Álgebra Exemplos

$f (x) = \sqrt{81 - x^{2}}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{81 - x^{2}}$ como ${(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 81 - x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $81 - x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (81 - x^{2})$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (81 - x^{2})$

Etapa 1.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $81 - x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (81 - x^{2})$

Etapa 1.1.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (81 - x^{2})$

Etapa 1.1.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (81 - x^{2})$

Etapa 1.1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(81 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (81 - x^{2})$

Etapa 1.1.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(81 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (81 - x^{2})$

Etapa 1.1.6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(81 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (81 - x^{2})$

Etapa 1.1.7

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(81 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (81 - x^{2})$

Etapa 1.1.7.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(81 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{{(81 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (81 - x^{2})$

Etapa 1.1.7.3

Mova ${(81 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (81 - x^{2})$

Etapa 1.1.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $81 - x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [81] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (81) + \frac{d}{d x} (- x^{2}))$

Etapa 1.1.9

Como $81$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $81$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2}))$

Etapa 1.1.10

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2})$

Etapa 1.1.11

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{2})$

Etapa 1.1.12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- (2 x))$

Etapa 1.1.13

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.13.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x)$

Etapa 1.1.13.2

Combine $- 2$ e $\frac{1}{2 {(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{- 2}{2 {(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot x$

Etapa 1.1.13.3

Combine $\frac{- 2}{2 {(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x}{2 {(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.13.4

Fatore $2$ de $- 2 x$ .

$f' (x) = \frac{2 (- x)}{2 {(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.14

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.14.1

Fatore $2$ de $2 {(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{2 (- x)}{2 ({(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 1.1.14.2

Cancele o fator comum.

$f' (x) = \frac{2 (- x)}{2 {(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.14.3

Reescreva a expressão.

$f' (x) = \frac{- x}{{(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.15

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = - \frac{x}{{(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{x}{{(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{x}{{(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{x}{{(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- \frac{x}{{(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$x = 0$

Etapa 3

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $0$ .

$0$

Etapa 4

Encontre onde a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Converta expressões com expoentes fracionários em radicais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$- \frac{x}{\sqrt{{(81 - x^{2})}^{1}}}$

Etapa 4.1.2

Qualquer número elevado a $1$ é a própria base.

$- \frac{x}{\sqrt{81 - x^{2}}}$

Etapa 4.2

Defina o denominador em $\frac{x}{\sqrt{81 - x^{2}}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$\sqrt{81 - x^{2}} = 0$

Etapa 4.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{81 - x^{2}}}^{2} = 0^{2}$

Etapa 4.3.2

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{81 - x^{2}}$ como ${(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 4.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.1

Simplifique ${({(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 4.3.2.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 4.3.2.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(81 - x^{2})}^{1} = 0^{2}$

Etapa 4.3.2.2.1.2

Simplifique.

$81 - x^{2} = 0^{2}$

Etapa 4.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$81 - x^{2} = 0$

Etapa 4.3.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1

Subtraia $81$ dos dois lados da equação.

$- x^{2} = - 81$

Etapa 4.3.3.2

Divida cada termo em $- x^{2} = - 81$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.2.1

Divida cada termo em $- x^{2} = - 81$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 81}{- 1}$

Etapa 4.3.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 81}{- 1}$

Etapa 4.3.3.2.2.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 81}{- 1}$

Etapa 4.3.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.2.3.1

Divida $- 81$ por $- 1$ .

$x^{2} = 81$

Etapa 4.3.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{81}$

Etapa 4.3.3.4

Simplifique $\pm \sqrt{81}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.4.1

Reescreva $81$ como $9^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{9^{2}}$

Etapa 4.3.3.4.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 9$

Etapa 4.3.3.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 9$

Etapa 4.3.3.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 9$

Etapa 4.3.3.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 9, - 9$

Etapa 4.4

Defina o radicando em $\sqrt{81 - x^{2}}$ como menor do que $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$81 - x^{2} < 0$

Etapa 4.5

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.1

Subtraia $81$ dos dois lados da desigualdade.

$- x^{2} < - 81$

Etapa 4.5.2

Divida cada termo em $- x^{2} < - 81$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.1

Divida cada termo em $- x^{2} < - 81$ por $- 1$ . Ao multiplicar ou dividir os dois lados de uma desigualdade por um valor negativo, inverta a direção do sinal de desigualdade.

$\frac{- x^{2}}{- 1} > \frac{- 81}{- 1}$

Etapa 4.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} > \frac{- 81}{- 1}$

Etapa 4.5.2.2.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} > \frac{- 81}{- 1}$

Etapa 4.5.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.3.1

Divida $- 81$ por $- 1$ .

