Álgebra Exemplos

$3 x^{3} + 9 x^{2} + 4 x + 12$

Etapa 1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$

$q = \pm 1, \pm 3$

Etapa 2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm \frac{1}{3}, \pm 2, \pm \frac{2}{3}, \pm 3, \pm 4, \pm \frac{4}{3}, \pm 6, \pm 12$

Etapa 3

Substitua cada raiz possível no polinômio para encontrar as raízes reais. Simplifique para verificar se o valor é $0$ , o que significa que é uma raiz.

$3 {(- 3)}^{3} + 9 {(- 3)}^{2} + 4 (- 3) + 12$

Etapa 4

Simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Então, $x = - 3$ é a raiz do polinômio.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $3$ .

$3 \cdot - 27 + 9 {(- 3)}^{2} + 4 (- 3) + 12$

Etapa 4.1.2

Multiplique $3$ por $- 27$ .

$- 81 + 9 {(- 3)}^{2} + 4 (- 3) + 12$

Etapa 4.1.3

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$- 81 + 9 \cdot 9 + 4 (- 3) + 12$

Etapa 4.1.4

Multiplique $9$ por $9$ .

$- 81 + 81 + 4 (- 3) + 12$

Etapa 4.1.5

Multiplique $4$ por $- 3$ .

$- 81 + 81 - 12 + 12$

Etapa 4.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 4.2.1

Some $- 81$ e $81$ .

$0 - 12 + 12$

Etapa 4.2.2

Subtraia $12$ de $0$ .

$- 12 + 12$

Etapa 4.2.3

Some $- 12$ e $12$ .

$0$

Etapa 5

Como $- 3$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x + 3$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio poderá ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{3 x^{3} + 9 x^{2} + 4 x + 12}{x + 3}$

Etapa 6

Depois, encontre as raízes do polinômio restante. A ordem do polinômio foi reduzida em $1$ .

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Etapa 6.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$- 3$	$3$	$9$	$4$	$12$

Etapa 6.2

O primeiro número no dividendo $(3)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$- 3$	$3$	$9$	$4$	$12$

	$3$

Etapa 6.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(3)$ pelo divisor $(- 3)$ e coloque o resultado de $(- 9)$ sob o próximo termo no dividendo $(9)$ .

$- 3$	$3$	$9$	$4$	$12$
		$- 9$
	$3$

Etapa 6.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 3$	$3$	$9$	$4$	$12$
		$- 9$
	$3$	$0$

Etapa 6.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(0)$ pelo divisor $(- 3)$ e coloque o resultado de $(0)$ sob o próximo termo no dividendo $(4)$ .

$- 3$	$3$	$9$	$4$	$12$
		$- 9$	$0$
	$3$	$0$

Etapa 6.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 3$	$3$	$9$	$4$	$12$
		$- 9$	$0$
	$3$	$0$	$4$

Etapa 6.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(4)$ pelo divisor $(- 3)$ e coloque o resultado de $(- 12)$ sob o próximo termo no dividendo $(12)$ .

$- 3$	$3$	$9$	$4$	$12$
		$- 9$	$0$	$- 12$
	$3$	$0$	$4$

Etapa 6.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 3$	$3$	$9$	$4$	$12$
		$- 9$	$0$	$- 12$
	$3$	$0$	$4$	$0$

Etapa 6.9

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$3 x^{2} + 0 x + 4$

Etapa 6.10

Simplifique o polinômio do quociente.

$3 x^{2} + 4$

Etapa 7

Resolva a equação para encontrar todas as raízes restantes.

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Etapa 7.1

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$3 x^{2} = - 4$

Etapa 7.2

Divida cada termo em $3 x^{2} = - 4$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 7.2.1

Divida cada termo em $3 x^{2} = - 4$ por $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 4}{3}$

Etapa 7.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 7.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 4}{3}$

Etapa 7.2.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 4}{3}$

Etapa 7.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x^{2} = - \frac{4}{3}$

Etapa 7.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{- \frac{4}{3}}$

Etapa 7.4

Simplifique $\pm \sqrt{- \frac{4}{3}}$ .

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Etapa 7.4.1

Reescreva $- \frac{4}{3}$ como $i^{2} \frac{2^{2}}{3}$ .

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Etapa 7.4.1.1

Reescreva $- 1$ como $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{4}{3}}$

Etapa 7.4.1.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{2^{2}}{3}}$

Etapa 7.4.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \pm i \sqrt{\frac{2^{2}}{3}}$

Etapa 7.4.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$x = \pm i \sqrt{\frac{4}{3}}$

Etapa 7.4.4

Reescreva $\sqrt{\frac{4}{3}}$ como $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$

Etapa 7.4.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.4.5.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{3}}$

Etapa 7.4.5.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm i \frac{2}{\sqrt{3}}$

Etapa 7.4.6

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Etapa 7.4.7

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 7.4.7.1

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Etapa 7.4.7.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Etapa 7.4.7.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Etapa 7.4.7.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Etapa 7.4.7.5

Some $1$ e $1$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 7.4.7.6

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Etapa 7.4.7.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 7.4.7.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 7.4.7.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 7.4.7.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.4.7.6.4.1

Cancele o fator comum.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 7.4.7.6.4.2

Reescreva a expressão.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Etapa 7.4.7.6.5

Avalie o expoente.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 7.4.8

Combine $i$ e $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$x = \pm \frac{i (2 \sqrt{3})}{3}$

Etapa 7.4.9

Mova $2$ para a esquerda de $i$ .

$x = \pm \frac{2 i \sqrt{3}}{3}$

Etapa 7.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 7.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \frac{2 i \sqrt{3}}{3}$

Etapa 7.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \frac{2 i \sqrt{3}}{3}$

Etapa 7.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \frac{2 i \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 i \sqrt{3}}{3}$

Etapa 8

O polinômio pode ser escrito como um conjunto de fatores lineares.

$(x + 3) (x - \frac{2 i \sqrt{3}}{3}) (x + \frac{2 i \sqrt{3}}{3})$

Etapa 9

Essas são as raízes (zeros) do polinômio $3 x^{3} + 9 x^{2} + 4 x + 12$ .

$x = - 3, \frac{2 i \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 i \sqrt{3}}{3}$

Etapa 10