Álgebra Exemplos

$(12 x^{2} - 10 x - 12) \div (3 x + 2)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 12 x^{2} - 10 x - 12$ e $g (x) = 3 x + 2$ .

$\frac{(3 x + 2) \frac{d}{d x} [12 x^{2} - 10 x - 12] - (12 x^{2} - 10 x - 12) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Etapa 2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $12 x^{2} - 10 x - 12$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$\frac{(3 x + 2) (\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [- 12]) - (12 x^{2} - 10 x - 12) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

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Etapa 3.1

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12 x^{2}$ em relação a $x$ é $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(3 x + 2) (12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [- 12]) - (12 x^{2} - 10 x - 12) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(3 x + 2) (12 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [- 12]) - (12 x^{2} - 10 x - 12) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Etapa 3.3

Multiplique $2$ por $12$ .

$\frac{(3 x + 2) (24 x + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [- 12]) - (12 x^{2} - 10 x - 12) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Etapa 4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 10 x]$ .

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Etapa 4.1

Como $- 10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 10 x$ em relação a $x$ é $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(3 x + 2) (24 x - 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 12]) - (12 x^{2} - 10 x - 12) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(3 x + 2) (24 x - 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 12]) - (12 x^{2} - 10 x - 12) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Etapa 4.3

Multiplique $- 10$ por $1$ .

$\frac{(3 x + 2) (24 x - 10 + \frac{d}{d x} [- 12]) - (12 x^{2} - 10 x - 12) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Etapa 5

Diferencie.

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Etapa 5.1

Como $- 12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 12$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(3 x + 2) (24 x - 10 + 0) - (12 x^{2} - 10 x - 12) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Etapa 5.2

Some $24 x - 10$ e $0$ .

$\frac{(3 x + 2) (24 x - 10) - (12 x^{2} - 10 x - 12) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Etapa 5.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{(3 x + 2) (24 x - 10) - (12 x^{2} - 10 x - 12) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Etapa 6

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Etapa 6.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(3 x + 2) (24 x - 10) - (12 x^{2} - 10 x - 12) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Etapa 6.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(3 x + 2) (24 x - 10) - (12 x^{2} - 10 x - 12) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Etapa 6.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{(3 x + 2) (24 x - 10) - (12 x^{2} - 10 x - 12) (3 + \frac{d}{d x} [2])}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Etapa 7

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 7.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(3 x + 2) (24 x - 10) - (12 x^{2} - 10 x - 12) (3 + 0)}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Etapa 7.2

Some $3$ e $0$ .

$\frac{(3 x + 2) (24 x - 10) - (12 x^{2} - 10 x - 12) \cdot 3}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(3 x + 2) (24 x - 10) + (- (12 x^{2}) - (- 10 x) - - 12) \cdot 3}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Etapa 8.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(3 x + 2) (24 x - 10) - (12 x^{2}) \cdot 3 - (- 10 x) \cdot 3 - - 12 \cdot 3}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Etapa 8.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.3.1.1

Expanda $(3 x + 2) (24 x - 10)$ usando o método FOIL.

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Etapa 8.3.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 x (24 x - 10) + 2 (24 x - 10) - (12 x^{2}) \cdot 3 - (- 10 x) \cdot 3 - - 12 \cdot 3}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Etapa 8.3.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 x (24 x) + 3 x \cdot - 10 + 2 (24 x - 10) - (12 x^{2}) \cdot 3 - (- 10 x) \cdot 3 - - 12 \cdot 3}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Etapa 8.3.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 x (24 x) + 3 x \cdot - 10 + 2 (24 x) + 2 \cdot - 10 - (12 x^{2}) \cdot 3 - (- 10 x) \cdot 3 - - 12 \cdot 3}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Etapa 8.3.1.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 8.3.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.3.1.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{3 \cdot 24 x \cdot x + 3 x \cdot - 10 + 2 (24 x) + 2 \cdot - 10 - (12 x^{2}) \cdot 3 - (- 10 x) \cdot 3 - - 12 \cdot 3}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Etapa 8.3.1.2.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 8.3.1.2.1.2.1

Mova $x$ .

$\frac{3 \cdot 24 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 10 + 2 (24 x) + 2 \cdot - 10 - (12 x^{2}) \cdot 3 - (- 10 x) \cdot 3 - - 12 \cdot 3}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Etapa 8.3.1.2.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{3 \cdot 24 x^{2} + 3 x \cdot - 10 + 2 (24 x) + 2 \cdot - 10 - (12 x^{2}) \cdot 3 - (- 10 x) \cdot 3 - - 12 \cdot 3}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Etapa 8.3.1.2.1.3

Multiplique $3$ por $24$ .

$\frac{72 x^{2} + 3 x \cdot - 10 + 2 (24 x) + 2 \cdot - 10 - (12 x^{2}) \cdot 3 - (- 10 x) \cdot 3 - - 12 \cdot 3}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Etapa 8.3.1.2.1.4

Multiplique $- 10$ por $3$ .

