Álgebra Exemplos

$x = h + r \cos (t)$ , $y = k + r \sin (t)$

Etapa 1

Estabeleça a equação paramétrica de $x (t)$ para resolver a equação para $t$ .

$x = h + r \cos (t)$

Etapa 2

Reescreva a equação como $h + r \cos (t) = x$ .

$h + r \cos (t) = x$

Etapa 3

Subtraia $h$ dos dois lados da equação.

$r \cos (t) = x - h$

Etapa 4

Divida cada termo em $r \cos (t) = x - h$ por $r$ e simplifique.

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Etapa 4.1

Divida cada termo em $r \cos (t) = x - h$ por $r$ .

$\frac{r \cos (t)}{r} = \frac{x}{r} + \frac{- h}{r}$

Etapa 4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Cancele o fator comum de $r$ .

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Etapa 4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{r \cos (t)}{r} = \frac{x}{r} + \frac{- h}{r}$

Etapa 4.2.1.2

Divida $\cos (t)$ por $1$ .

$\cos (t) = \frac{x}{r} + \frac{- h}{r}$

Etapa 4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\cos (t) = \frac{x}{r} - \frac{h}{r}$

Etapa 5

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $t$ de dentro do cosseno.

$t = \arccos (\frac{x}{r} - \frac{h}{r})$

Etapa 6

Substitua $t$ na equação por $y$ para obter a equação em termos de $x$ .

$y = k + r \sin (\arccos (\frac{x}{r} - \frac{h}{r}))$

Etapa 7

Remova os parênteses.

$y = k + r \sin (\arccos (\frac{x}{r} - \frac{h}{r}))$

Etapa 8

Simplifique $k + r \sin (\arccos (\frac{x}{r} - \frac{h}{r}))$ .

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Etapa 8.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.1.1

Desenhe um triângulo no plano com os vértices $(\frac{x}{r} - \frac{h}{r}, \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{r} - \frac{h}{r})}^{2}})$ , $(\frac{x}{r} - \frac{h}{r}, 0)$ e a origem. Então, $\arccos (\frac{x}{r} - \frac{h}{r})$ será o ângulo entre o eixo x positivo e o raio que começa na origem e cruza $(\frac{x}{r} - \frac{h}{r}, \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{r} - \frac{h}{r})}^{2}})$ . Portanto, $\sin (\arccos (\frac{x}{r} - \frac{h}{r}))$ é $\sqrt{1 - {(\frac{x}{r} - \frac{h}{r})}^{2}}$ .

$y = k + r \sqrt{1 - {(\frac{x}{r} - \frac{h}{r})}^{2}}$

Etapa 8.1.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$y = k + r \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{r} - \frac{h}{r})}^{2}}$

Etapa 8.1.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = \frac{x}{r} - \frac{h}{r}$ .

$y = k + r \sqrt{(1 + \frac{x}{r} - \frac{h}{r}) (1 - (\frac{x}{r} - \frac{h}{r}))}$

Etapa 8.1.4

Simplifique.

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Etapa 8.1.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = k + r \sqrt{(1 + \frac{x}{r} - \frac{h}{r}) (1 - \frac{x}{r} - - \frac{h}{r})}$

Etapa 8.1.4.2

Multiplique $- - \frac{h}{r}$ .

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Etapa 8.1.4.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y = k + r \sqrt{(1 + \frac{x}{r} - \frac{h}{r}) (1 - \frac{x}{r} + 1 \frac{h}{r})}$

Etapa 8.1.4.2.2

Multiplique $\frac{h}{r}$ por $1$ .

