Álgebra Exemplos

$y = x^{4} - 16 x^{3} + 94 x^{2} - 240 x + 225$

Etapa 1

Escreva $y = x^{4} - 16 x^{3} + 94 x^{2} - 240 x + 225$ como uma função.

$f (x) = x^{4} - 16 x^{3} + 94 x^{2} - 240 x + 225$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} - 16 x^{3} + 94 x^{2} - 240 x + 225$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [94 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 240 x] + \frac{d}{d x} [225]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [94 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 240 x] + \frac{d}{d x} [225]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [94 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 240 x] + \frac{d}{d x} [225]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 16 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $- 16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 16 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - 16 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [94 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 240 x] + \frac{d}{d x} [225]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$4 x^{3} - 16 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [94 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 240 x] + \frac{d}{d x} [225]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $3$ por $- 16$ .

$4 x^{3} - 48 x^{2} + \frac{d}{d x} [94 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 240 x] + \frac{d}{d x} [225]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [94 x^{2}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $94$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $94 x^{2}$ em relação a $x$ é $94 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 48 x^{2} + 94 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 240 x] + \frac{d}{d x} [225]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 x^{3} - 48 x^{2} + 94 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 240 x] + \frac{d}{d x} [225]$

Etapa 2.3.3

Multiplique $2$ por $94$ .

$4 x^{3} - 48 x^{2} + 188 x + \frac{d}{d x} [- 240 x] + \frac{d}{d x} [225]$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 240 x]$ .

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Etapa 2.4.1

Como $- 240$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 240 x$ em relação a $x$ é $- 240 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} - 48 x^{2} + 188 x - 240 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [225]$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 x^{3} - 48 x^{2} + 188 x - 240 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [225]$

Etapa 2.4.3

Multiplique $- 240$ por $1$ .

$4 x^{3} - 48 x^{2} + 188 x - 240 + \frac{d}{d x} [225]$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.5.1

Como $225$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $225$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 x^{3} - 48 x^{2} + 188 x - 240 + 0$

Etapa 2.5.2

Some $4 x^{3} - 48 x^{2} + 188 x - 240$ e $0$ .

$4 x^{3} - 48 x^{2} + 188 x - 240$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{3} - 48 x^{2} + 188 x - 240$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [188 x] + \frac{d}{d x} [- 240]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (188 x) + \frac{d}{d x} (- 240)$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{3}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (188 x) + \frac{d}{d x} (- 240)$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (188 x) + \frac{d}{d x} (- 240)$

Etapa 3.2.3

Multiplique $3$ por $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (188 x) + \frac{d}{d x} (- 240)$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 48 x^{2}]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $- 48$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 48 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (188 x) + \frac{d}{d x} (- 240)$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 (2 x) + \frac{d}{d x} (188 x) + \frac{d}{d x} (- 240)$

Etapa 3.3.3

Multiplique $2$ por $- 48$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 96 x + \frac{d}{d x} (188 x) + \frac{d}{d x} (- 240)$

Etapa 3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [188 x]$ .

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Etapa 3.4.1

Como $188$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $188 x$ em relação a $x$ é $188 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 96 x + 188 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 240)$

Etapa 3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 96 x + 188 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 240)$

Etapa 3.4.3

Multiplique $188$ por $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 96 x + 188 + \frac{d}{d x} (- 240)$

Etapa 3.5

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 3.5.1

Como $- 240$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 240$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 96 x + 188 + 0$

Etapa 3.5.2

Some $12 x^{2} - 96 x + 188$ e $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 96 x + 188$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$4 x^{3} - 48 x^{2} + 188 x - 240 = 0$

Etapa 5

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 5.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1.1

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (94 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 240 x) + \frac{d}{d x} (225)$

Etapa 5.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (94 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 240 x) + \frac{d}{d x} (225)$

Etapa 5.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 16 x^{3}]$ .

