (t) \frac{d}{d t} [\log_{8} (t)])}{t \ln (10) {\log_{8}}^{2} (t)}$

Etapa 5.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\log_{8} (t) + t \ln (10) (- \log (t) \frac{d}{d t} [\log_{8} (t)])}{t \ln (10) {\log_{8}}^{2} (t)}$

Etapa 6

A derivada de $\log_{8} (t)$ em relação a $t$ é $\frac{1}{t \ln (8)}$ .

$\frac{\log_{8} (t) + t \ln (10) (- \log (t) \frac{1}{t \ln (8)})}{t \ln (10) {\log_{8}}^{2} (t)}$

Etapa 7

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Combine $\frac{1}{t \ln (8)}$ e $\log (t)$ .

$\frac{\log_{8} (t) + t \ln (10) (- \frac{\log (t)}{t \ln (8)})}{t \ln (10) {\log_{8}}^{2} (t)}$

Etapa 7.2

Combine $t$ e $\frac{\log (t)}{t \ln (8)}$ .

$\frac{\log_{8} (t) + \ln (10) (- \frac{t \log (t)}{t \ln (8)})}{t \ln (10) {\log_{8}}^{2} (t)}$

Etapa 7.3

Combine $\ln (10)$ e $\frac{t \log (t)}{t \ln (8)}$ .

$\frac{\log_{8} (t) - \frac{\ln (10) (t \log (t))}{t \ln (8)}}{t \ln (10) {\log_{8}}^{2} (t)}$

Etapa 7.4

Cancele o fator comum de $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\log_{8} (t) - \frac{\ln (10) t \log (t)}{t \ln (8)}}{t \ln (10) {\log_{8}}^{2} (t)}$

Etapa 7.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\log_{8} (t) - \frac{\ln (10) \log (t)}{\ln (8)}}{t \ln (10) {\log_{8}}^{2} (t)}$

Etapa 7.5

Reordene os termos.

$\frac{\log_{8} (t) - \frac{\ln (10) \log (t)}{\ln (8)}}{t {\log_{8}}^{2} (t) \ln (10)}$