Álgebra Exemplos

$y = - x^{4} + 24 x^{3} - 214 x^{2} + 840 x - 1225$

Etapa 1

Escreva $y = - x^{4} + 24 x^{3} - 214 x^{2} + 840 x - 1225$ como uma função.

$f (x) = - x^{4} + 24 x^{3} - 214 x^{2} + 840 x - 1225$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- x^{4} + 24 x^{3} - 214 x^{2} + 840 x - 1225$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [24 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 214 x^{2}] + \frac{d}{d x} [840 x] + \frac{d}{d x} [- 1225]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [24 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 214 x^{2}] + \frac{d}{d x} [840 x] + \frac{d}{d x} [- 1225]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{4}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [24 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 214 x^{2}] + \frac{d}{d x} [840 x] + \frac{d}{d x} [- 1225]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$- (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [24 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 214 x^{2}] + \frac{d}{d x} [840 x] + \frac{d}{d x} [- 1225]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$- 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [24 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 214 x^{2}] + \frac{d}{d x} [840 x] + \frac{d}{d x} [- 1225]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [24 x^{3}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $24$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $24 x^{3}$ em relação a $x$ é $24 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 4 x^{3} + 24 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 214 x^{2}] + \frac{d}{d x} [840 x] + \frac{d}{d x} [- 1225]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$- 4 x^{3} + 24 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 214 x^{2}] + \frac{d}{d x} [840 x] + \frac{d}{d x} [- 1225]$

Etapa 2.3.3

Multiplique $3$ por $24$ .

$- 4 x^{3} + 72 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 214 x^{2}] + \frac{d}{d x} [840 x] + \frac{d}{d x} [- 1225]$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 214 x^{2}]$ .

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Etapa 2.4.1

Como $- 214$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 214 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 214 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 4 x^{3} + 72 x^{2} - 214 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [840 x] + \frac{d}{d x} [- 1225]$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 4 x^{3} + 72 x^{2} - 214 (2 x) + \frac{d}{d x} [840 x] + \frac{d}{d x} [- 1225]$

Etapa 2.4.3

Multiplique $2$ por $- 214$ .

$- 4 x^{3} + 72 x^{2} - 428 x + \frac{d}{d x} [840 x] + \frac{d}{d x} [- 1225]$

Etapa 2.5

Avalie $\frac{d}{d x} [840 x]$ .

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Etapa 2.5.1

Como $840$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $840 x$ em relação a $x$ é $840 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 x^{3} + 72 x^{2} - 428 x + 840 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1225]$

Etapa 2.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 4 x^{3} + 72 x^{2} - 428 x + 840 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1225]$

Etapa 2.5.3

Multiplique $840$ por $1$ .

$- 4 x^{3} + 72 x^{2} - 428 x + 840 + \frac{d}{d x} [- 1225]$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.6.1

Como $- 1225$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1225$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 4 x^{3} + 72 x^{2} - 428 x + 840 + 0$

Etapa 2.6.2

Some $- 4 x^{3} + 72 x^{2} - 428 x + 840$ e $0$ .

$- 4 x^{3} + 72 x^{2} - 428 x + 840$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 4 x^{3} + 72 x^{2} - 428 x + 840$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [72 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 428 x] + \frac{d}{d x} [840]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (72 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 428 x) + \frac{d}{d x} (840)$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (72 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 428 x) + \frac{d}{d x} (840)$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (72 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 428 x) + \frac{d}{d x} (840)$

Etapa 3.2.3

Multiplique $3$ por $- 4$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (72 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 428 x) + \frac{d}{d x} (840)$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [72 x^{2}]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $72$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $72 x^{2}$ em relação a $x$ é $72 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 72 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 428 x) + \frac{d}{d x} (840)$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 72 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 428 x) + \frac{d}{d x} (840)$

Etapa 3.3.3

Multiplique $2$ por $72$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 144 x + \frac{d}{d x} (- 428 x) + \frac{d}{d x} (840)$

Etapa 3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 428 x]$ .