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Etapa 5.1.2.1

Como $- 16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 16 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 16 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (94 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 240 x) + \frac{d}{d x} (225)$

Etapa 5.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 16 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (94 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 240 x) + \frac{d}{d x} (225)$

Etapa 5.1.2.3

Multiplique $3$ por $- 16$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 48 x^{2} + \frac{d}{d x} (94 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 240 x) + \frac{d}{d x} (225)$

Etapa 5.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [94 x^{2}]$ .

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Etapa 5.1.3.1

Como $94$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $94 x^{2}$ em relação a $x$ é $94 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 48 x^{2} + 94 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 240 x) + \frac{d}{d x} (225)$

Etapa 5.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 48 x^{2} + 94 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 240 x) + \frac{d}{d x} (225)$

Etapa 5.1.3.3

Multiplique $2$ por $94$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 48 x^{2} + 188 x + \frac{d}{d x} (- 240 x) + \frac{d}{d x} (225)$

Etapa 5.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 240 x]$ .

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Etapa 5.1.4.1

Como $- 240$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 240 x$ em relação a $x$ é $- 240 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 48 x^{2} + 188 x - 240 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (225)$

Etapa 5.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 48 x^{2} + 188 x - 240 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (225)$

Etapa 5.1.4.3

Multiplique $- 240$ por $1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 48 x^{2} + 188 x - 240 + \frac{d}{d x} (225)$

Etapa 5.1.5

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 5.1.5.1

Como $225$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $225$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 48 x^{2} + 188 x - 240 + 0$

Etapa 5.1.5.2

Some $4 x^{3} - 48 x^{2} + 188 x - 240$ e $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 48 x^{2} + 188 x - 240$

Etapa 5.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $4 x^{3} - 48 x^{2} + 188 x - 240$ .

$4 x^{3} - 48 x^{2} + 188 x - 240$

Etapa 6

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $4 x^{3} - 48 x^{2} + 188 x - 240 = 0$ .

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Etapa 6.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$4 x^{3} - 48 x^{2} + 188 x - 240 = 0$

Etapa 6.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 6.2.1

Fatore $4$ de $4 x^{3} - 48 x^{2} + 188 x - 240$ .

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Etapa 6.2.1.1

Fatore $4$ de $4 x^{3}$ .

$4 (x^{3}) - 48 x^{2} + 188 x - 240 = 0$

Etapa 6.2.1.2

Fatore $4$ de $- 48 x^{2}$ .

$4 (x^{3}) + 4 (- 12 x^{2}) + 188 x - 240 = 0$

Etapa 6.2.1.3

Fatore $4$ de $188 x$ .

$4 (x^{3}) + 4 (- 12 x^{2}) + 4 (47 x) - 240 = 0$

Etapa 6.2.1.4

Fatore $4$ de $- 240$ .

$4 x^{3} + 4 (- 12 x^{2}) + 4 (47 x) + 4 \cdot - 60 = 0$

Etapa 6.2.1.5

Fatore $4$ de $4 x^{3} + 4 (- 12 x^{2})$ .

$4 (x^{3} - 12 x^{2}) + 4 (47 x) + 4 \cdot - 60 = 0$

Etapa 6.2.1.6

Fatore $4$ de $4 (x^{3} - 12 x^{2}) + 4 (47 x)$ .

$4 (x^{3} - 12 x^{2} + 47 x) + 4 \cdot - 60 = 0$

Etapa 6.2.1.7

Fatore $4$ de $4 (x^{3} - 12 x^{2} + 47 x) + 4 \cdot - 60$ .

$4 (x^{3} - 12 x^{2} + 47 x - 60) = 0$

Etapa 6.2.2

Fatore $x^{3} - 12 x^{2} + 47 x - 60$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 6.2.2.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 60, \pm 2, \pm 30, \pm 3, \pm 20, \pm 4, \pm 15, \pm 5, \pm 12, \pm 6, \pm 10$

$q = \pm 1$

Etapa 6.2.2.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 60, \pm 2, \pm 30, \pm 3, \pm 20, \pm 4, \pm 15, \pm 5, \pm 12, \pm 6, \pm 10$

Etapa 6.2.2.3

Substitua $3$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $3$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 6.2.2.3.1

Substitua $3$ no polinômio.

