Álgebra Exemplos

$\cot (- \frac{5 π}{12})$

Etapa 1

Substitua $\cot (- \frac{5 π}{12})$ por uma expressão equivalente $\frac{1}{\tan (- \frac{5 π}{12})}$ usando as identidades fundamentais.

$\frac{1}{\tan (- \frac{5 π}{12})}$

Etapa 2

Use uma fórmula de soma ou diferença no denominador.

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Etapa 2.1

Primeiro, divida o ângulo em dois ângulos em que os valores das seis funções trigonométricas sejam conhecidos. Neste caso, $- \frac{5 π}{12}$ pode ser dividido em $\frac{π}{3} - \frac{3 π}{4}$ .

$\frac{1}{\tan (\frac{π}{3} - \frac{3 π}{4})}$

Etapa 2.2

Use a fórmula da diferença da tangente para simplificar a expressão. A fórmula determina que $\tan (A - B) = \frac{\tan (A) - \tan (B)}{1 + \tan (A) \tan (B)}$ .

$\frac{1}{\frac{\tan (\frac{π}{3}) - \tan (\frac{3 π}{4})}{1 + \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{3 π}{4})}}$

Etapa 2.3

Remova os parênteses.

$\frac{1}{\frac{\tan (\frac{π}{3}) - \tan (\frac{3 π}{4})}{1 + \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{3 π}{4})}}$

Etapa 2.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.4.1

O valor exato de $\tan (\frac{π}{3})$ é $\sqrt{3}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{3} - \tan (\frac{3 π}{4})}{1 + \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{3 π}{4})}}$

Etapa 2.4.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois a tangente é negativa no segundo quadrante.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{3} + \tan (\frac{π}{4})}{1 + \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{3 π}{4})}}$

Etapa 2.4.3

O valor exato de $\tan (\frac{π}{4})$ é $1$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{3} - (- 1 \cdot 1)}{1 + \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{3 π}{4})}}$

Etapa 2.4.4

Multiplique $- (- 1 \cdot 1)$ .

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Etapa 2.4.4.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{3} + 1}{1 + \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{3 π}{4})}}$

Etapa 2.4.4.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{3} + 1}{1 + \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{3 π}{4})}}$

Etapa 2.5

Simplifique o denominador.

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Etapa 2.5.1

O valor exato de $\tan (\frac{π}{3})$ é $\sqrt{3}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3} \tan (\frac{3 π}{4})}}$

Etapa 2.5.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois a tangente é negativa no segundo quadrante.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3} (- \tan (\frac{π}{4}))}}$

Etapa 2.5.3

O valor exato de $\tan (\frac{π}{4})$ é $1$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3} (- 1 \cdot 1)}}$

Etapa 2.5.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3} \cdot - 1}}$

Etapa 2.5.5

Mova $- 1$ para a esquerda de $\sqrt{3}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{3} + 1}{1 - 1 \cdot \sqrt{3}}}$

Etapa 2.5.6

Reescreva $- 1 \sqrt{3}$ como $- \sqrt{3}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}}}$

Etapa 2.6

Multiplique $\frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}}$ por $\frac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}} \cdot \frac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}}$

Etapa 2.7

Combine frações.

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Etapa 2.7.1

Multiplique $\frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}}$ por $\frac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}$ .

$\frac{1}{\frac{(\sqrt{3} + 1) (1 + \sqrt{3})}{(1 - \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}}$

Etapa 2.7.2

Expanda o denominador usando o método FOIL.

$\frac{1}{\frac{(\sqrt{3} + 1) (1 + \sqrt{3})}{1 + \sqrt{3} - \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}}$

Etapa 2.7.3

Simplifique.

$\frac{1}{\frac{(\sqrt{3} + 1) (1 + \sqrt{3})}{- 2}}$

Etapa 2.8

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.8.1

Reordene os termos.

