Álgebra Exemplos

$3 e^{- x^{4}}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 e^{- x^{4}}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [e^{- x^{4}}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (e^{- x^{4}})$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- x^{4}$ .

$f' (x) = 3 (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x^{4}))$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f' (x) = 3 (e^{u} \frac{d}{d x} (- x^{4}))$

Etapa 1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- x^{4}$ .

$f' (x) = 3 (e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} (- x^{4}))$

Etapa 1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{4}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 3 e^{- x^{4}} (- \frac{d}{d x} x^{4})$

Etapa 1.3.2

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f' (x) = - 3 e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} x^{4}$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f' (x) = - 3 e^{- x^{4}} (4 x^{3})$

Etapa 1.3.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.1

Multiplique $4$ por $- 3$ .

$f' (x) = - 12 e^{- x^{4}} x^{3}$

Etapa 1.3.4.2

Reordene os fatores em $- 12 e^{- x^{4}} x^{3}$ .

$f' (x) = - 12 x^{3} e^{- x^{4}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Como $- 12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 12 x^{3} e^{- x^{4}}$ em relação a $x$ é $- 12 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{- x^{4}}]$ .

$f'' (x) = - 12 \frac{d}{d x} (x^{3} e^{- x^{4}})$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = e^{- x^{4}}$ .

$f'' (x) = - 12 (x^{3} \frac{d}{d x} (e^{- x^{4}}) + e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- x^{4}$ .

$f'' (x) = - 12 (x^{3} (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x^{4})) + e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - 12 (x^{3} (e^{u} \frac{d}{d x} (- x^{4})) + e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Etapa 2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- x^{4}$ .

$f'' (x) = - 12 (x^{3} (e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} (- x^{4})) + e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Etapa 2.4

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{4}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = - 12 (x^{3} (e^{- x^{4}} (- \frac{d}{d x} x^{4})) + e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f'' (x) = - 12 (x^{3} (e^{- x^{4}} (- (4 x^{3}))) + e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Etapa 2.4.3

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - 12 (x^{3} (e^{- x^{4}} (- 4 x^{3})) + e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Etapa 2.5

Multiplique $x^{3}$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Mova $x^{3}$ .

$f'' (x) = - 12 (x^{3} x^{3} (e^{- x^{4}} \cdot (- 4)) + e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Etapa 2.5.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - 12 (x^{3 + 3} (e^{- x^{4}} \cdot (- 4)) + e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Etapa 2.5.3

Some $3$ e $3$ .

$f'' (x) = - 12 (x^{6} (e^{- x^{4}} \cdot (- 4)) + e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Etapa 2.6

Mova $- 4$ para a esquerda de $e^{- x^{4}}$ .

$f'' (x) = - 12 (x^{6} (- 4 \cdot e^{- x^{4}}) + e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Etapa 2.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = - 12 (x^{6} (- 4 e^{- x^{4}}) + e^{- x^{4}} (3 x^{2}))$

Etapa 2.8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - 12 (x^{6} (- 4 e^{- x^{4}})) - 12 (e^{- x^{4}} (3 x^{2}))$

Etapa 2.8.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.2.1

Multiplique $- 4$ por $- 12$ .

$f'' (x) = 48 (x^{6} (e^{- x^{4}})) - 12 (e^{- x^{4}} (3 x^{2}))$

Etapa 2.8.2.2

Multiplique $3$ por $- 12$ .

$f'' (x) = 48 x^{6} e^{- x^{4}} - 36 e^{- x^{4}} x^{2}$

Etapa 2.8.3

Reordene os termos.

$f'' (x) = 48 e^{- x^{4}} x^{6} - 36 e^{- x^{4}} x^{2}$

Etapa 2.8.4

Reordene os fatores em $48 e^{- x^{4}} x^{6} - 36 e^{- x^{4}} x^{2}$ .

$f'' (x) = 48 x^{6} e^{- x^{4}} - 36 x^{2} e^{- x^{4}}$