$3^{3} - 12 \cdot 3^{2} + 47 \cdot 3 - 60$

Etapa 6.2.2.3.2

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$27 - 12 \cdot 3^{2} + 47 \cdot 3 - 60$

Etapa 6.2.2.3.3

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$27 - 12 \cdot 9 + 47 \cdot 3 - 60$

Etapa 6.2.2.3.4

Multiplique $- 12$ por $9$ .

$27 - 108 + 47 \cdot 3 - 60$

Etapa 6.2.2.3.5

Subtraia $108$ de $27$ .

$- 81 + 47 \cdot 3 - 60$

Etapa 6.2.2.3.6

Multiplique $47$ por $3$ .

$- 81 + 141 - 60$

Etapa 6.2.2.3.7

Some $- 81$ e $141$ .

$60 - 60$

Etapa 6.2.2.3.8

Subtraia $60$ de $60$ .

$0$

Etapa 6.2.2.4

Como $3$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 3$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{3} - 12 x^{2} + 47 x - 60}{x - 3}$

Etapa 6.2.2.5

Divida $x^{3} - 12 x^{2} + 47 x - 60$ por $x - 3$ .

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Etapa 6.2.2.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$3$

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$47 x$

$60$

Etapa 6.2.2.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$47 x$	-	$60$

Etapa 6.2.2.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$47 x$	-	$60$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Etapa 6.2.2.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{3} - 3 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$47 x$	-	$60$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Etapa 6.2.2.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$47 x$	-	$60$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$

Etapa 6.2.2.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$47 x$	-	$60$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$47 x$

Etapa 6.2.2.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 9 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$9 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$47 x$	-	$60$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$47 x$

Etapa 6.2.2.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$9 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$47 x$	-	$60$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$47 x$
					-	$9 x^{2}$	+	$27 x$

Etapa 6.2.2.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 9 x^{2} + 27 x$ .

				$x^{2}$	-	$9 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$47 x$	-	$60$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$47 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$27 x$

Etapa 6.2.2.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$9 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$47 x$	-	$60$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$47 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$27 x$
							+	$20 x$

Etapa 6.2.2.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$	-	$9 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$47 x$	-	$60$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$47 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$27 x$
							+	$20 x$	-	$60$

Etapa 6.2.2.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $20 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$9 x$	+	$20$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$47 x$	-	$60$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$47 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$27 x$
							+	$20 x$	-	$60$

Etapa 6.2.2.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$9 x$	+	$20$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$47 x$	-	$60$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$47 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$27 x$
							+	$20 x$	-	$60$
							+	$20 x$	-	$60$

Etapa 6.2.2.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $20 x - 60$ .

				$x^{2}$	-	$9 x$	+	$20$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$47 x$	-	$60$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$47 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$27 x$
							+	$20 x$	-	$60$
							-	$20 x$	+	$60$

Etapa 6.2.2.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$9 x$	+	$20$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$47 x$	-	$60$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$47 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$27 x$
							+	$20 x$	-	$60$
							-	$20 x$	+	$60$
										$0$

Etapa 6.2.2.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$x^{2} - 9 x + 20$

Etapa 6.2.2.6

Escreva $x^{3} - 12 x^{2} + 47 x - 60$ como um conjunto de fatores.

$4 ((x - 3) (x^{2} - 9 x + 20)) = 0$

Etapa 6.2.3

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1

Fatore $x^{2} - 9 x + 20$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1.1

Fatore $x^{2} - 9 x + 20$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $20$ e cuja soma é $- 9$ .

$- 5, - 4$

Etapa 6.2.3.1.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$4 ((x - 3) ((x - 5) (x - 4))) = 0$

Etapa 6.2.3.1.2

Remova os parênteses desnecessários.

$4 ((x - 3) (x - 5) (x - 4)) = 0$

Etapa 6.2.3.2

Remova os parênteses desnecessários.

$4 (x - 3) (x - 5) (x - 4) = 0$

Etapa 6.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x - 5 = 0$

$x - 4 = 0$

Etapa 6.4

Defina $x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 6.4.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 6.5

Defina $x - 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1

Defina $x - 5$ como igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Etapa 6.5.2

Some $5$ aos dois lados da equação.

