Álgebra Exemplos

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 50 x + 75$

Etapa 1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 15, \pm 25, \pm 75$

$q = \pm 1, \pm 2$

Etapa 2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 3, \pm \frac{3}{2}, \pm 5, \pm \frac{5}{2}, \pm 15, \pm \frac{15}{2}, \pm 25, \pm \frac{25}{2}, \pm 75, \pm \frac{75}{2}$

Etapa 3

Substitua cada raiz possível no polinômio para encontrar as raízes reais. Simplifique para verificar se o valor é $0$ , o que significa que é uma raiz.

$2 {(\frac{3}{2})}^{3} - 3 {(\frac{3}{2})}^{2} - 50 (\frac{3}{2}) + 75$

Etapa 4

Simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Então, $x = \frac{3}{2}$ é a raiz do polinômio.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{3}{2}$ .

$2 \frac{3^{3}}{2^{3}} - 3 {(\frac{3}{2})}^{2} - 50 (\frac{3}{2}) + 75$

Etapa 4.1.2

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$2 \frac{27}{2^{3}} - 3 {(\frac{3}{2})}^{2} - 50 (\frac{3}{2}) + 75$

Etapa 4.1.3

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$2 (\frac{27}{8}) - 3 {(\frac{3}{2})}^{2} - 50 (\frac{3}{2}) + 75$

Etapa 4.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.1.4.1

Fatore $2$ de $8$ .

$2 \frac{27}{2 (4)} - 3 {(\frac{3}{2})}^{2} - 50 (\frac{3}{2}) + 75$

Etapa 4.1.4.2

Cancele o fator comum.

$2 \frac{27}{2 \cdot 4} - 3 {(\frac{3}{2})}^{2} - 50 (\frac{3}{2}) + 75$

Etapa 4.1.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{27}{4} - 3 {(\frac{3}{2})}^{2} - 50 (\frac{3}{2}) + 75$

Etapa 4.1.5

Aplique a regra do produto a $\frac{3}{2}$ .

$\frac{27}{4} - 3 \frac{3^{2}}{2^{2}} - 50 (\frac{3}{2}) + 75$

Etapa 4.1.6

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\frac{27}{4} - 3 \frac{9}{2^{2}} - 50 (\frac{3}{2}) + 75$

Etapa 4.1.7

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{27}{4} - 3 (\frac{9}{4}) - 50 (\frac{3}{2}) + 75$

Etapa 4.1.8

Multiplique $- 3 (\frac{9}{4})$ .

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Etapa 4.1.8.1

Combine $- 3$ e $\frac{9}{4}$ .

$\frac{27}{4} + \frac{- 3 \cdot 9}{4} - 50 (\frac{3}{2}) + 75$

Etapa 4.1.8.2

Multiplique $- 3$ por $9$ .

$\frac{27}{4} + \frac{- 27}{4} - 50 (\frac{3}{2}) + 75$

Etapa 4.1.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{27}{4} - \frac{27}{4} - 50 (\frac{3}{2}) + 75$

Etapa 4.1.10

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.1.10.1

Fatore $2$ de $- 50$ .

$\frac{27}{4} - \frac{27}{4} + 2 (- 25) \frac{3}{2} + 75$

Etapa 4.1.10.2

Cancele o fator comum.

$\frac{27}{4} - \frac{27}{4} + 2 \cdot - 25 \frac{3}{2} + 75$

Etapa 4.1.10.3

Reescreva a expressão.

$\frac{27}{4} - \frac{27}{4} - 25 \cdot 3 + 75$

Etapa 4.1.11

Multiplique $- 25$ por $3$ .

$\frac{27}{4} - \frac{27}{4} - 75 + 75$

Etapa 4.2

Combine frações.

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Etapa 4.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- 75 + 75 + \frac{27 - 27}{4}$

Etapa 4.2.2

Subtraia $27$ de $27$ .

$- 75 + 75 + \frac{0}{4}$

Etapa 4.3

Encontre o denominador comum.

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Etapa 4.3.1

Escreva $- 75$ como uma fração com denominador $1$ .

$\frac{- 75}{1} + 75 + \frac{0}{4}$

Etapa 4.3.2

Multiplique $\frac{- 75}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- 75}{1} \cdot \frac{4}{4} + 75 + \frac{0}{4}$

Etapa 4.3.3

Multiplique $\frac{- 75}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- 75 \cdot 4}{4} + 75 + \frac{0}{4}$

Etapa 4.3.4

Escreva $75$ como uma fração com denominador $1$ .

$\frac{- 75 \cdot 4}{4} + \frac{75}{1} + \frac{0}{4}$

Etapa 4.3.5

Multiplique $\frac{75}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- 75 \cdot 4}{4} + \frac{75}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{0}{4}$

Etapa 4.3.6

Multiplique $\frac{75}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- 75 \cdot 4}{4} + \frac{75 \cdot 4}{4} + \frac{0}{4}$

Etapa 4.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 75 \cdot 4 + 75 \cdot 4}{4}$

Etapa 4.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.5.1

Multiplique $- 75$ por $4$ .

