Álgebra Exemplos

$4 x^{4} + 2 x^{3} - 8 x^{2} - 5 x + 2$

Etapa 1

Escreva $4 x^{4} + 2 x^{3} - 8 x^{2} - 5 x + 2$ como uma função.

$f (x) = 4 x^{4} + 2 x^{3} - 8 x^{2} - 5 x + 2$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{4} + 2 x^{3} - 8 x^{2} - 5 x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{4}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $4$ por $4$ .

$16 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{3}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$16 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$16 x^{3} + 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.3.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$16 x^{3} + 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$16 x^{3} + 6 x^{2} - 8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$16 x^{3} + 6 x^{2} - 8 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.4.3

Multiplique $2$ por $- 8$ .

$16 x^{3} + 6 x^{2} - 16 x + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.5

Avalie $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 x$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$16 x^{3} + 6 x^{2} - 16 x - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$16 x^{3} + 6 x^{2} - 16 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.5.3

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$16 x^{3} + 6 x^{2} - 16 x - 5 + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$16 x^{3} + 6 x^{2} - 16 x - 5 + 0$

Etapa 2.6.2

Some $16 x^{3} + 6 x^{2} - 16 x - 5$ e $0$ .

$16 x^{3} + 6 x^{2} - 16 x - 5$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $16 x^{3} + 6 x^{2} - 16 x - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16 x) + \frac{d}{d x} (- 5)$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [16 x^{3}]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $16 x^{3}$ em relação a $x$ é $16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 16 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16 x) + \frac{d}{d x} (- 5)$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = 16 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16 x) + \frac{d}{d x} (- 5)$

Etapa 3.2.3

Multiplique $3$ por $16$ .

$f'' (x) = 48 x^{2} + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16 x) + \frac{d}{d x} (- 5)$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x^{2}$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 48 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16 x) + \frac{d}{d x} (- 5)$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 48 x^{2} + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 16 x) + \frac{d}{d x} (- 5)$

Etapa 3.3.3

Multiplique $2$ por $6$ .

$f'' (x) = 48 x^{2} + 12 x + \frac{d}{d x} (- 16 x) + \frac{d}{d x} (- 5)$

Etapa 3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 16 x]$ .

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Etapa 3.4.1

Como $- 16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 16 x$ em relação a $x$ é $- 16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 48 x^{2} + 12 x - 16 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 5)$

Etapa 3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 48 x^{2} + 12 x - 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 5)$

Etapa 3.4.3

Multiplique $- 16$ por $1$ .

$f'' (x) = 48 x^{2} + 12 x - 16 + \frac{d}{d x} (- 5)$

Etapa 3.5

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 3.5.1

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 48 x^{2} + 12 x - 16 + 0$

Etapa 3.5.2

Some $48 x^{2} + 12 x - 16$ e $0$ .

$f'' (x) = 48 x^{2} + 12 x - 16$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$16 x^{3} + 6 x^{2} - 16 x - 5 = 0$

Etapa 5

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

$f' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{4}) + \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 5.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{4}]$ .

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Etapa 5.1.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{4}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 5.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f' (x) = 4 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 5.1.2.3

Multiplique $4$ por $4$ .

$f' (x) = 16 x^{3} + \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 5.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Etapa 5.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{3}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 16 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 5.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f' (x) = 16 x^{3} + 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 5.1.3.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$f' (x) = 16 x^{3} + 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 8 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 5.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ .

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Etapa 5.1.4.1

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 16 x^{3} + 6 x^{2} - 8 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 5.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = 16 x^{3} + 6 x^{2} - 8 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 5.1.4.3

Multiplique $2$ por $- 8$ .

$f' (x) = 16 x^{3} + 6 x^{2} - 16 x + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 5.1.5

Avalie $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

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Etapa 5.1.5.1

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 x$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 16 x^{3} + 6 x^{2} - 16 x - 5 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 5.1.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 16 x^{3} + 6 x^{2} - 16 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 5.1.5.3

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$f' (x) = 16 x^{3} + 6 x^{2} - 16 x - 5 + \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 5.1.6

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 5.1.6.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = 16 x^{3} + 6 x^{2} - 16 x - 5 + 0$

Etapa 5.1.6.2

Some $16 x^{3} + 6 x^{2} - 16 x - 5$ e $0$ .