$x = 5$

Etapa 6.6

Defina $x - 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.1

Defina $x - 4$ como igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Etapa 6.6.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 6.7

A solução final são todos os valores que tornam $4 (x - 3) (x - 5) (x - 4) = 0$ verdadeiro.

$x = 3, 5, 4$

Etapa 7

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 8

Pontos críticos para avaliar.

$x = 3, 5, 4$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada em $x = 3$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$12 {(3)}^{2} - 96 \cdot 3 + 188$

Etapa 10

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$12 \cdot 9 - 96 \cdot 3 + 188$

Etapa 10.1.2

Multiplique $12$ por $9$ .

$108 - 96 \cdot 3 + 188$

Etapa 10.1.3

Multiplique $- 96$ por $3$ .

$108 - 288 + 188$

Etapa 10.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1

Subtraia $288$ de $108$ .

$- 180 + 188$

Etapa 10.2.2

Some $- 180$ e $188$ .

$8$

Etapa 11

$x = 3$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 3$ é um mínimo local

Etapa 12

Encontre o valor y quando $x = 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Substitua a variável $x$ por $3$ na expressão.

$f (3) = {(3)}^{4} - 16 {(3)}^{3} + 94 {(3)}^{2} - 240 \cdot 3 + 225$

Etapa 12.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1.1

Eleve $3$ à potência de $4$ .

$f (3) = 81 - 16 {(3)}^{3} + 94 {(3)}^{2} - 240 \cdot 3 + 225$

Etapa 12.2.1.2

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$f (3) = 81 - 16 \cdot 27 + 94 {(3)}^{2} - 240 \cdot 3 + 225$

Etapa 12.2.1.3

Multiplique $- 16$ por $27$ .

$f (3) = 81 - 432 + 94 {(3)}^{2} - 240 \cdot 3 + 225$

Etapa 12.2.1.4

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f (3) = 81 - 432 + 94 \cdot 9 - 240 \cdot 3 + 225$

Etapa 12.2.1.5

Multiplique $94$ por $9$ .

$f (3) = 81 - 432 + 846 - 240 \cdot 3 + 225$

Etapa 12.2.1.6

Multiplique $- 240$ por $3$ .

$f (3) = 81 - 432 + 846 - 720 + 225$

Etapa 12.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.2.1

Subtraia $432$ de $81$ .

$f (3) = - 351 + 846 - 720 + 225$

Etapa 12.2.2.2

Some $- 351$ e $846$ .

$f (3) = 495 - 720 + 225$

Etapa 12.2.2.3

Subtraia $720$ de $495$ .

$f (3) = - 225 + 225$

Etapa 12.2.2.4

Some $- 225$ e $225$ .

$f (3) = 0$

Etapa 12.2.3

A resposta final é $0$ .

$y = 0$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada em $x = 5$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$12 {(5)}^{2} - 96 \cdot 5 + 188$

Etapa 14

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1.1

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$12 \cdot 25 - 96 \cdot 5 + 188$

Etapa 14.1.2

Multiplique $12$ por $25$ .

$300 - 96 \cdot 5 + 188$

Etapa 14.1.3

Multiplique $- 96$ por $5$ .

$300 - 480 + 188$

Etapa 14.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.1

Subtraia $480$ de $300$ .

$- 180 + 188$

Etapa 14.2.2

Some $- 180$ e $188$ .

$8$

Etapa 15

$x = 5$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 5$ é um mínimo local

Etapa 16

Encontre o valor y quando $x = 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.1

Substitua a variável $x$ por $5$ na expressão.

$f (5) = {(5)}^{4} - 16 {(5)}^{3} + 94 {(5)}^{2} - 240 \cdot 5 + 225$

Etapa 16.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1.1

Eleve $5$ à potência de $4$ .

$f (5) = 625 - 16 {(5)}^{3} + 94 {(5)}^{2} - 240 \cdot 5 + 225$

Etapa 16.2.1.2

Eleve $5$ à potência de $3$ .