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Etapa 3.4.1

Como $- 428$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 428 x$ em relação a $x$ é $- 428 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 144 x - 428 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (840)$

Etapa 3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 144 x - 428 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (840)$

Etapa 3.4.3

Multiplique $- 428$ por $1$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 144 x - 428 + \frac{d}{d x} (840)$

Etapa 3.5

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 3.5.1

Como $840$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $840$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 144 x - 428 + 0$

Etapa 3.5.2

Some $- 12 x^{2} + 144 x - 428$ e $0$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 144 x - 428$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- 4 x^{3} + 72 x^{2} - 428 x + 840 = 0$

Etapa 5

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 5.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 5.1.1

$f' (x) = \frac{d}{d x} (- x^{4}) + \frac{d}{d x} (24 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 214 x^{2}) + \frac{d}{d x} (840 x) + \frac{d}{d x} (- 1225)$

Etapa 5.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

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Etapa 5.1.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{4}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = - \frac{d}{d x} x^{4} + \frac{d}{d x} (24 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 214 x^{2}) + \frac{d}{d x} (840 x) + \frac{d}{d x} (- 1225)$

Etapa 5.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f' (x) = - (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 214 x^{2}) + \frac{d}{d x} (840 x) + \frac{d}{d x} (- 1225)$

Etapa 5.1.2.3

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (24 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 214 x^{2}) + \frac{d}{d x} (840 x) + \frac{d}{d x} (- 1225)$

Etapa 5.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [24 x^{3}]$ .

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Etapa 5.1.3.1

Como $24$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $24 x^{3}$ em relação a $x$ é $24 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 24 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 214 x^{2}) + \frac{d}{d x} (840 x) + \frac{d}{d x} (- 1225)$

Etapa 5.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 24 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 214 x^{2}) + \frac{d}{d x} (840 x) + \frac{d}{d x} (- 1225)$

Etapa 5.1.3.3

Multiplique $3$ por $24$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 72 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 214 x^{2}) + \frac{d}{d x} (840 x) + \frac{d}{d x} (- 1225)$

Etapa 5.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 214 x^{2}]$ .

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Etapa 5.1.4.1

Como $- 214$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 214 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 214 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 72 x^{2} - 214 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (840 x) + \frac{d}{d x} (- 1225)$

Etapa 5.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 72 x^{2} - 214 (2 x) + \frac{d}{d x} (840 x) + \frac{d}{d x} (- 1225)$

Etapa 5.1.4.3

Multiplique $2$ por $- 214$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 72 x^{2} - 428 x + \frac{d}{d x} (840 x) + \frac{d}{d x} (- 1225)$

Etapa 5.1.5

Avalie $\frac{d}{d x} [840 x]$ .

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Etapa 5.1.5.1

Como $840$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $840 x$ em relação a $x$ é $840 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 72 x^{2} - 428 x + 840 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1225)$

Etapa 5.1.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 72 x^{2} - 428 x + 840 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 1225)$

Etapa 5.1.5.3

Multiplique $840$ por $1$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 72 x^{2} - 428 x + 840 + \frac{d}{d x} (- 1225)$

Etapa 5.1.6

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 5.1.6.1

Como $- 1225$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1225$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 72 x^{2} - 428 x + 840 + 0$

Etapa 5.1.6.2

Some $- 4 x^{3} + 72 x^{2} - 428 x + 840$ e $0$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 72 x^{2} - 428 x + 840$

Etapa 5.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 4 x^{3} + 72 x^{2} - 428 x + 840$ .

$- 4 x^{3} + 72 x^{2} - 428 x + 840$

Etapa 6

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 4 x^{3} + 72 x^{2} - 428 x + 840 = 0$ .

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Etapa 6.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- 4 x^{3} + 72 x^{2} - 428 x + 840 = 0$

Etapa 6.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 6.2.1

Fatore $4$ de $- 4 x^{3} + 72 x^{2} - 428 x + 840$ .

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Etapa 6.2.1.1

Fatore $4$ de $- 4 x^{3}$ .

$4 (- x^{3}) + 72 x^{2} - 428 x + 840 = 0$

Etapa 6.2.1.2

Fatore $4$ de $72 x^{2}$ .

$4 (- x^{3}) + 4 (18 x^{2}) - 428 x + 840 = 0$

Etapa 6.2.1.3

Fatore $4$ de $- 428 x$ .

$4 (- x^{3}) + 4 (18 x^{2}) + 4 (- 107 x) + 840 = 0$

Etapa 6.2.1.4

Fatore $4$ de $840$ .

$4 (- x^{3}) + 4 (18 x^{2}) + 4 (- 107 x) + 4 (210) = 0$

Etapa 6.2.1.5

Fatore $4$ de $4 (- x^{3}) + 4 (18 x^{2})$ .

$4 (- x^{3} + 18 x^{2}) + 4 (- 107 x) + 4 (210) = 0$

Etapa 6.2.1.6

Fatore $4$ de $4 (- x^{3} + 18 x^{2}) + 4 (- 107 x)$ .