$\frac{- 300 + 75 \cdot 4}{4}$

Etapa 4.5.2

Multiplique $75$ por $4$ .

$\frac{- 300 + 300}{4}$

Etapa 4.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.6.1

Some $- 300$ e $300$ .

$\frac{0}{4}$

Etapa 4.6.2

Divida $0$ por $4$ .

$0$

Etapa 5

Como $\frac{3}{2}$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - \frac{3}{2}$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio poderá ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 50 x + 75}{x - \frac{3}{2}}$

Etapa 6

Depois, encontre as raízes do polinômio restante. A ordem do polinômio foi reduzida em $1$ .

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Etapa 6.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$\frac{3}{2}$	$2$	$- 3$	$- 50$	$75$

Etapa 6.2

O primeiro número no dividendo $(2)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$\frac{3}{2}$	$2$	$- 3$	$- 50$	$75$

	$2$

Etapa 6.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(2)$ pelo divisor $(\frac{3}{2})$ e coloque o resultado de $(3)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 3)$ .

$\frac{3}{2}$	$2$	$- 3$	$- 50$	$75$
		$3$
	$2$

Etapa 6.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$\frac{3}{2}$	$2$	$- 3$	$- 50$	$75$
		$3$
	$2$	$0$

Etapa 6.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(0)$ pelo divisor $(\frac{3}{2})$ e coloque o resultado de $(0)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 50)$ .

$\frac{3}{2}$	$2$	$- 3$	$- 50$	$75$
		$3$	$0$
	$2$	$0$

Etapa 6.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$\frac{3}{2}$	$2$	$- 3$	$- 50$	$75$
		$3$	$0$
	$2$	$0$	$- 50$

Etapa 6.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 50)$ pelo divisor $(\frac{3}{2})$ e coloque o resultado de $(- 75)$ sob o próximo termo no dividendo $(75)$ .

$\frac{3}{2}$	$2$	$- 3$	$- 50$	$75$
		$3$	$0$	$- 75$
	$2$	$0$	$- 50$

Etapa 6.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$\frac{3}{2}$	$2$	$- 3$	$- 50$	$75$
		$3$	$0$	$- 75$
	$2$	$0$	$- 50$	$0$

Etapa 6.9

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$2 x^{2} + 0 x - 50$

Etapa 6.10

Simplifique o polinômio do quociente.

$2 x^{2} - 50$

Etapa 7

Fatore $2$ de $2 x^{2} - 50$ .

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Etapa 7.1

Fatore $2$ de $2 x^{2}$ .

$(x - \frac{3}{2}) (2 (x^{2}) - 50)$

Etapa 7.2

Fatore $2$ de $- 50$ .

$(x - \frac{3}{2}) (2 x^{2} + 2 \cdot - 25)$

Etapa 7.3

Fatore $2$ de $2 x^{2} + 2 \cdot - 25$ .

$(x - \frac{3}{2}) (2 (x^{2} - 25))$

Etapa 8

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$(x - \frac{3}{2}) (2 (x^{2} - 5^{2}))$

Etapa 9

Fatore.

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Etapa 9.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 5$ .

$(x - \frac{3}{2}) (2 ((x + 5) (x - 5)))$

Etapa 9.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x - \frac{3}{2}) (2 (x + 5) (x - 5))$

Etapa 10

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 10.1

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 10.1.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(2 x^{3} - 3 x^{2}) - 50 x + 75 = 0$

Etapa 10.1.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$x^{2} (2 x - 3) - 25 (2 x - 3) = 0$

Etapa 10.2

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 x - 3$ .

$(2 x - 3) (x^{2} - 25) = 0$

Etapa 10.3

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$(2 x - 3) (x^{2} - 5^{2}) = 0$

Etapa 10.4

Fatore.

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Etapa 10.4.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 5$ .

$(2 x - 3) ((x + 5) (x - 5)) = 0$

Etapa 10.4.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(2 x - 3) (x + 5) (x - 5) = 0$

Etapa 11

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$2 x - 3 = 0$

$x + 5 = 0$

$x - 5 = 0$

Etapa 12

Defina $2 x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 12.1

Defina $2 x - 3$ como igual a $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Etapa 12.2

Resolva $2 x - 3 = 0$ para $x$ .

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Etapa 12.2.1

Some $3$ aos dois lados da equação.

$2 x = 3$

Etapa 12.2.2

Divida cada termo em $2 x = 3$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 12.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = 3$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Etapa 12.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 12.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 12.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Etapa 12.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Etapa 13

Defina $x + 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 13.1

Defina $x + 5$ como igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

Etapa 13.2

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$x = - 5$

Etapa 14

Defina $x - 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 14.1

Defina $x - 5$ como igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Etapa 14.2

Some $5$ aos dois lados da equação.

$x = 5$

Etapa 15

A solução final são todos os valores que tornam $(2 x - 3) (x + 5) (x - 5) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{3}{2}, - 5, 5$

Etapa 16