$x^{2} > 81$

Etapa 4.5.3

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} > \sqrt{81}$

Etapa 4.5.4

Simplifique a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.4.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.4.1.1

Elimine os termos abaixo do radical.

$| x | > \sqrt{81}$

Etapa 4.5.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.4.2.1

Simplifique $\sqrt{81}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.4.2.1.1

Reescreva $81$ como $9^{2}$ .

$| x | > \sqrt{9^{2}}$

Etapa 4.5.4.2.1.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$| x | > | 9 |$

Etapa 4.5.4.2.1.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $9$ é $9$ .

$| x | > 9$

Etapa 4.5.5

Escreva $| x | > 9$ em partes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.5.1

Para encontrar o intervalo da primeira parte, identifique onde o interior do valor absoluto é não negativo.

$x \geq 0$

Etapa 4.5.5.2

Na parte em que $x$ é não negativo, remova o valor absoluto.

$x > 9$

Etapa 4.5.5.3

Para encontrar o intervalo da segunda parte, identifique onde o interior do valor absoluto é negativo.

$x < 0$

Etapa 4.5.5.4

Na parte em que $x$ é negativo, remova o valor absoluto e multiplique por $- 1$ .

$- x > 9$

Etapa 4.5.5.5

Escreva em partes.

${\begin{cases} x > 9 & x \geq 0 \\ - x > 9 & x < 0 \end{cases}$

Etapa 4.5.6

Encontre a intersecção de $x > 9$ e $x \geq 0$ .

$x > 9$

Etapa 4.5.7

Divida cada termo em $- x > 9$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.7.1

Divida cada termo em $- x > 9$ por $- 1$ . Ao multiplicar ou dividir os dois lados de uma desigualdade por um valor negativo, inverta a direção do sinal de desigualdade.

$\frac{- x}{- 1} < \frac{9}{- 1}$

Etapa 4.5.7.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.7.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} < \frac{9}{- 1}$

Etapa 4.5.7.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x < \frac{9}{- 1}$

Etapa 4.5.7.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.7.3.1

Divida $9$ por $- 1$ .

$x < - 9$

Etapa 4.5.8

Encontre a união das soluções.

$x < - 9$ ou $x > 9$

Etapa 4.6

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$x \leq - 9, x \geq 9$

$(- \infty, - 9] \cup [9, \infty)$

$x \leq - 9, x \geq 9$

$(- \infty, - 9] \cup [9, \infty)$

Etapa 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - 9) \cup (- 9, 0) \cup (0, 9) \cup (9, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - 9)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 10$ na expressão.

$f' (- 10) = - \frac{- 10}{{(81 - {(- 10)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1.1

Eleve $- 10$ à potência de $2$ .

$f' (- 10) = - \frac{- 10}{{(81 - 1 \cdot 100)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6.2.1.1.2

Multiplique $- 1$ por $100$ .

$f' (- 10) = - \frac{- 10}{{(81 - 100)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6.2.1.2

Subtraia $100$ de $81$ .

$f' (- 10) = - \frac{- 10}{{(- 19)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (- 10) = \frac{10}{{(- 19)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $\frac{10}{{(- 19)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{10}{{(- 19)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6.3

Em $x = - 10$ , a derivada é $\frac{10}{{(- 19)}^{\frac{1}{2}}}$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- \infty, - 9)$ .

Decréscimo em $(- \infty, - 9)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(- 9, 0)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{9}{2}$ na expressão.

$f' (- \frac{9}{2}) = - \frac{- \frac{9}{2}}{{(81 - {(- \frac{9}{2})}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f' (- \frac{9}{2}) = - (- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{{(81 - {(- \frac{9}{2})}^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 7.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{9}{2}$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = - (- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{{(81 - ({(- 1)}^{2} {(\frac{9}{2})}^{2}))}^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 7.2.2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{9}{2}$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = - (- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{{(81 - ({(- 1)}^{2} (\frac{9^{2}}{2^{2}})))}^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 7.2.2.1.2

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1.2.1

Mova ${(- 1)}^{2}$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = - (- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{{(81 + {(- 1)}^{2} \cdot (- 1 \frac{9^{2}}{2^{2}}))}^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 7.2.2.1.2.2

Multiplique ${(- 1)}^{2}$ por $- 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1.2.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $1$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = - (- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{{(81 + {(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) (\frac{9^{2}}{2^{2}})))}^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 7.2.2.1.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (- \frac{9}{2}) = - (- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{{(81 + {(- 1)}^{2 + 1} (\frac{9^{2}}{2^{2}}))}^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 7.2.2.1.2.3

