Álgebra Exemplos

$3 x^{2} + 4 x = y$ , $[0, 100]$

Etapa 1

Reescreva a equação como $y = 3 x^{2} + 4 x$ .

$y = 3 x^{2} + 4 x$

Etapa 2

Segundo o teorema do valor intermediário, se $f$ for uma função contínua com valor real no intervalo $[a, b]$ e $u$ for um número entre $f (a)$ e $f (b)$ , então haverá $c$ contido no intervalo $[a, b]$ , de forma que $f (c) = u$ .

$u = f (c) = 0$

Etapa 3

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 4

Calcular $f (a) = f (0) = 3 {(0)}^{2} + 4 (0)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 3 \cdot 0 + 4 (0)$

Etapa 4.1.2

Multiplique $3$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 4 (0)$

Etapa 4.1.3

Multiplique $4$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Etapa 4.2

Some $0$ e $0$ .

$f (0) = 0$

Etapa 5

Calcular $f (b) = f (100) = 3 {(100)}^{2} + 4 (100)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Eleve $100$ à potência de $2$ .

$f (100) = 3 \cdot 10000 + 4 (100)$

Etapa 5.1.2

Multiplique $3$ por $10000$ .

$f (100) = 30000 + 4 (100)$

Etapa 5.1.3

Multiplique $4$ por $100$ .

$f (100) = 30000 + 400$

Etapa 5.2

Some $30000$ e $400$ .

$f (100) = 30400$

Etapa 6

Como $0$ está no intervalo $[0, 30400]$ , resolva a equação $x$ na raiz definindo $y$ como $0$ em $y = 3 x^{2} + 4 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Reescreva a equação como $3 x^{2} + 4 x = 0$ .

$3 x^{2} + 4 x = 0$

Etapa 6.2

Fatore $x$ de $3 x^{2} + 4 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Fatore $x$ de $3 x^{2}$ .

$x (3 x) + 4 x = 0$

Etapa 6.2.2

Fatore $x$ de $4 x$ .

$x (3 x) + x \cdot 4 = 0$

Etapa 6.2.3

Fatore $x$ de $x (3 x) + x \cdot 4$ .

$x (3 x + 4) = 0$

Etapa 6.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$3 x + 4 = 0$

Etapa 6.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 6.5

Defina $3 x + 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1

Defina $3 x + 4$ como igual a $0$ .

$3 x + 4 = 0$

Etapa 6.5.2

Resolva $3 x + 4 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.1

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$3 x = - 4$

Etapa 6.5.2.2

Divida cada termo em $3 x = - 4$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.2.1

Divida cada termo em $3 x = - 4$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Etapa 6.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Etapa 6.5.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 4}{3}$

Etapa 6.5.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{4}{3}$

Etapa 6.6

A solução final são todos os valores que tornam $x (3 x + 4) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - \frac{4}{3}$

Etapa 7

Segundo o teorema do valor intermediário, existe uma raiz $f (c) = 0$ no intervalo $[0, 30400]$ , porque $f$ é uma função contínua em $[0, 100]$ .

As raízes no intervalo $[0, 100]$ estão localizados em $x = 0$ .

Etapa 8