Álgebra Exemplos

$x^{4} + 6 x^{3} + 7 x^{2} - 6 x - 8$

Etapa 1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$

$q = \pm 1$

Etapa 2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$

Etapa 3

Substitua cada raiz possível no polinômio para encontrar as raízes reais. Simplifique para verificar se o valor é $0$ , o que significa que é uma raiz.

${(1)}^{4} + 6 {(1)}^{3} + 7 {(1)}^{2} - 6 \cdot 1 - 8$

Etapa 4

Simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Então, $x = 1$ é a raiz do polinômio.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 + 6 {(1)}^{3} + 7 {(1)}^{2} - 6 \cdot 1 - 8$

Etapa 4.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 + 6 \cdot 1 + 7 {(1)}^{2} - 6 \cdot 1 - 8$

Etapa 4.1.3

Multiplique $6$ por $1$ .

$1 + 6 + 7 {(1)}^{2} - 6 \cdot 1 - 8$

Etapa 4.1.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 + 6 + 7 \cdot 1 - 6 \cdot 1 - 8$

Etapa 4.1.5

Multiplique $7$ por $1$ .

$1 + 6 + 7 - 6 \cdot 1 - 8$

Etapa 4.1.6

Multiplique $- 6$ por $1$ .

$1 + 6 + 7 - 6 - 8$

Etapa 4.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 4.2.1

Some $1$ e $6$ .

$7 + 7 - 6 - 8$

Etapa 4.2.2

Some $7$ e $7$ .

$14 - 6 - 8$

Etapa 4.2.3

Subtraia $6$ de $14$ .

$8 - 8$

Etapa 4.2.4

Subtraia $8$ de $8$ .

$0$

Etapa 5

Como $1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio poderá ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{4} + 6 x^{3} + 7 x^{2} - 6 x - 8}{x - 1}$

Etapa 6

Depois, encontre as raízes do polinômio restante. A ordem do polinômio foi reduzida em $1$ .

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Etapa 6.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$1$	$1$	$6$	$7$	$- 6$	$- 8$

Etapa 6.2

O primeiro número no dividendo $(1)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$1$	$1$	$6$	$7$	$- 6$	$- 8$

	$1$

Etapa 6.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(1)$ pelo divisor $(1)$ e coloque o resultado de $(1)$ sob o próximo termo no dividendo $(6)$ .

$1$	$1$	$6$	$7$	$- 6$	$- 8$
		$1$
	$1$

Etapa 6.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$1$	$1$	$6$	$7$	$- 6$	$- 8$
		$1$
	$1$	$7$

Etapa 6.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(7)$ pelo divisor $(1)$ e coloque o resultado de $(7)$ sob o próximo termo no dividendo $(7)$ .

$1$	$1$	$6$	$7$	$- 6$	$- 8$
		$1$	$7$
	$1$	$7$

Etapa 6.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$1$	$1$	$6$	$7$	$- 6$	$- 8$
		$1$	$7$
	$1$	$7$	$14$

Etapa 6.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(14)$ pelo divisor $(1)$ e coloque o resultado de $(14)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 6)$ .

$1$	$1$	$6$	$7$	$- 6$	$- 8$
		$1$	$7$	$14$
	$1$	$7$	$14$

Etapa 6.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$1$	$1$	$6$	$7$	$- 6$	$- 8$
		$1$	$7$	$14$
	$1$	$7$	$14$	$8$

Etapa 6.9

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(8)$ pelo divisor $(1)$ e coloque o resultado de $(8)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 8)$ .

$1$	$1$	$6$	$7$	$- 6$	$- 8$
		$1$	$7$	$14$	$8$
	$1$	$7$	$14$	$8$

Etapa 6.10

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$1$	$1$	$6$	$7$	$- 6$	$- 8$
		$1$	$7$	$14$	$8$
	$1$	$7$	$14$	$8$	$0$

Etapa 6.11

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$1 x^{3} + 7 x^{2} + (14) x + 8$

Etapa 6.12

Simplifique o polinômio do quociente.

$x^{3} + 7 x^{2} + 14 x + 8$

Etapa 7

Resolva a equação para encontrar todas as raízes restantes.

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Etapa 7.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 7.1.1

Reagrupe os termos.

$x^{3} + 8 + 7 x^{2} + 14 x = 0$

Etapa 7.1.2

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$x^{3} + 2^{3} + 7 x^{2} + 14 x = 0$

Etapa 7.1.3

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da soma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$(x + 2) (x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2}) + 7 x^{2} + 14 x = 0$

Etapa 7.1.4

Simplifique.

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Etapa 7.1.4.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2}) + 7 x^{2} + 14 x = 0$

Etapa 7.1.4.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) + 7 x^{2} + 14 x = 0$

Etapa 7.1.5

Fatore $7 x$ de $7 x^{2} + 14 x$ .

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Etapa 7.1.5.1

Fatore $7 x$ de $7 x^{2}$ .

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) + 7 x (x) + 14 x = 0$

Etapa 7.1.5.2

Fatore $7 x$ de $14 x$ .

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) + 7 x (x) + 7 x (2) = 0$

Etapa 7.1.5.3

Fatore $7 x$ de $7 x (x) + 7 x (2)$ .

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) + 7 x (x + 2) = 0$

Etapa 7.1.6

Fatore $x + 2$ de $(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) + 7 x (x + 2)$ .

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Etapa 7.1.6.1

Fatore $x + 2$ de $7 x (x + 2)$ .

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) + (x + 2) (7 x) = 0$

Etapa 7.1.6.2

Fatore $x + 2$ de $(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) + (x + 2) (7 x)$ .

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4 + 7 x) = 0$

Etapa 7.1.7

Some $- 2 x$ e $7 x$ .

$(x + 2) (x^{2} + 5 x + 4) = 0$

Etapa 7.1.8

Fatore.

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Etapa 7.1.8.1

Fatore $x^{2} + 5 x + 4$ usando o método AC.

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Etapa 7.1.8.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $4$ e cuja soma é $5$ .

$1, 4$

Etapa 7.1.8.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x + 2) ((x + 1) (x + 4)) = 0$

Etapa 7.1.8.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x + 2) (x + 1) (x + 4) = 0$

Etapa 7.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

$x + 1 = 0$

$x + 4 = 0$

Etapa 7.3

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 7.3.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 7.3.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 7.4

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 7.4.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 7.4.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 7.5

Defina $x + 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 7.5.1

Defina $x + 4$ como igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Etapa 7.5.2

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$x = - 4$

Etapa 7.6

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 2) (x + 1) (x + 4) = 0$ verdadeiro.

$x = - 2, - 1, - 4$

Etapa 8

O polinômio pode ser escrito como um conjunto de fatores lineares.

$(x - 1) (x + 2) (x + 1) (x + 4)$

Etapa 9

Essas são as raízes (zeros) do polinômio $x^{4} + 6 x^{3} + 7 x^{2} - 6 x - 8$ .

$x = 1, - 2, - 1, - 4$

Etapa 10