$f' (x) = 16 x^{3} + 6 x^{2} - 16 x - 5$

Etapa 5.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $16 x^{3} + 6 x^{2} - 16 x - 5$ .

$16 x^{3} + 6 x^{2} - 16 x - 5$

Etapa 6

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $16 x^{3} + 6 x^{2} - 16 x - 5 = 0$ .

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Etapa 6.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$16 x^{3} + 6 x^{2} - 16 x - 5 = 0$

Etapa 6.2

Represente cada lado da equação em um gráfico. A solução é o valor x do ponto de intersecção.

$x \approx - 1.04556446, - 0.30604123, 0.9766057$

Etapa 7

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 7.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 8

Pontos críticos para avaliar.

$x = - 1.04556446, - 0.30604123, 0.9766057$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada em $x = - 1.04556446$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$48 {(- 1.04556446)}^{2} + 12 (- 1.04556446) - 16$

Etapa 10

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 10.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.1.1

Eleve $- 1.04556446$ à potência de $2$ .

$48 \cdot 1.09320505 + 12 (- 1.04556446) - 16$

Etapa 10.1.2

Multiplique $48$ por $1.09320505$ .

$52.47384277 + 12 (- 1.04556446) - 16$

Etapa 10.1.3

Multiplique $12$ por $- 1.04556446$ .

$52.47384277 - 12.54677362 - 16$

Etapa 10.2

Simplifique subtraindo os números.

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Etapa 10.2.1

Subtraia $12.54677362$ de $52.47384277$ .

$39.92706915 - 16$

Etapa 10.2.2

Subtraia $16$ de $39.92706915$ .

$23.92706915$

Etapa 11

$x = - 1.04556446$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - 1.04556446$ é um mínimo local

Etapa 12

Encontre o valor y quando $x = - 1.04556446$ .

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Etapa 12.1

Substitua a variável $x$ por $- 1.04556446$ na expressão.

$f (- 1.04556446) = 4 {(- 1.04556446)}^{4} + 2 {(- 1.04556446)}^{3} - 8 {(- 1.04556446)}^{2} - 5 \cdot - 1.04556446 + 2$

Etapa 12.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 12.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.2.1.1

Eleve $- 1.04556446$ à potência de $4$ .

$f (- 1.04556446) = 4 \cdot 1.19509729 + 2 {(- 1.04556446)}^{3} - 8 {(- 1.04556446)}^{2} - 5 \cdot - 1.04556446 + 2$

Etapa 12.2.1.2

Multiplique $4$ por $1.19509729$ .

$f (- 1.04556446) = 4.78038919 + 2 {(- 1.04556446)}^{3} - 8 {(- 1.04556446)}^{2} - 5 \cdot - 1.04556446 + 2$

Etapa 12.2.1.3

Eleve $- 1.04556446$ à potência de $3$ .

$f (- 1.04556446) = 4.78038919 + 2 \cdot - 1.14301636 - 8 {(- 1.04556446)}^{2} - 5 \cdot - 1.04556446 + 2$

Etapa 12.2.1.4

Multiplique $2$ por $- 1.14301636$ .

$f (- 1.04556446) = 4.78038919 - 2.28603273 - 8 {(- 1.04556446)}^{2} - 5 \cdot - 1.04556446 + 2$

Etapa 12.2.1.5

Eleve $- 1.04556446$ à potência de $2$ .

$f (- 1.04556446) = 4.78038919 - 2.28603273 - 8 \cdot 1.09320505 - 5 \cdot - 1.04556446 + 2$

Etapa 12.2.1.6

Multiplique $- 8$ por $1.09320505$ .

$f (- 1.04556446) = 4.78038919 - 2.28603273 - 8.74564046 - 5 \cdot - 1.04556446 + 2$

Etapa 12.2.1.7

Multiplique $- 5$ por $- 1.04556446$ .

$f (- 1.04556446) = 4.78038919 - 2.28603273 - 8.74564046 + 5.22782234 + 2$

Etapa 12.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.2.1

Subtraia $2.28603273$ de $4.78038919$ .

$f (- 1.04556446) = 2.49435646 - 8.74564046 + 5.22782234 + 2$

Etapa 12.2.2.2

Subtraia $8.74564046$ de $2.49435646$ .