$f (5) = 625 - 16 \cdot 125 + 94 {(5)}^{2} - 240 \cdot 5 + 225$

Etapa 16.2.1.3

Multiplique $- 16$ por $125$ .

$f (5) = 625 - 2000 + 94 {(5)}^{2} - 240 \cdot 5 + 225$

Etapa 16.2.1.4

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$f (5) = 625 - 2000 + 94 \cdot 25 - 240 \cdot 5 + 225$

Etapa 16.2.1.5

Multiplique $94$ por $25$ .

$f (5) = 625 - 2000 + 2350 - 240 \cdot 5 + 225$

Etapa 16.2.1.6

Multiplique $- 240$ por $5$ .

$f (5) = 625 - 2000 + 2350 - 1200 + 225$

Etapa 16.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.2.1

Subtraia $2000$ de $625$ .

$f (5) = - 1375 + 2350 - 1200 + 225$

Etapa 16.2.2.2

Some $- 1375$ e $2350$ .

$f (5) = 975 - 1200 + 225$

Etapa 16.2.2.3

Subtraia $1200$ de $975$ .

$f (5) = - 225 + 225$

Etapa 16.2.2.4

Some $- 225$ e $225$ .

$f (5) = 0$

Etapa 16.2.3

A resposta final é $0$ .

$y = 0$

Etapa 17

Avalie a segunda derivada em $x = 4$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$12 {(4)}^{2} - 96 \cdot 4 + 188$

Etapa 18

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.1.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$12 \cdot 16 - 96 \cdot 4 + 188$

Etapa 18.1.2

Multiplique $12$ por $16$ .

$192 - 96 \cdot 4 + 188$

Etapa 18.1.3

Multiplique $- 96$ por $4$ .

$192 - 384 + 188$

Etapa 18.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.2.1

Subtraia $384$ de $192$ .

$- 192 + 188$

Etapa 18.2.2

Some $- 192$ e $188$ .

$- 4$

Etapa 19

$x = 4$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 4$ é um máximo local

Etapa 20

Encontre o valor y quando $x = 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f (4) = {(4)}^{4} - 16 {(4)}^{3} + 94 {(4)}^{2} - 240 \cdot 4 + 225$

Etapa 20.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.2.1.1

Eleve $4$ à potência de $4$ .

$f (4) = 256 - 16 {(4)}^{3} + 94 {(4)}^{2} - 240 \cdot 4 + 225$

Etapa 20.2.1.2

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$f (4) = 256 - 16 \cdot 64 + 94 {(4)}^{2} - 240 \cdot 4 + 225$

Etapa 20.2.1.3

Multiplique $- 16$ por $64$ .

$f (4) = 256 - 1024 + 94 {(4)}^{2} - 240 \cdot 4 + 225$

Etapa 20.2.1.4

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$f (4) = 256 - 1024 + 94 \cdot 16 - 240 \cdot 4 + 225$

Etapa 20.2.1.5

Multiplique $94$ por $16$ .

$f (4) = 256 - 1024 + 1504 - 240 \cdot 4 + 225$

Etapa 20.2.1.6

Multiplique $- 240$ por $4$ .

$f (4) = 256 - 1024 + 1504 - 960 + 225$

Etapa 20.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.2.2.1

Subtraia $1024$ de $256$ .

$f (4) = - 768 + 1504 - 960 + 225$

Etapa 20.2.2.2

Some $- 768$ e $1504$ .

$f (4) = 736 - 960 + 225$

Etapa 20.2.2.3

Subtraia $960$ de $736$ .

$f (4) = - 224 + 225$

Etapa 20.2.2.4

Some $- 224$ e $225$ .

$f (4) = 1$

Etapa 20.2.3

A resposta final é $1$ .

$y = 1$

Etapa 21

Esses são os extremos locais para $f (x) = x^{4} - 16 x^{3} + 94 x^{2} - 240 x + 225$ .

$(3, 0)$ é um mínimo local

$(5, 0)$ é um mínimo local

$(4, 1)$ é um máximo local

Etapa 22