Some $2$ e $1$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = - (- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{{(81 + {(- 1)}^{3} (\frac{9^{2}}{2^{2}}))}^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 7.2.2.1.3

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = - (- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{{(81 - \frac{9^{2}}{2^{2}})}^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 7.2.2.1.4

Eleve $9$ à potência de $2$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = - (- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{{(81 - \frac{81}{2^{2}})}^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 7.2.2.1.5

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = - (- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{{(81 - \frac{81}{4})}^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 7.2.2.2

Para escrever $81$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = - (- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{{(81 \cdot \frac{4}{4} - \frac{81}{4})}^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 7.2.2.3

Combine $81$ e $\frac{4}{4}$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = - (- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{{(\frac{81 \cdot 4}{4} - \frac{81}{4})}^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 7.2.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (- \frac{9}{2}) = - (- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{{(\frac{81 \cdot 4 - 81}{4})}^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 7.2.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.5.1

Multiplique $81$ por $4$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = - (- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{{(\frac{324 - 81}{4})}^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 7.2.2.5.2

Subtraia $81$ de $324$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = - (- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{{(\frac{243}{4})}^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 7.2.2.6

Aplique a regra do produto a $\frac{243}{4}$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = - (- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{\frac{243^{\frac{1}{2}}}{4^{\frac{1}{2}}}})$

Etapa 7.2.2.7

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.7.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = - (- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{\frac{243^{\frac{1}{2}}}{{(2^{2})}^{\frac{1}{2}}}})$

Etapa 7.2.2.7.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = - (- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{\frac{243^{\frac{1}{2}}}{2^{2 (\frac{1}{2})}}})$

Etapa 7.2.2.7.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.7.3.1

Cancele o fator comum.

$f' (- \frac{9}{2}) = - (- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{\frac{243^{\frac{1}{2}}}{2^{2 (\frac{1}{2})}}})$

Etapa 7.2.2.7.3.2

Reescreva a expressão.

$f' (- \frac{9}{2}) = - (- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{\frac{243^{\frac{1}{2}}}{2}})$

Etapa 7.2.2.7.4

Avalie o expoente.

$f' (- \frac{9}{2}) = - (- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{\frac{243^{\frac{1}{2}}}{2}})$

Etapa 7.2.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f' (- \frac{9}{2}) = - (- \frac{9}{2} \cdot (1 (\frac{2}{243^{\frac{1}{2}}})))$

Etapa 7.2.4

Multiplique $\frac{2}{243^{\frac{1}{2}}}$ por $1$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = - (- \frac{9}{2} \cdot \frac{2}{243^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 7.2.5

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.5.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{9}{2}$ para o numerador.

$f' (- \frac{9}{2}) = - (\frac{- 9}{2} \cdot \frac{2}{243^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 7.2.5.2

Cancele o fator comum.

$f' (- \frac{9}{2}) = - (\frac{- 9}{2} \cdot \frac{2}{243^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 7.2.5.3

Reescreva a expressão.

$f' (- \frac{9}{2}) = - (- 9 \frac{1}{243^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 7.2.6

Combine $- 9$ e $\frac{1}{243^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = - \frac{- 9}{243^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 7.2.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{9}{243^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 7.2.8

A resposta final é $\frac{9}{243^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{9}{243^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 7.3

Em $x = - \frac{9}{2}$ , a derivada é $\frac{9}{243^{\frac{1}{2}}}$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(- 9, 0)$ .

Acréscimo em $(- 9, 0)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(0, 9)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{9}{2}$ na expressão.

$f' (\frac{9}{2}) = - \frac{\frac{9}{2}}{{(81 - {(\frac{9}{2})}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f' (\frac{9}{2}) = - (\frac{9}{2} \cdot \frac{1}{{(81 - {(\frac{9}{2})}^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 8.2.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.1

Combine.

$f' (\frac{9}{2}) = - \frac{9 \cdot 1}{2 {(81 - {(\frac{9}{2})}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 8.2.2.2

Multiplique $9$ por $1$ .

$f' (\frac{9}{2}) = - \frac{9}{2 {(81 - {(\frac{9}{2})}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 8.2.3

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.3.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{9}{2}$ .

$f' (\frac{9}{2}) = - \frac{9}{2 {(81 - \frac{9^{2}}{2^{2}})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 8.2.3.1.2

Eleve $9$ à potência de $2$ .