$f (- 1.04556446) = - 6.25128399 + 5.22782234 + 2$

Etapa 12.2.2.3

Some $- 6.25128399$ e $5.22782234$ .

$f (- 1.04556446) = - 1.02346165 + 2$

Etapa 12.2.2.4

Some $- 1.02346165$ e $2$ .

$f (- 1.04556446) = 0.97653834$

Etapa 12.2.3

A resposta final é $0.97653834$ .

$y = 0.97653834$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada em $x = - 0.30604123$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$48 {(- 0.30604123)}^{2} + 12 (- 0.30604123) - 16$

Etapa 14

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1.1

Eleve $- 0.30604123$ à potência de $2$ .

$48 \cdot 0.09366123 + 12 (- 0.30604123) - 16$

Etapa 14.1.2

Multiplique $48$ por $0.09366123$ .

$4.49573945 + 12 (- 0.30604123) - 16$

Etapa 14.1.3

Multiplique $12$ por $- 0.30604123$ .

$4.49573945 - 3.67249484 - 16$

Etapa 14.2

Simplifique subtraindo os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.1

Subtraia $3.67249484$ de $4.49573945$ .

$0.82324461 - 16$

Etapa 14.2.2

Subtraia $16$ de $0.82324461$ .

$- 15.17675538$

Etapa 15

$x = - 0.30604123$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - 0.30604123$ é um máximo local

Etapa 16

Encontre o valor y quando $x = - 0.30604123$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.1

Substitua a variável $x$ por $- 0.30604123$ na expressão.

$f (- 0.30604123) = 4 {(- 0.30604123)}^{4} + 2 {(- 0.30604123)}^{3} - 8 {(- 0.30604123)}^{2} - 5 \cdot - 0.30604123 + 2$

Etapa 16.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1.1

Eleve $- 0.30604123$ à potência de $4$ .

$f (- 0.30604123) = 4 \cdot 0.00877242 + 2 {(- 0.30604123)}^{3} - 8 {(- 0.30604123)}^{2} - 5 \cdot - 0.30604123 + 2$

Etapa 16.2.1.2

Multiplique $4$ por $0.00877242$ .

$f (- 0.30604123) = 0.03508971 + 2 {(- 0.30604123)}^{3} - 8 {(- 0.30604123)}^{2} - 5 \cdot - 0.30604123 + 2$

Etapa 16.2.1.3

Eleve $- 0.30604123$ à potência de $3$ .

$f (- 0.30604123) = 0.03508971 + 2 \cdot - 0.0286642 - 8 {(- 0.30604123)}^{2} - 5 \cdot - 0.30604123 + 2$

Etapa 16.2.1.4

Multiplique $2$ por $- 0.0286642$ .

$f (- 0.30604123) = 0.03508971 - 0.0573284 - 8 {(- 0.30604123)}^{2} - 5 \cdot - 0.30604123 + 2$

Etapa 16.2.1.5

Eleve $- 0.30604123$ à potência de $2$ .

$f (- 0.30604123) = 0.03508971 - 0.0573284 - 8 \cdot 0.09366123 - 5 \cdot - 0.30604123 + 2$

Etapa 16.2.1.6

Multiplique $- 8$ por $0.09366123$ .

$f (- 0.30604123) = 0.03508971 - 0.0573284 - 0.7492899 - 5 \cdot - 0.30604123 + 2$

Etapa 16.2.1.7

Multiplique $- 5$ por $- 0.30604123$ .

$f (- 0.30604123) = 0.03508971 - 0.0573284 - 0.7492899 + 1.53020618 + 2$

Etapa 16.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.2.1

Subtraia $0.0573284$ de $0.03508971$ .

$f (- 0.30604123) = - 0.02223869 - 0.7492899 + 1.53020618 + 2$

Etapa 16.2.2.2

Subtraia $0.7492899$ de $- 0.02223869$ .

$f (- 0.30604123) = - 0.7715286 + 1.53020618 + 2$

Etapa 16.2.2.3

Some $- 0.7715286$ e $1.53020618$ .

$f (- 0.30604123) = 0.75867758 + 2$

Etapa 16.2.2.4

Some $0.75867758$ e $2$ .