$4 (- x^{3} + 18 x^{2} - 107 x) + 4 (210) = 0$

Etapa 6.2.1.7

Fatore $4$ de $4 (- x^{3} + 18 x^{2} - 107 x) + 4 (210)$ .

$4 (- x^{3} + 18 x^{2} - 107 x + 210) = 0$

Etapa 6.2.2

Fatore $- x^{3} + 18 x^{2} - 107 x + 210$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 6.2.2.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 210, \pm 2, \pm 105, \pm 3, \pm 70, \pm 5, \pm 42, \pm 6, \pm 35, \pm 7, \pm 30, \pm 10, \pm 21, \pm 14, \pm 15$

$q = \pm 1$

Etapa 6.2.2.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 210, \pm 2, \pm 105, \pm 3, \pm 70, \pm 5, \pm 42, \pm 6, \pm 35, \pm 7, \pm 30, \pm 10, \pm 21, \pm 14, \pm 15$

Etapa 6.2.2.3

Substitua $5$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $5$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 6.2.2.3.1

Substitua $5$ no polinômio.

$- 5^{3} + 18 \cdot 5^{2} - 107 \cdot 5 + 210$

Etapa 6.2.2.3.2

Eleve $5$ à potência de $3$ .

$- 1 \cdot 125 + 18 \cdot 5^{2} - 107 \cdot 5 + 210$

Etapa 6.2.2.3.3

Multiplique $- 1$ por $125$ .

$- 125 + 18 \cdot 5^{2} - 107 \cdot 5 + 210$

Etapa 6.2.2.3.4

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$- 125 + 18 \cdot 25 - 107 \cdot 5 + 210$

Etapa 6.2.2.3.5

Multiplique $18$ por $25$ .

$- 125 + 450 - 107 \cdot 5 + 210$

Etapa 6.2.2.3.6

Some $- 125$ e $450$ .

$325 - 107 \cdot 5 + 210$

Etapa 6.2.2.3.7

Multiplique $- 107$ por $5$ .

$325 - 535 + 210$

Etapa 6.2.2.3.8

Subtraia $535$ de $325$ .

$- 210 + 210$

Etapa 6.2.2.3.9

Some $- 210$ e $210$ .

$0$

Etapa 6.2.2.4

Como $5$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 5$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{- x^{3} + 18 x^{2} - 107 x + 210}{x - 5}$

Etapa 6.2.2.5

Divida $- x^{3} + 18 x^{2} - 107 x + 210$ por $x - 5$ .

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Etapa 6.2.2.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$5$

$x^{3}$

$18 x^{2}$

$107 x$

$210$

Etapa 6.2.2.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				-	$x^{2}$
	$x$	-	$5$	-	$x^{3}$	+	$18 x^{2}$	-	$107 x$	+	$210$

Etapa 6.2.2.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$5$	-	$x^{3}$	+	$18 x^{2}$	-	$107 x$	+	$210$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$

Etapa 6.2.2.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- x^{3} + 5 x^{2}$ .

			-	$x^{2}$
$x$	-	$5$	-	$x^{3}$	+	$18 x^{2}$	-	$107 x$	+	$210$
			+	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$

Etapa 6.2.2.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$5$	-	$x^{3}$	+	$18 x^{2}$	-	$107 x$	+	$210$
			+	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$13 x^{2}$

Etapa 6.2.2.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$5$	-	$x^{3}$	+	$18 x^{2}$	-	$107 x$	+	$210$
			+	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$13 x^{2}$	-	$107 x$

Etapa 6.2.2.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $13 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$13 x$
$x$	-	$5$	-	$x^{3}$	+	$18 x^{2}$	-	$107 x$	+	$210$
			+	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$13 x^{2}$	-	$107 x$

Etapa 6.2.2.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$x^{2}$	+	$13 x$
$x$	-	$5$	-	$x^{3}$	+	$18 x^{2}$	-	$107 x$	+	$210$
			+	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$13 x^{2}$	-	$107 x$
					+	$13 x^{2}$	-	$65 x$

Etapa 6.2.2.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $13 x^{2} - 65 x$ .