$y = k + r \sqrt{(1 + \frac{x}{r} - \frac{h}{r}) (1 - \frac{x}{r} + \frac{h}{r})}$

Etapa 8.1.5

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$y = k + r \sqrt{(\frac{r}{r} + \frac{x}{r} - \frac{h}{r}) (1 - \frac{x}{r} + \frac{h}{r})}$

Etapa 8.1.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = k + r \sqrt{(\frac{r + x}{r} - \frac{h}{r}) (1 - \frac{x}{r} + \frac{h}{r})}$

Etapa 8.1.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = k + r \sqrt{\frac{r + x - h}{r} (1 - \frac{x}{r} + \frac{h}{r})}$

Etapa 8.1.8

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.1.8.1

Mova $x$ .

$y = k + r \sqrt{\frac{r - h + x}{r} (1 - \frac{x}{r} + \frac{h}{r})}$

Etapa 8.1.8.2

Reordene $r$ e $- h$ .

$y = k + r \sqrt{\frac{- h + r + x}{r} (1 - \frac{x}{r} + \frac{h}{r})}$

Etapa 8.1.9

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$y = k + r \sqrt{\frac{- h + r + x}{r} (\frac{r}{r} - \frac{x}{r} + \frac{h}{r})}$

Etapa 8.1.10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = k + r \sqrt{\frac{- h + r + x}{r} (\frac{r - x}{r} + \frac{h}{r})}$

Etapa 8.1.11

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = k + r \sqrt{\frac{- h + r + x}{r} \cdot \frac{r - x + h}{r}}$

Etapa 8.1.12

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.1.12.1

Mova $- x$ .

$y = k + r \sqrt{\frac{- h + r + x}{r} \cdot \frac{r + h - x}{r}}$

Etapa 8.1.12.2

Reordene $r$ e $h$ .

$y = k + r \sqrt{\frac{- h + r + x}{r} \cdot \frac{h + r - x}{r}}$

Etapa 8.1.13

Multiplique $\frac{- h + r + x}{r}$ por $\frac{h + r - x}{r}$ .

$y = k + r \sqrt{\frac{(- h + r + x) (h + r - x)}{r \cdot r}}$

Etapa 8.1.14

Multiplique $r$ por $r$ .

$y = k + r \sqrt{\frac{(- h + r + x) (h + r - x)}{r^{2}}}$

Etapa 8.1.15

Reescreva $\frac{(- h + r + x) (h + r - x)}{r^{2}}$ como ${(\frac{1}{r})}^{2} ((- h + r + x) (h + r - x))$ .

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Etapa 8.1.15.1

Fatore a potência perfeita $1^{2}$ de $(- h + r + x) (h + r - x)$ .

$y = k + r \sqrt{\frac{1^{2} ((- h + r + x) (h + r - x))}{r^{2}}}$

Etapa 8.1.15.2

Fatore a potência perfeita $r^{2}$ de $r^{2}$ .

$y = k + r \sqrt{\frac{1^{2} ((- h + r + x) (h + r - x))}{r^{2} \cdot 1}}$

Etapa 8.1.15.3

Reorganize a fração $\frac{1^{2} ((- h + r + x) (h + r - x))}{r^{2} \cdot 1}$ .

$y = k + r \sqrt{{(\frac{1}{r})}^{2} ((- h + r + x) (h + r - x))}$

Etapa 8.1.16

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = k + r (\frac{1}{r} \sqrt{(- h + r + x) (h + r - x)})$

Etapa 8.1.17

Combine $\frac{1}{r}$ e $\sqrt{(- h + r + x) (h + r - x)}$ .

$y = k + r \frac{\sqrt{(- h + r + x) (h + r - x)}}{r}$

Etapa 8.1.18

Cancele o fator comum de $r$ .

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Etapa 8.1.18.1

Cancele o fator comum.

$y = k + r \frac{\sqrt{(- h + r + x) (h + r - x)}}{r}$

Etapa 8.1.18.2

Reescreva a expressão.

$y = k + \sqrt{(- h + r + x) (h + r - x)}$

Etapa 8.2

Reordene $k$ e $\sqrt{(- h + r + x) (h + r - x)}$ .

$y = \sqrt{(- h + r + x) (h + r - x)} + k$