$f (- 0.30604123) = 2.75867758$

Etapa 16.2.3

A resposta final é $2.75867758$ .

$y = 2.75867758$

Etapa 17

Avalie a segunda derivada em $x = 0.9766057$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$48 {(0.9766057)}^{2} + 12 (0.9766057) - 16$

Etapa 18

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.1.1

Eleve $0.9766057$ à potência de $2$ .

$48 \cdot 0.9537587 + 12 (0.9766057) - 16$

Etapa 18.1.2

Multiplique $48$ por $0.9537587$ .

$45.78041777 + 12 (0.9766057) - 16$

Etapa 18.1.3

Multiplique $12$ por $0.9766057$ .

$45.78041777 + 11.71926846 - 16$

Etapa 18.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.2.1

Some $45.78041777$ e $11.71926846$ .

$57.49968623 - 16$

Etapa 18.2.2

Subtraia $16$ de $57.49968623$ .

$41.49968623$

Etapa 19

$x = 0.9766057$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 0.9766057$ é um mínimo local

Etapa 20

Encontre o valor y quando $x = 0.9766057$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.1

Substitua a variável $x$ por $0.9766057$ na expressão.

$f (0.9766057) = 4 {(0.9766057)}^{4} + 2 {(0.9766057)}^{3} - 8 {(0.9766057)}^{2} - 5 \cdot 0.9766057 + 2$

Etapa 20.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.2.1.1

Eleve $0.9766057$ à potência de $4$ .

$f (0.9766057) = 4 \cdot 0.90965566 + 2 {(0.9766057)}^{3} - 8 {(0.9766057)}^{2} - 5 \cdot 0.9766057 + 2$

Etapa 20.2.1.2

Multiplique $4$ por $0.90965566$ .

$f (0.9766057) = 3.63862265 + 2 {(0.9766057)}^{3} - 8 {(0.9766057)}^{2} - 5 \cdot 0.9766057 + 2$

Etapa 20.2.1.3

Eleve $0.9766057$ à potência de $3$ .

$f (0.9766057) = 3.63862265 + 2 \cdot 0.93144619 - 8 {(0.9766057)}^{2} - 5 \cdot 0.9766057 + 2$

Etapa 20.2.1.4

Multiplique $2$ por $0.93144619$ .

$f (0.9766057) = 3.63862265 + 1.86289238 - 8 {(0.9766057)}^{2} - 5 \cdot 0.9766057 + 2$

Etapa 20.2.1.5

Eleve $0.9766057$ à potência de $2$ .

$f (0.9766057) = 3.63862265 + 1.86289238 - 8 \cdot 0.9537587 - 5 \cdot 0.9766057 + 2$

Etapa 20.2.1.6

Multiplique $- 8$ por $0.9537587$ .

$f (0.9766057) = 3.63862265 + 1.86289238 - 7.63006962 - 5 \cdot 0.9766057 + 2$

Etapa 20.2.1.7

Multiplique $- 5$ por $0.9766057$ .

$f (0.9766057) = 3.63862265 + 1.86289238 - 7.63006962 - 4.88302852 + 2$

Etapa 20.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.2.2.1

Some $3.63862265$ e $1.86289238$ .

$f (0.9766057) = 5.50151504 - 7.63006962 - 4.88302852 + 2$

Etapa 20.2.2.2

Subtraia $7.63006962$ de $5.50151504$ .

$f (0.9766057) = - 2.12855458 - 4.88302852 + 2$

Etapa 20.2.2.3

Subtraia $4.88302852$ de $- 2.12855458$ .

$f (0.9766057) = - 7.01158311 + 2$

Etapa 20.2.2.4

Some $- 7.01158311$ e $2$ .

$f (0.9766057) = - 5.01158311$

Etapa 20.2.3

A resposta final é $- 5.01158311$ .

$y = - 5.01158311$

Etapa 21

Esses são os extremos locais para $f (x) = 4 x^{4} + 2 x^{3} - 8 x^{2} - 5 x + 2$ .

$(- 1.04556446, 0.97653834)$ é um mínimo local

$(- 0.30604123, 2.75867758)$ é um máximo local

$(0.9766057, - 5.01158311)$ é um mínimo local

Etapa 22