Álgebra Exemplos

$4 x^{2} + 9 y^{2} = 1$

Etapa 1

Simplifique cada termo na equação para definir o lado direito como igual a $1$ . A forma padrão de uma elipse ou hipérbole exige que o lado direito da equação seja $1$ .

$\frac{x^{2}}{\frac{1}{4}} + \frac{y^{2}}{\frac{1}{9}} = 1$

Etapa 2

Esta é a forma de uma elipse. Use-a para determinar os valores usados para encontrar o centro junto com os eixos maior e menor da elipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Etapa 3

Associe os valores nesta elipse com os da forma padrão. A variável $a$ representa o raio do eixo maior da elipse, $b$ representa o raio do eixo menor da elipse, $h$ representa o deslocamento de x em relação à origem e $k$ representa o deslocamento de y em relação à origem.

$a = \frac{1}{2}$

$b = \frac{1}{3}$

$k = 0$

$h = 0$

Etapa 4

Encontre a excentricidade usando a seguinte fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Etapa 5

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\frac{\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} - {(\frac{1}{3})}^{2}}}{\frac{1}{2}}$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} - {(\frac{1}{3})}^{2}} \cdot 2$

Etapa 6.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1^{2}}{2^{2}} - {(\frac{1}{3})}^{2}} \cdot 2$

Etapa 6.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$\sqrt{\frac{1}{2^{2}} - {(\frac{1}{3})}^{2}} \cdot 2$

Etapa 6.4

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} - {(\frac{1}{3})}^{2}} \cdot 2$

Etapa 6.5

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{3}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} - \frac{1^{2}}{3^{2}}} \cdot 2$

Etapa 6.6

Um elevado a qualquer potência é um.

$\sqrt{\frac{1}{4} - \frac{1}{3^{2}}} \cdot 2$

Etapa 6.7

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} - \frac{1}{9}} \cdot 2$

Etapa 6.8

Para escrever $\frac{1}{4}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9} - \frac{1}{9}} \cdot 2$

Etapa 6.9

Para escrever $- \frac{1}{9}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9} - \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4}} \cdot 2$

Etapa 6.10

Escreva cada expressão com um denominador comum de $36$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 6.10.1

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{9}{4 \cdot 9} - \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4}} \cdot 2$

Etapa 6.10.2

Multiplique $4$ por $9$ .

$\sqrt{\frac{9}{36} - \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4}} \cdot 2$

Etapa 6.10.3

Multiplique $\frac{1}{9}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{9}{36} - \frac{4}{9 \cdot 4}} \cdot 2$

Etapa 6.10.4

Multiplique $9$ por $4$ .

$\sqrt{\frac{9}{36} - \frac{4}{36}} \cdot 2$

Etapa 6.11

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\sqrt{\frac{9 - 4}{36}} \cdot 2$

Etapa 6.12

Subtraia $4$ de $9$ .

$\sqrt{\frac{5}{36}} \cdot 2$

Etapa 6.13

Reescreva $\sqrt{\frac{5}{36}}$ como $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{36}}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{36}} \cdot 2$

Etapa 6.14

Simplifique o denominador.

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Etapa 6.14.1

Reescreva $36$ como $6^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6^{2}}} \cdot 2$

Etapa 6.14.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{\sqrt{5}}{6} \cdot 2$

Etapa 6.15

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.15.1

Fatore $2$ de $6$ .

$\frac{\sqrt{5}}{2 (3)} \cdot 2$

Etapa 6.15.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{5}}{2 \cdot 3} \cdot 2$

Etapa 6.15.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{5}}{3}$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{\sqrt{5}}{3}$

Forma decimal:

$0.74535599 \dots$

Etapa 8