			-	$x^{2}$	+	$13 x$
$x$	-	$5$	-	$x^{3}$	+	$18 x^{2}$	-	$107 x$	+	$210$
			+	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$13 x^{2}$	-	$107 x$
					-	$13 x^{2}$	+	$65 x$

Etapa 6.2.2.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$x^{2}$	+	$13 x$
$x$	-	$5$	-	$x^{3}$	+	$18 x^{2}$	-	$107 x$	+	$210$
			+	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$13 x^{2}$	-	$107 x$
					-	$13 x^{2}$	+	$65 x$
							-	$42 x$

Etapa 6.2.2.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

			-	$x^{2}$	+	$13 x$
$x$	-	$5$	-	$x^{3}$	+	$18 x^{2}$	-	$107 x$	+	$210$
			+	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$13 x^{2}$	-	$107 x$
					-	$13 x^{2}$	+	$65 x$
							-	$42 x$	+	$210$

Etapa 6.2.2.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 42 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$13 x$	-	$42$
$x$	-	$5$	-	$x^{3}$	+	$18 x^{2}$	-	$107 x$	+	$210$
			+	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$13 x^{2}$	-	$107 x$
					-	$13 x^{2}$	+	$65 x$
							-	$42 x$	+	$210$

Etapa 6.2.2.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$x^{2}$	+	$13 x$	-	$42$
$x$	-	$5$	-	$x^{3}$	+	$18 x^{2}$	-	$107 x$	+	$210$
			+	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$13 x^{2}$	-	$107 x$
					-	$13 x^{2}$	+	$65 x$
							-	$42 x$	+	$210$
							-	$42 x$	+	$210$

Etapa 6.2.2.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 42 x + 210$ .

			-	$x^{2}$	+	$13 x$	-	$42$
$x$	-	$5$	-	$x^{3}$	+	$18 x^{2}$	-	$107 x$	+	$210$
			+	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$13 x^{2}$	-	$107 x$
					-	$13 x^{2}$	+	$65 x$
							-	$42 x$	+	$210$
							+	$42 x$	-	$210$

Etapa 6.2.2.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$x^{2}$	+	$13 x$	-	$42$
$x$	-	$5$	-	$x^{3}$	+	$18 x^{2}$	-	$107 x$	+	$210$
			+	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$13 x^{2}$	-	$107 x$
					-	$13 x^{2}$	+	$65 x$
							-	$42 x$	+	$210$
							+	$42 x$	-	$210$
										$0$

Etapa 6.2.2.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$- x^{2} + 13 x - 42$

Etapa 6.2.2.6

Escreva $- x^{3} + 18 x^{2} - 107 x + 210$ como um conjunto de fatores.

$4 ((x - 5) (- x^{2} + 13 x - 42)) = 0$

Etapa 6.2.3

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1.1

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 1 \cdot - 42 = 42$ e cuja soma é $b = 13$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1.1.1.1

Fatore $13$ de $13 x$ .

$4 ((x - 5) (- x^{2} + 13 (x) - 42)) = 0$

Etapa 6.2.3.1.1.1.2

Reescreva $13$ como $6$ mais $7$

$4 ((x - 5) (- x^{2} + (6 + 7) x - 42)) = 0$

Etapa 6.2.3.1.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$4 ((x - 5) (- x^{2} + 6 x + 7 x - 42)) = 0$

Etapa 6.2.3.1.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$4 ((x - 5) ((- x^{2} + 6 x) + 7 x - 42)) = 0$

Etapa 6.2.3.1.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$4 ((x - 5) (x (- x + 6) - 7 (- x + 6))) = 0$

Etapa 6.2.3.1.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- x + 6$ .

$4 ((x - 5) ((- x + 6) (x - 7))) = 0$

Etapa 6.2.3.1.2

Remova os parênteses desnecessários.

$4 ((x - 5) (- x + 6) (x - 7)) = 0$

Etapa 6.2.3.2

Remova os parênteses desnecessários.

$4 (x - 5) (- x + 6) (x - 7) = 0$

Etapa 6.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

$- x + 6 = 0$

$x - 7 = 0$

Etapa 6.4

Defina $x - 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Defina $x - 5$ como igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Etapa 6.4.2

Some $5$ aos dois lados da equação.

$x = 5$

Etapa 6.5

Defina $- x + 6$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1

Defina $- x + 6$ como igual a $0$ .

$- x + 6 = 0$

Etapa 6.5.2

Resolva $- x + 6 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.1

Subtraia $6$ dos dois lados da equação.

$- x = - 6$

Etapa 6.5.2.2

Divida cada termo em $- x = - 6$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.2.1

Divida cada termo em $- x = - 6$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 6}{- 1}$

Etapa 6.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 6}{- 1}$

Etapa 6.5.2.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 6}{- 1}$

Etapa 6.5.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.2.3.1

Divida $- 6$ por $- 1$ .