$\frac{1}{\frac{(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}{- 2}}$

Etapa 2.8.2

Eleve $1 + \sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{\frac{(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}{- 2}}$

Etapa 2.8.3

Eleve $1 + \sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{\frac{(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}{- 2}}$

Etapa 2.8.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{\frac{{(1 + \sqrt{3})}^{1 + 1}}{- 2}}$

Etapa 2.8.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1}{\frac{{(1 + \sqrt{3})}^{2}}{- 2}}$

Etapa 2.9

Reescreva ${(1 + \sqrt{3})}^{2}$ como $(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})$ .

$\frac{1}{\frac{(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}{- 2}}$

Etapa 2.10

Expanda $(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{\frac{1 (1 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (1 + \sqrt{3})}{- 2}}$

Etapa 2.10.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{\frac{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} (1 + \sqrt{3})}{- 2}}$

Etapa 2.10.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{\frac{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}}$

Etapa 2.11

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.11.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.11.1.1

Multiplique $1$ por $1$ .

$\frac{1}{\frac{1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}}$

Etapa 2.11.1.2

Multiplique $\sqrt{3}$ por $1$ .

$\frac{1}{\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}}$

Etapa 2.11.1.3

Multiplique $\sqrt{3}$ por $1$ .

$\frac{1}{\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}}$

Etapa 2.11.1.4

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{1}{\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}{- 2}}$

Etapa 2.11.1.5

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{1}{\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{9}}{- 2}}$

Etapa 2.11.1.6

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{1}{\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}{- 2}}$

Etapa 2.11.1.7

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{1}{\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + 3}{- 2}}$

Etapa 2.11.2

Some $1$ e $3$ .

$\frac{1}{\frac{4 + \sqrt{3} + \sqrt{3}}{- 2}}$

Etapa 2.11.3

Some $\sqrt{3}$ e $\sqrt{3}$ .

$\frac{1}{\frac{4 + 2 \sqrt{3}}{- 2}}$

Etapa 2.12

Cancele o fator comum de $4 + 2 \sqrt{3}$ e $- 2$ .

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Etapa 2.12.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{1}{\frac{2 (2) + 2 \sqrt{3}}{- 2}}$

Etapa 2.12.2

Fatore $2$ de $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{1}{\frac{2 (2) + 2 (\sqrt{3})}{- 2}}$

Etapa 2.12.3

Fatore $2$ de $2 (2) + 2 (\sqrt{3})$ .

$\frac{1}{\frac{2 (2 + \sqrt{3})}{- 2}}$

Etapa 2.12.4

Mova o número negativo do denominador de $\frac{2 + \sqrt{3}}{- 1}$ .

$\frac{1}{- 1 \cdot (2 + \sqrt{3})}$

Etapa 2.13

Reescreva $- 1 \cdot (2 + \sqrt{3})$ como $- (2 + \sqrt{3})$ .

$\frac{1}{- (2 + \sqrt{3})}$

Etapa 2.14

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{- 1 \cdot 2 - \sqrt{3}}$

Etapa 2.15

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{- 2 - \sqrt{3}}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Multiplique $\frac{1}{- 2 - \sqrt{3}}$ por $\frac{- 2 + \sqrt{3}}{- 2 + \sqrt{3}}$ .

$\frac{1}{- 2 - \sqrt{3}} \cdot \frac{- 2 + \sqrt{3}}{- 2 + \sqrt{3}}$

Etapa 3.2

Multiplique $\frac{1}{- 2 - \sqrt{3}}$ por $\frac{- 2 + \sqrt{3}}{- 2 + \sqrt{3}}$ .

$\frac{- 2 + \sqrt{3}}{(- 2 - \sqrt{3}) (- 2 + \sqrt{3})}$

Etapa 3.3

Expanda o denominador usando o método FOIL.

$\frac{- 2 + \sqrt{3}}{4 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 3.4

Simplifique.

$\frac{- 2 + \sqrt{3}}{1}$

Etapa 3.5

Divida $- 2 + \sqrt{3}$ por $1$ .

$- 2 + \sqrt{3}$

Etapa 4

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- 2 + \sqrt{3}$

Forma decimal:

$- 0.26794919 \dots$