$f' (\frac{9}{2}) = - \frac{9}{2 {(81 - \frac{81}{2^{2}})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 8.2.3.1.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f' (\frac{9}{2}) = - \frac{9}{2 {(81 - \frac{81}{4})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 8.2.3.2

Para escrever $81$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$f' (\frac{9}{2}) = - \frac{9}{2 {(81 \cdot \frac{4}{4} - \frac{81}{4})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 8.2.3.3

Combine $81$ e $\frac{4}{4}$ .

$f' (\frac{9}{2}) = - \frac{9}{2 {(\frac{81 \cdot 4}{4} - \frac{81}{4})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 8.2.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (\frac{9}{2}) = - \frac{9}{2 {(\frac{81 \cdot 4 - 81}{4})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 8.2.3.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.3.5.1

Multiplique $81$ por $4$ .

$f' (\frac{9}{2}) = - \frac{9}{2 {(\frac{324 - 81}{4})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 8.2.3.5.2

Subtraia $81$ de $324$ .

$f' (\frac{9}{2}) = - \frac{9}{2 {(\frac{243}{4})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 8.2.3.6

Aplique a regra do produto a $\frac{243}{4}$ .

$f' (\frac{9}{2}) = - \frac{9}{2 (\frac{243^{\frac{1}{2}}}{4^{\frac{1}{2}}})}$

Etapa 8.2.3.7

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.3.7.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$f' (\frac{9}{2}) = - \frac{9}{2 (\frac{243^{\frac{1}{2}}}{{(2^{2})}^{\frac{1}{2}}})}$

Etapa 8.2.3.7.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (\frac{9}{2}) = - \frac{9}{2 (\frac{243^{\frac{1}{2}}}{2^{2 (\frac{1}{2})}})}$

Etapa 8.2.3.7.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.3.7.3.1

Cancele o fator comum.

$f' (\frac{9}{2}) = - \frac{9}{2 (\frac{243^{\frac{1}{2}}}{2^{2 (\frac{1}{2})}})}$

Etapa 8.2.3.7.3.2

Reescreva a expressão.

$f' (\frac{9}{2}) = - \frac{9}{2 (\frac{243^{\frac{1}{2}}}{2})}$

Etapa 8.2.3.7.4

Avalie o expoente.

$f' (\frac{9}{2}) = - \frac{9}{2 (\frac{243^{\frac{1}{2}}}{2})}$

Etapa 8.2.4

Combine $2$ e $\frac{243^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$f' (\frac{9}{2}) = - \frac{9}{\frac{2 \cdot 243^{\frac{1}{2}}}{2}}$

Etapa 8.2.5

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.5.1

Reduza a expressão $\frac{2 \cdot 243^{\frac{1}{2}}}{2}$ cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.5.1.1

Cancele o fator comum.

$f' (\frac{9}{2}) = - \frac{9}{\frac{2 \cdot 243^{\frac{1}{2}}}{2}}$

Etapa 8.2.5.1.2

Reescreva a expressão.

$f' (\frac{9}{2}) = - \frac{9}{\frac{243^{\frac{1}{2}}}{1}}$

Etapa 8.2.5.2

Divida $243^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$f' (\frac{9}{2}) = - \frac{9}{243^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 8.2.6

A resposta final é $- \frac{9}{243^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{9}{243^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 8.3

Em $x = \frac{9}{2}$ , a derivada é $- \frac{9}{243^{\frac{1}{2}}}$ . Por ser negativa, a função diminui em $(0, 9)$ .

Decréscimo em $(0, 9)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 9

Substitua um valor do intervalo $(9, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Substitua a variável $x$ por $10$ na expressão.

$f' (10) = - \frac{10}{{(81 - {(10)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 9.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1.1.1

Eleve $10$ à potência de $2$ .

$f' (10) = - \frac{10}{{(81 - 1 \cdot 100)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 9.2.1.1.2

Multiplique $- 1$ por $100$ .

$f' (10) = - \frac{10}{{(81 - 100)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 9.2.1.2

Subtraia $100$ de $81$ .

$f' (10) = - \frac{10}{{(- 19)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 9.2.2

A resposta final é $- \frac{10}{{(- 19)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{10}{{(- 19)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 9.3

Em $x = 10$ , a derivada é $- \frac{10}{{(- 19)}^{\frac{1}{2}}}$ . Por ser negativa, a função diminui em $(9, \infty)$ .

Decréscimo em $(9, \infty)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 10

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(- 9, 0)$

Decréscimo em: $(- \infty, - 9), (0, 9), (9, \infty)$

Etapa 11