$x = 6$

Etapa 6.6

Defina $x - 7$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.1

Defina $x - 7$ como igual a $0$ .

$x - 7 = 0$

Etapa 6.6.2

Some $7$ aos dois lados da equação.

$x = 7$

Etapa 6.7

A solução final são todos os valores que tornam $4 (x - 5) (- x + 6) (x - 7) = 0$ verdadeiro.

$x = 5, 6, 7$

Etapa 7

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 8

Pontos críticos para avaliar.

$x = 5, 6, 7$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada em $x = 5$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 12 {(5)}^{2} + 144 (5) - 428$

Etapa 10

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.1

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$- 12 \cdot 25 + 144 (5) - 428$

Etapa 10.1.2

Multiplique $- 12$ por $25$ .

$- 300 + 144 (5) - 428$

Etapa 10.1.3

Multiplique $144$ por $5$ .

$- 300 + 720 - 428$

Etapa 10.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1

Some $- 300$ e $720$ .

$420 - 428$

Etapa 10.2.2

Subtraia $428$ de $420$ .

$- 8$

Etapa 11

$x = 5$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 5$ é um máximo local

Etapa 12

Encontre o valor y quando $x = 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Substitua a variável $x$ por $5$ na expressão.

$f (5) = - {(5)}^{4} + 24 {(5)}^{3} - 214 {(5)}^{2} + 840 (5) - 1225$

Etapa 12.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1.1

Eleve $5$ à potência de $4$ .

$f (5) = - 1 \cdot 625 + 24 {(5)}^{3} - 214 {(5)}^{2} + 840 (5) - 1225$

Etapa 12.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $625$ .

$f (5) = - 625 + 24 {(5)}^{3} - 214 {(5)}^{2} + 840 (5) - 1225$

Etapa 12.2.1.3

Eleve $5$ à potência de $3$ .

$f (5) = - 625 + 24 \cdot 125 - 214 {(5)}^{2} + 840 (5) - 1225$

Etapa 12.2.1.4

Multiplique $24$ por $125$ .

$f (5) = - 625 + 3000 - 214 {(5)}^{2} + 840 (5) - 1225$

Etapa 12.2.1.5

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$f (5) = - 625 + 3000 - 214 \cdot 25 + 840 (5) - 1225$

Etapa 12.2.1.6

Multiplique $- 214$ por $25$ .

$f (5) = - 625 + 3000 - 5350 + 840 (5) - 1225$

Etapa 12.2.1.7

Multiplique $840$ por $5$ .

$f (5) = - 625 + 3000 - 5350 + 4200 - 1225$

Etapa 12.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.2.1

Some $- 625$ e $3000$ .

$f (5) = 2375 - 5350 + 4200 - 1225$

Etapa 12.2.2.2

Subtraia $5350$ de $2375$ .

$f (5) = - 2975 + 4200 - 1225$

Etapa 12.2.2.3

Some $- 2975$ e $4200$ .

$f (5) = 1225 - 1225$

Etapa 12.2.2.4

Subtraia $1225$ de $1225$ .

$f (5) = 0$

Etapa 12.2.3

A resposta final é $0$ .

$y = 0$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada em $x = 6$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 12 {(6)}^{2} + 144 (6) - 428$

Etapa 14

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1.1

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$- 12 \cdot 36 + 144 (6) - 428$

Etapa 14.1.2

Multiplique $- 12$ por $36$ .

$- 432 + 144 (6) - 428$

Etapa 14.1.3

Multiplique $144$ por $6$ .

$- 432 + 864 - 428$

Etapa 14.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.1

Some $- 432$ e $864$ .

$432 - 428$

Etapa 14.2.2

Subtraia $428$ de $432$ .

$4$

Etapa 15

$x = 6$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 6$ é um mínimo local

Etapa 16

Encontre o valor y quando $x = 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.1

Substitua a variável $x$ por $6$ na expressão.

$f (6) = - {(6)}^{4} + 24 {(6)}^{3} - 214 {(6)}^{2} + 840 (6) - 1225$

Etapa 16.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1.1

Eleve $6$ à potência de $4$ .

$f (6) = - 1 \cdot 1296 + 24 {(6)}^{3} - 214 {(6)}^{2} + 840 (6) - 1225$

Etapa 16.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $1296$ .

$f (6) = - 1296 + 24 {(6)}^{3} - 214 {(6)}^{2} + 840 (6) - 1225$

Etapa 16.2.1.3

Eleve $6$ à potência de $3$ .