$\frac{72 x^{2} - 30 x + 2 (24 x) + 2 \cdot - 10 - (12 x^{2}) \cdot 3 - (- 10 x) \cdot 3 - - 12 \cdot 3}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Etapa 8.3.1.2.1.5

Multiplique $24$ por $2$ .

$\frac{72 x^{2} - 30 x + 48 x + 2 \cdot - 10 - (12 x^{2}) \cdot 3 - (- 10 x) \cdot 3 - - 12 \cdot 3}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Etapa 8.3.1.2.1.6

Multiplique $2$ por $- 10$ .

$\frac{72 x^{2} - 30 x + 48 x - 20 - (12 x^{2}) \cdot 3 - (- 10 x) \cdot 3 - - 12 \cdot 3}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Etapa 8.3.1.2.2

Some $- 30 x$ e $48 x$ .

$\frac{72 x^{2} + 18 x - 20 - (12 x^{2}) \cdot 3 - (- 10 x) \cdot 3 - - 12 \cdot 3}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Etapa 8.3.1.3

Multiplique $12$ por $- 1$ .

$\frac{72 x^{2} + 18 x - 20 - 12 x^{2} \cdot 3 - (- 10 x) \cdot 3 - - 12 \cdot 3}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Etapa 8.3.1.4

Multiplique $3$ por $- 12$ .

$\frac{72 x^{2} + 18 x - 20 - 36 x^{2} - (- 10 x) \cdot 3 - - 12 \cdot 3}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Etapa 8.3.1.5

Multiplique $- 10$ por $- 1$ .

$\frac{72 x^{2} + 18 x - 20 - 36 x^{2} + 10 x \cdot 3 - - 12 \cdot 3}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Etapa 8.3.1.6

Multiplique $3$ por $10$ .

$\frac{72 x^{2} + 18 x - 20 - 36 x^{2} + 30 x - - 12 \cdot 3}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Etapa 8.3.1.7

Multiplique $- - 12 \cdot 3$ .

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Etapa 8.3.1.7.1

Multiplique $- 1$ por $- 12$ .

$\frac{72 x^{2} + 18 x - 20 - 36 x^{2} + 30 x + 12 \cdot 3}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Etapa 8.3.1.7.2

Multiplique $12$ por $3$ .

$\frac{72 x^{2} + 18 x - 20 - 36 x^{2} + 30 x + 36}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Etapa 8.3.2

Subtraia $36 x^{2}$ de $72 x^{2}$ .

$\frac{36 x^{2} + 18 x - 20 + 30 x + 36}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Etapa 8.3.3

Some $18 x$ e $30 x$ .

$\frac{36 x^{2} + 48 x - 20 + 36}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Etapa 8.3.4

Some $- 20$ e $36$ .

$\frac{36 x^{2} + 48 x + 16}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Etapa 8.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.4.1

Fatore $4$ de $36 x^{2} + 48 x + 16$ .

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Etapa 8.4.1.1

Fatore $4$ de $36 x^{2}$ .

$\frac{4 (9 x^{2}) + 48 x + 16}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Etapa 8.4.1.2

Fatore $4$ de $48 x$ .

$\frac{4 (9 x^{2}) + 4 (12 x) + 16}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Etapa 8.4.1.3

Fatore $4$ de $16$ .

$\frac{4 (9 x^{2}) + 4 (12 x) + 4 (4)}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Etapa 8.4.1.4

Fatore $4$ de $4 (9 x^{2}) + 4 (12 x)$ .

$\frac{4 (9 x^{2} + 12 x) + 4 (4)}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Etapa 8.4.1.5

Fatore $4$ de $4 (9 x^{2} + 12 x) + 4 (4)$ .

$\frac{4 (9 x^{2} + 12 x + 4)}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Etapa 8.4.2

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 8.4.2.1

Reescreva $9 x^{2}$ como ${(3 x)}^{2}$ .

$\frac{4 ({(3 x)}^{2} + 12 x + 4)}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Etapa 8.4.2.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{4 ({(3 x)}^{2} + 12 x + 2^{2})}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Etapa 8.4.2.3

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$12 x = 2 \cdot (3 x) \cdot 2$

Etapa 8.4.2.4

Reescreva o polinômio.

$\frac{4 ({(3 x)}^{2} + 2 \cdot (3 x) \cdot 2 + 2^{2})}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Etapa 8.4.2.5

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , em que $a = 3 x$ e $b = 2$ .

$\frac{4 {(3 x + 2)}^{2}}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Etapa 8.5

Cancele o fator comum de ${(3 x + 2)}^{2}$ .

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Etapa 8.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 {(3 x + 2)}^{2}}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Etapa 8.5.2

Divida $4$ por $1$ .

$4$