Álgebra Exemplos

$a + \frac{1}{a^{2}}$

Etapa 1

Diferencie.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $a + \frac{1}{a^{2}}$ com relação a $a$ é $\frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [\frac{1}{a^{2}}]$ .

$\frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [\frac{1}{a^{2}}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ é $n a^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d a} [\frac{1}{a^{2}}]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d a} [\frac{1}{a^{2}}]$ .

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Etapa 2.1

Reescreva $\frac{1}{a^{2}}$ como ${(a^{2})}^{- 1}$ .

$1 + \frac{d}{d a} [{(a^{2})}^{- 1}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ é $f' (g (a)) g' (a)$ , em que $f (a) = a^{- 1}$ e $g (a) = a^{2}$ .

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Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $a^{2}$ .

$1 + \frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d a} [a^{2}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$1 - u^{- 2} \frac{d}{d a} [a^{2}]$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $a^{2}$ .

$1 - {(a^{2})}^{- 2} \frac{d}{d a} [a^{2}]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ é $n a^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$1 - {(a^{2})}^{- 2} (2 a)$

Etapa 2.4

Multiplique os expoentes em ${(a^{2})}^{- 2}$ .

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Etapa 2.4.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 - a^{2 \cdot - 2} (2 a)$

Etapa 2.4.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$1 - a^{- 4} (2 a)$

Etapa 2.5

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$1 - 2 a^{- 4} a$

Etapa 2.6

Eleve $a$ à potência de $1$ .

$1 - 2 (a^{1} a^{- 4})$

Etapa 2.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$1 - 2 a^{1 - 4}$

Etapa 2.8

Subtraia $4$ de $1$ .

$1 - 2 a^{- 3}$

Etapa 3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - 2 \frac{1}{a^{3}}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Combine os termos.

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Etapa 4.1.1

Combine $- 2$ e $\frac{1}{a^{3}}$ .

$1 + \frac{- 2}{a^{3}}$

Etapa 4.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$1 - \frac{2}{a^{3}}$

Etapa 4.2

Reordene os termos.

$- \frac{2}{a^{3}} + 1$