$f (6) = - 1296 + 24 \cdot 216 - 214 {(6)}^{2} + 840 (6) - 1225$

Etapa 16.2.1.4

Multiplique $24$ por $216$ .

$f (6) = - 1296 + 5184 - 214 {(6)}^{2} + 840 (6) - 1225$

Etapa 16.2.1.5

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$f (6) = - 1296 + 5184 - 214 \cdot 36 + 840 (6) - 1225$

Etapa 16.2.1.6

Multiplique $- 214$ por $36$ .

$f (6) = - 1296 + 5184 - 7704 + 840 (6) - 1225$

Etapa 16.2.1.7

Multiplique $840$ por $6$ .

$f (6) = - 1296 + 5184 - 7704 + 5040 - 1225$

Etapa 16.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.2.1

Some $- 1296$ e $5184$ .

$f (6) = 3888 - 7704 + 5040 - 1225$

Etapa 16.2.2.2

Subtraia $7704$ de $3888$ .

$f (6) = - 3816 + 5040 - 1225$

Etapa 16.2.2.3

Some $- 3816$ e $5040$ .

$f (6) = 1224 - 1225$

Etapa 16.2.2.4

Subtraia $1225$ de $1224$ .

$f (6) = - 1$

Etapa 16.2.3

A resposta final é $- 1$ .

$y = - 1$

Etapa 17

Avalie a segunda derivada em $x = 7$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 12 {(7)}^{2} + 144 (7) - 428$

Etapa 18

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.1.1

Eleve $7$ à potência de $2$ .

$- 12 \cdot 49 + 144 (7) - 428$

Etapa 18.1.2

Multiplique $- 12$ por $49$ .

$- 588 + 144 (7) - 428$

Etapa 18.1.3

Multiplique $144$ por $7$ .

$- 588 + 1008 - 428$

Etapa 18.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.2.1

Some $- 588$ e $1008$ .

$420 - 428$

Etapa 18.2.2

Subtraia $428$ de $420$ .

$- 8$

Etapa 19

$x = 7$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 7$ é um máximo local

Etapa 20

Encontre o valor y quando $x = 7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.1

Substitua a variável $x$ por $7$ na expressão.

$f (7) = - {(7)}^{4} + 24 {(7)}^{3} - 214 {(7)}^{2} + 840 (7) - 1225$

Etapa 20.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.2.1.1

Eleve $7$ à potência de $4$ .

$f (7) = - 1 \cdot 2401 + 24 {(7)}^{3} - 214 {(7)}^{2} + 840 (7) - 1225$

Etapa 20.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $2401$ .

$f (7) = - 2401 + 24 {(7)}^{3} - 214 {(7)}^{2} + 840 (7) - 1225$

Etapa 20.2.1.3

Eleve $7$ à potência de $3$ .

$f (7) = - 2401 + 24 \cdot 343 - 214 {(7)}^{2} + 840 (7) - 1225$

Etapa 20.2.1.4

Multiplique $24$ por $343$ .

$f (7) = - 2401 + 8232 - 214 {(7)}^{2} + 840 (7) - 1225$

Etapa 20.2.1.5

Eleve $7$ à potência de $2$ .

$f (7) = - 2401 + 8232 - 214 \cdot 49 + 840 (7) - 1225$

Etapa 20.2.1.6

Multiplique $- 214$ por $49$ .

$f (7) = - 2401 + 8232 - 10486 + 840 (7) - 1225$

Etapa 20.2.1.7

Multiplique $840$ por $7$ .

$f (7) = - 2401 + 8232 - 10486 + 5880 - 1225$

Etapa 20.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.2.2.1

Some $- 2401$ e $8232$ .

$f (7) = 5831 - 10486 + 5880 - 1225$

Etapa 20.2.2.2

Subtraia $10486$ de $5831$ .

$f (7) = - 4655 + 5880 - 1225$

Etapa 20.2.2.3

Some $- 4655$ e $5880$ .

$f (7) = 1225 - 1225$

Etapa 20.2.2.4

Subtraia $1225$ de $1225$ .

$f (7) = 0$

Etapa 20.2.3

A resposta final é $0$ .

$y = 0$

Etapa 21

Esses são os extremos locais para $f (x) = - x^{4} + 24 x^{3} - 214 x^{2} + 840 x - 1225$ .

$(5, 0)$ é um máximo local

$(6, - 1)$ é um mínimo local

$(7, 0)$ é um máximo local

Etapa 22