Álgebra Exemplos

$\frac{x^{2}}{15} - \frac{y^{2}}{5} = 1$

Etapa 1

Simplifique cada termo na equação para definir o lado direito como igual a $1$ . A forma padrão de uma elipse ou hipérbole exige que o lado direito da equação seja $1$ .

$\frac{x^{2}}{15} - \frac{y^{2}}{5} = 1$

Etapa 2

Esta é a forma padrão de uma hipérbole. Use este formulário para determinar a excentricidade.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Etapa 3

Associe os valores nesta hipérbole com os da forma padrão. A variável $h$ representa o deslocamento de x em relação à origem, $k$ representa o deslocamento de y em relação à origem, $a$ .

$a = \sqrt{15}$

$b = \sqrt{5}$

$k = 0$

$h = 0$

Etapa 4

Encontre a excentricidade usando a seguinte fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Etapa 5

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\frac{\sqrt{{(\sqrt{15})}^{2} + {(\sqrt{5})}^{2}}}{\sqrt{15}}$

Etapa 6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Reescreva ${\sqrt{15}}^{2}$ como $15$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{15}$ como $15^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{{(15^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{5}}^{2}}}{\sqrt{15}}$

Etapa 6.1.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{15^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{5}}^{2}}}{\sqrt{15}}$

Etapa 6.1.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{15^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{5}}^{2}}}{\sqrt{15}}$

Etapa 6.1.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{15^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{5}}^{2}}}{\sqrt{15}}$

Etapa 6.1.1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{15^{1} + {\sqrt{5}}^{2}}}{\sqrt{15}}$

Etapa 6.1.1.5

Avalie o expoente.

$\frac{\sqrt{15 + {\sqrt{5}}^{2}}}{\sqrt{15}}$

Etapa 6.1.2

Reescreva ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{15 + {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{\sqrt{15}}$

Etapa 6.1.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{15 + 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{\sqrt{15}}$

Etapa 6.1.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{15 + 5^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{15}}$

Etapa 6.1.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{15 + 5^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{15}}$

Etapa 6.1.2.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{15 + 5^{1}}}{\sqrt{15}}$

Etapa 6.1.2.5

Avalie o expoente.

$\frac{\sqrt{15 + 5}}{\sqrt{15}}$

Etapa 6.1.3

Some $15$ e $5$ .

$\frac{\sqrt{20}}{\sqrt{15}}$

Etapa 6.1.4

Reescreva $20$ como $2^{2} \cdot 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.4.1

Fatore $4$ de $20$ .

$\frac{\sqrt{4 (5)}}{\sqrt{15}}$

Etapa 6.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 5}}{\sqrt{15}}$

Etapa 6.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{15}}$

Etapa 6.2

Combine $\sqrt{5}$ e $\sqrt{15}$ em um único radical.

$2 \sqrt{\frac{5}{15}}$

Etapa 6.3

Cancele o fator comum de $5$ e $15$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Fatore $5$ de $5$ .

$2 \sqrt{\frac{5 (1)}{15}}$

Etapa 6.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Fatore $5$ de $15$ .

$2 \sqrt{\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 3}}$

Etapa 6.3.2.2

Cancele o fator comum.

$2 \sqrt{\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 3}}$

Etapa 6.3.2.3

Reescreva a expressão.

$2 \sqrt{\frac{1}{3}}$

Etapa 6.4

Reescreva $\sqrt{\frac{1}{3}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$2 \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Etapa 6.5

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{3}}$

Etapa 6.6

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$2 (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Etapa 6.7

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$2 \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Etapa 6.7.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$2 \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Etapa 6.7.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$2 \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Etapa 6.7.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Etapa 6.7.5

Some $1$ e $1$ .

$2 \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 6.7.6

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 6.7.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 6.7.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$2 \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 6.7.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.6.4.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 6.7.6.4.2

Reescreva a expressão.

$2 \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Etapa 6.7.6.5

Avalie o expoente.

$2 \frac{\sqrt{3}}{3}$

Etapa 6.8

Combine $2$ e $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Forma decimal:

$1.15470053 \dots$

Etapa 8